探究一道圓錐曲線試題引發的最值問題

【摘要】筆者在教學過程中遇到一道試題，對題中的部分條件進行了思考，通過查閱與圓錐曲線中與最值相關的文獻，發現本文中得到的結論別有一番風味，特進行了整理，以饗讀者.

【關鍵詞】圓錐曲線;最值;動點

1試題呈現

已知點F（1，0），直線l：x=-1，動點P到定點F和定直線l的距離相等，動點P的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程;

（2）以曲線C上點P（x0，y0）（y0gt;0）為切點作曲線C的切線l1，設l1分別于x，y軸交于A，B兩點，且l1恰與以定點M（a，0）（agt;2）為圓心的圓M相切，當圓M的面積最小時，求△ABF與△PAM面積的比值.

2發現嘗試與歸納推廣

解（1）由點F（1，0），直線l：x=-1，動點P到定點F和定直線l的距離相等，根據定義可知P點的軌跡是以直線l為準線，F為焦點的拋物線，則點P的軌跡為y2=4x.

（2）由題知切線l1的斜率必然存在，

設為k，則l1：y-y0=k（x-x0），

由y-y0=k（x-x0），y2=4x，得

y-y0=k14y2-x0，

即y2-4ky+4ky0-y20=0.

由Δ=0，得k=2y0，

則l1方程為4x-2y0y+y20=0.

令x=0，則y=y02，即有B0，y02.

令y=0，則x=-y204=-x0，即有A（-x0，0），

則點M（a，0）（agt;2）到切線l1的距離

d=|y20+4a|2y20+4=y20+42+2a-2y20+4

≥2a-1（當且僅當y0=2a-2時取等號）

即當P（a-2，2a-2）時，圓M的面積最小.

此時A（2-a，0），B（0，a-2），

則S△ABF=12|1-（2-a）|·a-2

=12（a-1）a-2，

S△PAM=12|a-（2-a）|·2a-2

=2（a-1）a-2，

可得S△ABFS△PAM=14.

通過上面第（2）問定點到切線最短距離的求解，筆者嘗試研究了拋物線上的動點D與定點M之間的最短距離取得最小值時的位置，得到了一些結論：

結論1已知拋物線y2=2px（pgt;0），定點M在x軸上（異于原點），P是拋物線上與點M距離最近的點，則拋物線在點P處的切線與直線PM垂直.

證明設D（x，y）是拋物線上任一點，

M（a，0）（a≠0），

則DM=（x-a）2+y2=（x-a）2+2px

=x2-（2a-2p）x+a2，

對于f（x）=x2-（2a-2p）x+a2（x≥0），

對稱軸方程為x=a-p.

若agt;p，顯然當x=a-p時，f（x）有最小值，

即DM取得最小值，

故當P點的橫坐標為a-p時，DM取得最小值.

設拋物線C上點P（x0，y0）處的切線方程為

x-x0=m（y-y0），

由x-x0=m（y-y0），y2=2px，可得

y2=2p（my-my0+x0），

即y2-2pmy+2pmy0-2px0=0，

由Δ=0，得4p2m2-8pmy0+8px0=0，

又點P（x0，y0）在拋物線上，

即y20=2px0，

代入上式，可得（pm-y0）2=0，

即m=y0p，

則點P切線方程為x-x0=y0p（y-y0），

即y0y=p（x+x0），

由agt;p知x0≠0，則y0≠0，

此時切線的斜率為k=py0，

同理有kPM=y0x0-a，

則有k·kPM=px0-a，

又x0=a-p，

所以k·kDM=-1，

故使DM取得最小值時的點D處的切線與直線DM垂直.

若alt;p且a≠0時，則

當x=0時，DM取得最小值，此時P（0，0），

在點P處的切線為y軸，

而DM所在直線為x軸，顯然垂直.

綜上知，結論1成立.

緊接著，對結論1的逆命題進行了研究，又可得到了下面的結論：

結論2已知拋物線y2=2px（pgt;0），過拋物線上任一點P（異于原點）作一條直線l與點P處的切線垂直，直線l交x軸于點M，則P是拋物線上與點M距離最近的點（P關于x軸的對稱點也符合）.

證明設P（x0，y0）為拋物線上任一點（異于原點），

由結論1可知

在點P處的切線方程為y0y=p（x+x0），

則過點P且與切線垂直的直線l方程為

y-y0=-y0p（x-x0），

而直線l交x軸于點M，

令y=0得M（x0+p，0），

設A（x，y）為拋物線上任意一點，

由距離公式可得

AM=（x-x0-p）2+y2

=（x-x0-p）2+2px

=x2-2x0x+（x0+p）2，

因為x0gt;0，則當x=x0時，AM最小，

由對稱性可知，點P關于x軸的對稱點也符合，

則點P是拋物線上與點M距離最近的點（點P關于x軸的對稱點也符合）.

