從兩道導(dǎo)數(shù)試題解答談慎用“高觀點”

【摘要】導(dǎo)數(shù)大題可以說是很多同學(xué)在高考中獲得高分的主要攔路虎之一，究其本質(zhì)是因為其考查知識點過多，綜合性過強導(dǎo)致的.基于此，很多教輔資料上都出現(xiàn)了“高觀點”指導(dǎo)下的解題指導(dǎo)，但由于對高觀點思想的理解不透經(jīng)常出現(xiàn)貌似不經(jīng)意的錯誤.

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)函數(shù);取值范圍

下面筆者通過呈現(xiàn)一道學(xué)生運用柯西中值定理解高考題來說明解題中的錯誤，以期與大家一同進步，在使用高觀點解題過程種注意思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，避免出現(xiàn)類似的錯誤.

例1已知函數(shù)f（x）=ex-ax2-x-1，若當(dāng)x≥0時，f（x）≥0，求參數(shù)a的范圍.（2010年全國Ⅰ卷）

解法1參考解法

構(gòu)造函數(shù)k（x）=ex-x-1，

那么k′（x）=ex-1，k″（x）=exgt;0，

因此易知對任意x∈R都有ex≥x+1，

所以f′（x）=ex-1-2ax≥x-2ax=（1-2a）x.

當(dāng)1-2a≥0時，即f′（x）≥0，

因此f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，

于是f（x）≥f（0）=0.

當(dāng)1-2alt;0，由ex≥x+1（x≠0），

用-x替換x可得

e-xgt;-x+1（x≠0），

因此f′（x）lt;ex-1-2a（e-x-1）

=e-x（ex-1）（ex-2a），

故當(dāng)0lt;xlt;ln2a時，f′（x）lt;0，

所以f（x）在（0，ln2a）上單調(diào)遞減，

故f（x）lt;f（0）=0與題意矛盾.

綜上所述，a≤12.

解法2學(xué)生使用柯西中值定理的解法

（1）當(dāng)x=0時，顯然有a∈R.

（2）當(dāng)xgt;0時，由f（x）≥0變形得

a≤ex-x-1x2，

設(shè)m（x）=ex-x-1，n（x）=x2，

另外不難發(fā)現(xiàn)

m（0）=0，n（0）=0，

則a≤ex-x-1x2可變形為

a≤m（x）-m（0）n（x）-n（0）恒成立，

由柯西中值定理知ζ∈（0，x），

使得m（x）-m（0）n（x）-n（0）=m′（ζ）n′（ζ），

因此a≤m′（ζ）n′（ζ）=eζ-12ζ，

設(shè)函數(shù)g（ζ）=eζ-12ζ，

因此g′（ζ）=2[eζ（ζ-1）+1]4ζ2，

又因為eζgt;ζ+1（ζ≠0），

代入可得g′（ζ）gt;0，

所以g（ζ）在（0，+∞）單調(diào)遞增，

于是a≤g（0）=limζ→0eζ-12ζ=12，

故a≤12.

分析對比以上兩種不同的解法，因為答案相同，很容易直覺性認為這兩種解答都是正確的.解法1是官方的參考答案，自然是沒有問題，該參考答案在解答過程中出現(xiàn)了一次切線放縮，還有就是進行了較為復(fù)雜的指數(shù)運算，最后進行了分類討論，尤其是在進行分類討論前，為什么這么分類？以泰勒展開式為背景的切線放縮，為何只要放縮到這個程度？實際上這些都是難點.整體而言這種解答方法是非常巧妙的，學(xué)生在有限的時間內(nèi)是很難突破的.然而，解法2通過分離參數(shù)的方法，再將分子分母進行了必要的變形，并且計算端點函數(shù)值，對比結(jié)構(gòu)恰好符合柯西中值定理的運用條件，這樣就能夠有效的避開復(fù)雜的計算和討論，使得原本復(fù)雜結(jié)構(gòu)變得明了簡潔.對比上述兩種解法，從解題效率而言，解法2 無論從思維成本還是解題耗時，都更優(yōu)于解答1，這也給我們提供了一個猜想，是不是所有的參數(shù)求范圍都可以構(gòu)造，再運用柯西中值定理進行求值？這樣解題有沒有什么不妥之處？仔細閱讀解法2 我們還是能夠發(fā)現(xiàn)運用柯西中值定理過程中的不足之處，準(zhǔn)確的來說，解法2的答案對，但解答過程是有地方不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，具體是怎么回事？我們再來看看另一題的解答再做說明！

例2已知函數(shù)f（x）=ex+ax2-x.當(dāng)x≥0時，f（x）≥12x3+1，求a的取值范圍.（2020年全國Ⅰ卷）

解法1參考答案

（1）當(dāng)x=0時，顯然有a∈R.

（2）當(dāng)xgt;0時，由f（x）≥12x3+1，

變量分離得a≥12x3-ex+x+1x2，

即證該式恒成立，

設(shè)g（x）=12x3-ex+x+1x2，

則g′（x）=（2-x）ex-12x2-x-1x3.

