求動點(diǎn)軌跡方程的常用方法

【摘要】求動點(diǎn)的軌跡方程是解析幾何的重要內(nèi)容，是高考的熱點(diǎn).求符合某種條件的動點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題中的幾何條件，通過“坐標(biāo)互化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系問題.求動點(diǎn)的軌跡方程主要考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、運(yùn)算求解能力以及分析問題和解決問題的能力.由于求軌跡方程題型繁多、方法靈活、運(yùn)算量大，所以在考試中相當(dāng)一部分考生感到棘手.本文通過實(shí)例，從不同角度對動點(diǎn)軌跡方程的求法進(jìn)行歸納，與大家共勉.

【關(guān)鍵詞】軌跡方程;圓;橢圓;雙曲線

1直接法

將動點(diǎn)滿足的幾何條件坐標(biāo)化，直接利用條件建立動點(diǎn)坐標(biāo)x，y之間的關(guān)系式f（x，y）=0，然后化簡整理，從而求出動點(diǎn)的軌跡方程.一般步驟為：建系、設(shè)點(diǎn)、根據(jù)題目中的限制條件代換出動點(diǎn)坐標(biāo)x，y的關(guān)系式f（x，y）=0、化簡整理、特殊驗(yàn)證.該步驟可簡記為“建設(shè)限代化”.

例1已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），動點(diǎn)M滿足直線AM與BM的斜率之積為-12，求動點(diǎn)M的軌跡方程.

解設(shè)動點(diǎn)M（x，y），

依題意得yx+2·yx-2=-12，

化簡整理得x24+y22=1（|x|≠2）.

故動點(diǎn)M的軌跡方程為x24+y22=1（|x|≠2）.

2定義法

若動點(diǎn)軌跡滿足某一基本曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）的定義，則可根據(jù)其定義法簡潔、快速地求出動點(diǎn)的軌跡方程.

例2已知圓M：（x+1）2+y2=1，圓N：（x-1）2+y2=9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，求動圓圓心P的軌跡方程.

解如圖所示，設(shè)動圓P的半徑為r，

則|PM|=1+r，|PN|=3-r，

所以|PM|+|PN|=4gt;|MN|=2，

即動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)M，N的距離的和是常數(shù).

又根據(jù)橢圓的定義，知

動點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，左頂點(diǎn)除外，

其中a=2，c=1，則b2=3.

故動點(diǎn)P的軌跡方程為

x24+y23=1（x≠-2）.

3待定系數(shù)法

如果已知條件給出了曲線的類型（直線、圓、橢圓、拋物線等）時(shí)，可用待定系數(shù)法求出動點(diǎn)的軌跡方程.

例3已知橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），四點(diǎn)P1（1，1），P2（0，1），P3-1，32，P41，32中恰有三點(diǎn)在橢圓上.求橢圓的方程.

解因?yàn)镻3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，

由題意知橢圓必過P3，P4兩點(diǎn)，

又點(diǎn)P4的橫坐標(biāo)為1，

所以橢圓必不過點(diǎn)P1，

故橢圓過P2，P3，P4三點(diǎn).

將P2，P3兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入橢圓的方程，得

a2=4，b2=1，

所以橢圓的方程為x24+y2=1.

4相關(guān)點(diǎn)法

相關(guān)點(diǎn)法也稱代入法、坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法.如果曲線f（x，y）=0上有一動點(diǎn)A（x0，y0）（稱為主動點(diǎn)），依某種條件帶動另一動點(diǎn)B（x，y）（稱為被動點(diǎn)）運(yùn)動，這時(shí)可根據(jù)條件找出點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的坐標(biāo)關(guān)系式，并用（x，y）表示（x0，y0），再將x0，y0代入已知曲線方程f（x，y）=0，即可得到動點(diǎn)B的軌跡方程.

例4設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓C：x22+y2=1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，動點(diǎn)P滿足NP=2NM.求動點(diǎn)P的軌跡方程.

解設(shè)P（x，y），M（x0，y0），

則N（x0，0），

NP=（x-x0，y），

NM=（0，y0），

由NP=2NM，得x0=x，y0=22y，

因?yàn)镸（x0，y0）在C上，

所以x22+y22=1，

故動點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=2.

5參數(shù)法

當(dāng)動點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到時(shí)，可尋求引發(fā)動點(diǎn)P運(yùn)動的某個(gè)幾何量t（稱為參數(shù)）.以參數(shù)為橋梁，分別建立動點(diǎn)P的坐標(biāo)x，y與該參數(shù)t的關(guān)系x=f（t），y=g（t），進(jìn)而消去參數(shù)t，即可得到動點(diǎn)P的軌跡方程.

