巧用數學思想，提升數學解題效率

摘要隨著新課程改革全面實施，高中數學在此背景下需從知識技能過渡至思維能力培養，引領學生以理性思維分析和解答問題.數學思想在解題中發揮著重要作用，能簡化學生理解難度，梳理解題思維，切實提升解題能力.對此，本文則從不同數學思想方面分析其具體應用，望給予教育研究者提供參考.

關鍵詞 數學思想;解題效率;化歸思想

1運用化歸思想 提升解題效率

化歸思想是解決數學問題常見思維方式，若在解題中陷入困境則可運用化歸思想，促使解決問題者根據所掌握知識以及關聯性對等問題中復雜知識點進行對等轉化，簡化問題難度，提升解題效率.

不等式是高中數學基礎知識內容，更是高考數學常見題型.經常以函數方程知識相結合形成復雜抽象問題.此類知識和單純知識疊加有著極大不同，因為綜合反映內容、方法與能力.需要將問題分解還原至不同知識模塊后再進行解決.在此過程中運用化歸思想能較好地簡化問題難度，提升解題效率.

在解答不等式問題中運用等式策略能使解題方式更為簡潔，有利于學生樹立清晰解題思路.

例1 如果不等式 解集為 ，實數則為k=2

解析 針對不等式解集問題可代入端點值，此時等號成立

根據題意， 兩根為1和3

即 ，解得k=2

變量間需借助不等式相互制約，反映變量間內在聯系.受函數單調性影響，不等式與界性間有著直接聯系，所以為不等式轉化至函數提供契機.

例2 已知 ，證明

解析 先構造函數

得知 ，在 呈單調遞增

因為

所以

數學教師在指導學生運用化歸思想轉化不等式時應明確題目類型，最大限度發揮化歸思想優勢作用.并在此過程中使學生掌握解題方式.學生運用化歸思想后會因因其便利性對探究知識產生興趣，尤其在逐一突破問題難點后能產生學習數學自信心，為后續鞏固知識和運用所學知識分析和解決實際問題奠定基礎，切實提升解題水平.

除上述常見題目類型外，高考數學常見以下數列： ，縱觀數學參考資料，會采取特定系數將上述數列轉為等比數列后進行解題，過程相對豐富.本文研究認為，將上述數列轉至常數數列也能直接解決.

例3 已知數列 滿足 ， ，求數列 通項公式

解析 已知 ，兩邊同時除以 ，可得出

經變形得出

所以數列 為常數列.

因此，

所以

2運用整體思想 提升解題效率

整體思想即在解題過程中基于集中視角看待研究對象的某個部分或全部并將其視為一個整體，對問題與條件間的緊密練習進行充分把握，從而有目的地整體化分析和解決問題，簡化問題難度，提升解題效率.整體思想和其他思想相比最為顯著的特征即基于全局思考問題，常見應用形式為方程求解、分式求解、整體求解、不等式組求解以及方程求解等.

三角函數是高中數學重難點知識，大部分學生在解答相關知識時會被復雜抽象問題難倒，但學生只要理解和掌握三角函數知識點并在解題中合理運用整體思想，則會提升解題效率.例如以下題目：求函數f（x）=sinxcosx/（1+sinx+cosx）的值域，在解答上述抽象復雜的三角函數時，可嘗試運用整體思想換元后構建簡單全新新函數，最后處理問題.

解析 設sinx+cosx=t①，有 ，與此同時，t≠-1，又因為sinx+cosx=t，所以sinxcosx=（t2-1）/2②.在公式中f（x）=sinxcosx/（1+sinx+cosx）代入①與②進行整體換元可得出： ，因為 ，所以函數 值域為 .

例4 已知函數 ，該函數存在最大值M與最小值m，請問M+m和為多少？在解答上述問題時可基于整體思想著手，即聯想到函數與奇函數對稱性質.與此同時，上述題目為分式類函數，故而可基于整體角度處理最大值與最小值，提升解題效率.

解析" 化簡

可得出" ，設g（x）=f（x）-1，隨即根據函數性質可得出 為奇函數.所以g（x）min+g（x）max=0.再將g（x）=f（x）-1代入g（x）min+g（x）max=0中得g（x）min+g（x）max=（m-1）+（M-1），得知（m-1）+（M-1）=0，等價于m+M=2

3運用數形結合 提升解題效率

數形結合是高中數學常見思想方式，即將抽象復雜數學知識生動化和形象性，簡化學生理解難度，提升解題效率.數學教師可在解題教學中引領運用數形結合思想，發展思維能力，為全面發展奠定基礎.

問題①集合問題是高中數學重要知識內容，觀察集合補集、交集、并集及其表達形式可發現其中都寒假圖形特征，故而運用數形結合方法能較好地幫助學生解決集合問題并將數字關系轉至圖形關系.例如以下題目：某學校組織競賽，共有25人參與競賽，大賽設置A、B、C三道題目，參賽者至少選做一道題，根據題目回答情況得知，未能解答A題的人中可成功解答B題的人數為解答出C題人數2倍，解答出A題人數比剩余人數中解答出A題多一人，在所有只解答一道題參數學生中，只有近一半學生解答出A題，請問成功解答B題共有多少參賽者？

解析 單從文字分析具有難度較大，尤其對于數學基礎較大的學生而言，難以理清題目邏輯關系，對此，可在解題中引入數形結合方式，即將以圖形關系表示文字邏輯關系.以圖1所示：

圖1

根據圖1可得知，運用三個大圓A、B、C表示解出A、B、C三道題目人數，圖中相互重疊部分則表示能同時解答出A、B、C三道大題或其中兩道題目參數人數集合。a表示只解答出A題目的人數，b表示只解答出B題目的人數，c表示只解答出C題目的人數，d表示同時解答出A、B題目的人數，e表示同時解答出A、C題目的人數，f表示同時解答出B、C題目的人數，g表示同時解答出A、B、C題目的人數。

得出數列：a+b+c+d+e+f+g=25①

從題目得知，未解答出A題學生中解答出B題人數是解答出C題學生人數2倍，得出數式：b+f=2（c+f）②

解答出A題學生比剩余學生中解答出A題學生多一人，列出數式：a=d+e+g+1③

只解答出一題學生中有一半學生未解答出A題，列式：a=b+c④

由數式②可得：b=2c+f，f=b-2c ⑤

由數式⑤代入數式①：a+2b-c+d+e+g=25⑥

由數式③與④代入⑥：2b-c+2d+2e+2g=24⑦

同時，3b+d+e+g=25⑧

數式⑧x2-數式⑦得4b+c=26⑨

因為c≥0，所以b≤6.5.

運用數式⑤+⑨將C消去，得f=b-2（26-4b）=9b-52

因為f≥0，所以b≥9/52

因為b∈Z，所以b=6

可成功解答出B題學生只有6人.

總之，數學是一門抽象性和邏輯性較強的學科，教師不單單要為學生傳授知識與技能，還要積極發展學生思維能力.數學思想是該學科重要組成，應用于解題中能簡化題目難度，促使學生理解題目知識內涵，并在此過程中體驗和感悟數學學科特有的樂趣，增強探究和學習能力，實現預期課程目標.