再令h（x）=ex-12x2-x-1，結(jié)合xgt;0，

易知h″（x）=ex-1gt;0恒成立，

于是h′（x）=ex-x-1單調(diào)遞增，且h′（0）=0，

因此h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且h（0）=0，

故而易知g（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）單調(diào)遞減.

因此a≥g（2）=7-e24，

所以a的取值范圍是7-e24，+∞.

解法2柯西中值定理

（1）當(dāng)x=0時，顯然有a∈R.

（2）當(dāng)xgt;0時，由f（x）≥12x3+1，

變量分離得到a≥12x3-ex+x+1x2，

即證該式在區(qū)間（0，+∞）恒成立，

m（x）=12x3-ex+x+1，n（x）=x2，

另外不難發(fā)現(xiàn)m（0）=0，n（0）=0，

則a≥12x3-ex+x+1x2可以變形為

a≥m（x）-m（0）n（x）-n（0），

由柯西中值定理知ζ∈（0，x），

使得m（x）-m（0）n（x）-n（0）=m′（ζ）n′（ζ），

因此a≥m′（ζ）n′（ζ）=32ζ2-eζ+12ζ.

設(shè)函數(shù)g（ζ）=32ζ2-eζ+12ζ，

因此g′（ζ）=（2-2ζ）eζ+3ζ2-24ζ2，

再設(shè)函數(shù)h（ζ）=（2-2ζ）eζ+3ζ2-2，

所以h′（x）=2ζ（3-eζ）.

因此易知h（ζ）在（0，ln3）上單調(diào)遞增，在（ln3，+∞）上單調(diào)遞減，

又h（0）=0，

所以h（ln3）gt;0，且h（2）=10-2e2lt;0，

因此x0∈（ln3，2）使得h（x0）=0，

因此h（ζ）在區(qū)間（0，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，+∞）上單調(diào)遞減，

故a≥g（x0）≠g（2）=7-e24.

錯誤剖析和例1相比，這里的兩種不同解法下的答案是不一樣的，那么一定有一個是錯誤的.解法1是公認的正確答案，那么解法2肯定就是錯誤的，但究竟錯在哪里了呢？來對比一下兩道例題的解答過程.仔細研讀例1中解法2的解答過程，不難發(fā)現(xiàn)其實問題是出現(xiàn)在ζ的選取上，在解法2中說的是存在滿足條件的ζ，并不是所有的，即搞錯了存在性與任意性的問題.該解法中雖然強調(diào)了x的任意性.那么對于每一個x，只要這個數(shù)被確定，那么就是存在著這樣的ζ在區(qū)間（0，x）內(nèi)，使得m（x）-m（0）n（x）-n（0）=m′（ζ）n′（ζ），值得注意的是此時的ζ不是取遍整個區(qū)間（0，x）.其本質(zhì)從集合論的角度可以理解為：不妨設(shè)x的取值集合為U，ζ的取值范圍是U′，顯然有U′U.那么為求m′（ζ）n′（ζ）的最大值，正確的解答方法應(yīng)該是：ζ∈U′，再來求m′（ζ）n′（ζ）的最大值，可困難的是很多時候U′的范圍是不好確定的，因此更不能隨意找到一個滿足的ζ就說m（x）-m（0）n（x）-n（0）=m′（ζ）n′（ζ），即對xgt;0，ζgt;0時，m′（ζ）n′（ζ）max=m（x）-m（0）n（x）-n（0）max.那么例1與例2的解法2等價于把變量分離成：a≤m′（ζ）n′（ζ）對于任意的ζ∈U=（0，+∞）恒成立，錯誤的認為U′=U，這就是解答錯誤的最為本質(zhì)的原因.那么導(dǎo)致兩個例題的解法2中有一個是與參考答案一致，另一個不一致的原因是什么？我們繼續(xù)思考.例1的解法2能夠通過柯西中值定理計算得到答案主要是因為當(dāng)ζ=0時，m′（ζ）n′（ζ）=eζ-12ζ取得最小值，即limζ→0eζ-12ζ=12，另外當(dāng)x=0時，m（x）-m（0）n（x）-n（0）=ex-x-1x2也取到最小值limx→0=ex-x-1x2=12，也正因為這兩者取等條件一致，因此例1的解法2和參考答案一致，純屬巧合！例2解法2答案和參考答案不一致在此不再贅述.

基于剖析學(xué)生在利用柯西中值定理處理這兩道高考真題中出現(xiàn)錯誤，我們必須冷靜下來思考，我們?nèi)粝胍酶叩葦?shù)學(xué)知識來解決高中數(shù)學(xué)中的“難題”之前，一定要注意準(zhǔn)確理解高等數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，切不可隨意模仿，不去追求本質(zhì)概念的理解，審慎的使用這些知識.我們一定要深刻理解三個中值定理，常微分方程，泰勒展開式等知識背景與精髓，做到真正的解題高效，有效！