構造新數列速求通項公式

【摘要】求數列的通項公式是各級各類考試中常見的題目，一般是選擇題、填空題以及解答題中的一個小題，由于題設條件不同，題型也形式多樣，但其中有一類比較多見，即已知數列的遞推公式（an與an-1的關系式）求其通項公式，解決這一類問題除驗算—猜想—證明的方法外，就是利用所給公式的本身的變形構造出一個新數列，即它是一個新等差或等比數列，然后運用其性質來求解.解題中需要抓住給出條件式的特點，再運用代數手段進行恰當的變形，而變形方法是需要有一定的技巧.

【關鍵詞】數列;通項公式;解題技巧

下面就此問題通過典例分析闡述常用的九種變形手段，供同學們參考.

1巧妙配湊

例1已知數列{an}中，a1=2，a2=4，且an+2-2an+1+an=2，求an.

解由an+2-2an+1+an=2，得

（an+2-an+1）-（an+1-an）=2.

即數列{an+1-an}是以a2-a1=2為首項，公差為2的等差數列，

即an+1-an=2n，

則an

=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1

=2（n-1）+2（n-2）+…+2+2

=2×（n-1）n2+2=n2-n+2.

2適時相除

例2已知{an+1-2an}是以2為公比的等比數列，且a1=1，a2=4，求an.

解因為{an+1-2an}是以公比為2的等比數列，且首項a2-2a1=2，

則an+1-2an=2n，

兩邊同除以2n+1，得an+12n+1-an2n=12，

則數列an2n是以12為公差，a12=12為首項的等差數列，

即an2n=12+12（n-1）=n2，

故an=n·2n-1.

3平方整理

例3已知函數f（x）=x2+4（x≥0）.若a1=1，an=f（an-1），求數列{an}的通項公式.

解由于an=f（an-1），

所以an=a2n-1+4，

兩邊平方后再移項得a2n-a2n-1=4，

所以數列{a2n}是以a21=1為首項，公差為4的等差數列，

于是a2n=1+（n-1）×4=4n-3，

又angt;0，

所以an=4n-3.

4開方變形

例4若函數f（x）=（x+2）2（xgt;0），已知正項數列{an}的首項a1=2，前n項和Sn滿足Sn=f（Sn-1）（n≥2且n∈N*），求其通項公式an.

解因為angt;0，

所以Sngt;0，

由Sn=f（Sn-1）=（Sn-1+2）2，

兩邊開方得Sn=Sn-1+2，

即Sn-Sn-1=2，

所以數列{Sn}是以S1=a1=2為首項，公差為2的等差數列，

即Sn=2+（n-1）×2=2n，

則Sn=2n2，

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=4n-2，

當n=1時，a1=2也適合上式，

故an=4n-2（n∈N*）.

5巧取倒數

例5已知數列{an}中，a1=2，an=2an-1an-1+2（n≥2），求其通項公式an.

解由題意知an≠0，

將公式an=2an-1an-1+2兩邊同時取倒數得

1an=an-1+22an-1=1an-1+12，

即1an-1an-1=12，

所以數列1an是首項為1a1=12，公差為12的等差數列，

所以1an=12+（n-1）×12=n2，

于是an=2n.

6智取對數

例6設agt;0，已知直線l：y=ax及曲線C：y=x2，C上的點Q1的橫坐標為a1（0lt;a1lt;a），從C上的點Qn（n≥1）作直線平行于x軸，交直線l于點Pn+1，再從點Pn+1作直線平行y軸，交曲線C于點Qn+1，Qn（n=1，2，3，…）的橫坐標構成數列{an}，求它的通項公式an.

解由特設條件分析易知

Qn（an，a2n），Pn+11aa2n，a2n，Qn+11aa2n，1a2a2n，

所以an+1=1aa2n，

對此式兩邊取常用對數得

lgan+1=2lgan-lga，

再用待定系數法配湊，易得

lgan+1-lga=2（lgan-lga），

則數列{lgan-lga}是以lga1-lga為首項，公比為2的等比數列，

則lgan-lga=（lga1-lga）·2n-1，

lgan=lgaa1a2n-1，

所以an=aa1a2n-1.

7退位相減

例7設數列{an}前n項和為Sn，數列{Sn}的前n項和為Tn，滿足Tn=2Sn-n2，n∈N*.

（1）求a1的值;

（2）求數列{an}的通項公式.

解（1）當n=1時，T1=2S1-1，

因為T1=S1=a1，

所以a1=2a1-1，得a1=1.

（2）當n≥2時，

Sn=Tn-Tn-1

=2Sn-n2-[2Sn-1-（n-1）2]

=2Sn-2Sn-1-2n+1，

所以Sn=2Sn-1+2n-1，①

Sn+1=2Sn+2n+1，②

②-①，得an+1=2an+2.（*）

設an+1+t=2（an+t），

即an+1=2an+t，

與（*）式比較得t=2，

所以an+1+2=2（an+2），

即an+1+2an+2=2（n≥2），

求得a1+2=3，a2+2=6，

則a2+2a1+2=2，

所以{an+2}是以3為首項，2為公比的等比數列，

即an+2=3·2n-1，

故an=3·2n-1-2，n∈N*.

8代數變形

例8已知數列{an}中，a1=1，n∈N*，angt;0，數列{an}的前n項和為Sn，且滿足an+1=2Sn+1+Sn-1.求數列{an}的通項公式.

解由an+1=Sn+1-Sn，得

（Sn+1-Sn）（Sn+1+Sn）-（Sn+1-Sn）=2，

所以Sn+1-122-Sn-122=2，

即數列Sn-122成等差數列，公差為2，首項為

1-122=14，

從而Sn-122=14+2（n-1）=8n-74，

由a1=1，angt;0，得Sngt;1，

故Sn=12+8n-72，

所以當n≥2時，

an=Sn-Sn-1

=12+8n-72-12-8n-152

=8n-72-8n-152，

當n=1時，a1=1.

于是an=1，""" """""n=1，8n-7-8n-152，n≥2.

9引參助解

例9已知數列{an}的前項和Sn滿足

Sn=2an+（-1）n（n∈N*），

求其通項公式an.

解當n≥2時，an=Sn-Sn-1，

則由原式得Sn=2（Sn-Sn-1）+（-1）n，

即Sn=2Sn-1+（-1）n-1.

設Sn+x（-1）n=2[Sn-1+x（-1）n-1]，

得Sn=2Sn-1+2x（-1）n-1-x（-1）n

=2Sn-1+3x（-1）n-1，

與原式比較得3x=1，即x=13，

所以Sn+13（-1）n=2Sn-1+13（-1）n-1，

所以數列Sn+13（-1）n是以2為公比的等比數列，其首項S1+13×（-1）=23.

即有Sn+13（-1）n=23·2n-1，

即Sn=13·2n-13（-1）n，

又2an=Sn-（-1）n，

所以an=1213·2n-13（-1）n-（-1）n

=13·2n-1-23（-1）n.

上面介紹了九種求數列通項公式的方法，而大多數是根據題目特點所采取的應對措施，從解題能力提高來說，歸類總結具有特點的求解方法是非常有效的學習手段，我們要善于歸納總結.