例5已知圓O的方程為x2+y2=4，過圓上任一點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為N，求線段PN中點(diǎn)M的軌跡方程.

解設(shè)M（x，y），

因?yàn)閳AO的方程為x2+y2=4，

所以可設(shè)P（2cosθ，2sinθ），則

N（2cosθ，0）.

因?yàn)镸為線段PN的中點(diǎn)，

所以x2=cosθ，y=sinθ，

兩式平方相加整理得x24+y2=1.

所以線段PN中點(diǎn)M的軌跡方程為x24+y2=1.

6幾何性質(zhì)法

若所求的動點(diǎn)軌跡滿足某些幾何性質(zhì)，可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，利用平面幾何或解析幾何的圖形性質(zhì)探索出動點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律或動點(diǎn)滿足的條件，進(jìn)而求出動點(diǎn)的軌跡方程.

例6設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程.

解依題意，圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（x+1）2+y2=16，

所以A（-1，0），且|AB|=2，

因?yàn)閨AD|=|AC|，EB∥AC，

所以∠EBD=∠ACD=∠ADC，

故|EB|=|ED|，

|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4.

又根據(jù)橢圓定義，得動點(diǎn)E的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，左右頂點(diǎn)除外，其中a=2，c=1，

則b2=3.

故動點(diǎn)E的軌跡方程為x24+y23=1（y≠0）.

7交軌法

對于求兩動曲線交點(diǎn)的軌跡方程，可先選出一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)，求出兩動曲線的方程或動點(diǎn)坐標(biāo)適合的含參數(shù)的等式，再消去參數(shù)，進(jìn)而得到所求動點(diǎn)的軌跡方程.

例7設(shè)拋物線y2=2px的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），P為拋物線上任意一點(diǎn)，PQ⊥l，Q為垂足，求直線QF與OP的交點(diǎn)M的軌跡方程.

解設(shè)P（2pt2，2pt）（t≠0），

則Q-p2，2pt，

所以直線OP的方程為y=1tx.

又Fp2，0，

所以直線QF的方程y=-2tx-p2.

設(shè)M（x，y），

則由y=1tx，y=-2tx-p2，消去參數(shù)t得

y2=-2xx-p2=-2x2+px.

故直線QF與OP的交點(diǎn)M的軌跡方程為

y2=-2x2+px.

8點(diǎn)差法

對于某些涉及動弦的中點(diǎn)的軌跡問題，可以考慮采用點(diǎn)差法.只要通過代點(diǎn)作差，并以中點(diǎn)弦的斜

率為橋梁，就可獲得動點(diǎn)的軌跡方程.運(yùn)用點(diǎn)差法求動點(diǎn)的軌跡方程可達(dá)到“設(shè)而不求”的目的，同時(shí)還可降低解題的運(yùn)算量，優(yōu)化解題過程.

例8已知橢圓x22+y2=1，過點(diǎn)A（2，1）的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN的中點(diǎn)Q的軌跡方程.

解設(shè)Q（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），

把M，N兩點(diǎn)分別代入橢圓x22+y2=1，得

x212+y21=1和x222+y22=1.

兩式作差得（x1+x2）（x1-x2）+

2（y1+y2）（y1-y2）=0，

由題意知x1≠x2，

且x1+x2=2x，y1+y2=2y，

所以2x（x1-x2）+4y（y1-y2）=0.

又y1-y2x1-x2=y-1x-2，

整理得x2+2y2-2x-2y=0.

故線段MN的中點(diǎn)Q的軌跡方程為

x2+4y2-2x-4y=0（在橢圓內(nèi)的部分）.

9向量法

用向量法求動點(diǎn)的軌跡方程，可避開復(fù)雜的討論，使解題思路更加清晰、簡潔.

例9已知點(diǎn)P（2，2），圓C：x2+y2-8y=0，過點(diǎn)P的動直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M.求點(diǎn)M的軌跡方程.

解依題意，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2+（y-4）2=16，

則C（0，4）.

設(shè)M（x，y），

則CM=（x，y-4），

MP=（2-x，2-y），

由題意知CM⊥MP，

所以CM·MP=0，

故x（2-x）+（y-4）（2-y）=0，

化簡整理得（x-1）2+（y-3）2=2.

故點(diǎn)M的軌跡方程為

（x-1）2+（y-3）2=2.

求動點(diǎn)軌跡方程的方法很多，以上是主要方法，也是常用方法.無論用哪種方法求動點(diǎn)的軌跡方程，都必須注意軌跡方程所滿足的兩個(gè)特性（純粹性和完備性），同時(shí)在求解時(shí)必須重視挖掘問題的幾何性質(zhì)，審查問題特征，恰當(dāng)?shù)剡x擇合適的方法.