注結論1把問題背景推廣到了更為一般的焦點在x軸正半軸上的拋物線，其實M點只需要在拋物線的對稱軸上（除去頂點）即可，其中結論2則是結論1的逆命題.

3類比探究

考慮到圓錐曲線具有“本是同根生”的性質，筆者嘗試把上述結論類比到橢圓與雙曲線中，于是有了下面的結論：

結論3已知橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），定點M在x軸上（異于左右定點），P是橢圓上與點M距離最近的點，則橢圓在點P處的切線與直線PM垂直.

結論4已知橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），過橢圓上任一點P（異于左右頂點）作一條直線l與點P處的切線垂直，直線l交x軸于點M，則P是橢圓上與點M距離最近的點（P關于x軸的對稱點也符合）.

對于雙曲線，考慮到有兩支，這里得到的結論只針對右半支.

結論5已知雙曲線x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0），定點M在x軸上（異于右頂點），P是雙曲線右支上與點M距離最近的點，則雙曲線在點P處的切線與直線PM垂直.

結論6已知雙曲線x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0），過雙曲線右支上任一點P（異于右頂點）作一條直線l與點P處的切線垂直，直線l交x軸于點M，則P是雙曲線上與點M距離最近的點（P關于x軸的對稱點也符合）.

由于證明的過程高度相似，這里只選取結論3進行證明，其余結論讀者自行證明.

在證明結論3之前，先證明一個補充結論：

橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）在P（x0，y0）處的切線方程為x0xa2+y0yb2=1.

證明當切線的斜率存在時，

設直線的方程為y-y0=k（x-x0），

由y-y0=k（x-x0），x2a2+y2b2=1，可得

（b2+k2a2）x2+2ka2（y0-kx0）x+

a2[（y0-kx0）2-b2]=0，

由Δ1=4k2a4（y0-kx0）2-

4a2[（y0-kx0）2-b2]（b2+k2a2）=0，

可得b2+k2a2=（y0-kx0）2，

即（x20-a2）k2-2x0y0k+y20-b2=0，

考慮到橢圓上一點處有且只有一條切線，

則有Δ2=4x20y20-4（x20-a2）（y20-b2）=0，

即b2x20+a2y20-a2b2=0，

此時k=x0y0x20-a2=b2x0y0b2x20-a2b2=-b2x0a2y0，

代入y-y0=k（x-x0），

可得切線方程為x0xa2+y0yb2=1.

當切線的斜率不存在時，有x0=±a.

若x0=a，切線方程為x=a，滿足方程

x0xa2+y0yb2=1;

若x0=-a，切線方程為x=-a，滿足方程

x0xa2+y0yb2=1.

綜上知，橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）在P（x0，y0）處的切線方程為x0xa2+y0yb2=1.

下面給出結論3的詳細證明：

證明設M（t，0），t≠±a，A（x，y）是橢圓上任一點，

由距離公式可知

AM=（x-t）2+y2

=（x-t）2+b2-b2a2x2

=c2a2x2-2tx+t2+b2.

令f（x）=c2a2x2-2tx+t2+b2，-a≤x≤a，

易知對稱軸方程為x=ta2c2，

若ta2c2≤-a，當x=-a時，AM取得最小值，此時點P是左頂點，

則點P處的切線方程為x=-a，

顯然橢圓在點P處的切線與直線PM垂直.

同理可證，當ta2c2≥a時，結論也成立.

若-alt;ta2c2lt;a（t≠0），

當x=ta2c2時，AM取得最小值，

設P（x0，y0），x0=ta2c2，

由前面的附加證明可知橢圓在P（x0，y0）處的切線方程為x0xa2+y0yb2=1，

此時切線斜率為k=-b2x0a2y0，

則有k·kPM=-b2x0a2y0·y0x0-t=-b2x0a2（x0-t），

將x0=ta2c2代入可知k·kPM=-1，

即橢圓在點P處的切線與直線PM垂直.

若ta2c2=0，即t=0時，顯然橢圓在點P處的切線與直線PM垂直.

綜上知，結論3成立.

注橢圓、雙曲線、拋物線因為其高度相似的性質，往往可以嘗試從其中的一種曲線得出的結論類比到另外兩種曲線的相應結論，而在類比時也要注意曲線之間的區別，就像結論5、6一樣，適當的對條件進行局部條件的加強，從而使得推廣能夠成立.