概念教學：從起源與發展的角度

李建良 林永偉

摘 要：數學概念在數學學習過程中處于核心地位。數學概念的形成是一個復雜的過程，教師在教學設計與實施的過程中，應追本溯源，關注概念的起源，使學生能形成正確的表象；應循序漸進，逐漸深入地刻畫概念的內涵，使學生能拾級而上，直達本質；應適當關注概念的外延，使學生能全面完善地認識概念。

關鍵詞：《面積》；概念教學；概念起源；概念發展

* 本文系浙江省杭州市2021年教師教育科研課題“基于互聯模型的小學校本研修的現狀和推進研究”（課題編號：JSJY2021003）成果之一。

李邦河院士曾經說過：“數學根本上是玩概念的。”這其實體現了數學概念在數學學習中的核心地位。數學概念的形成是一個漫長的過程，教材中呈現的概念往往經過了長期的凝練，因此具有高度的抽象性。這一方面使得數學概念能夠直接反映對象的本質，整體呈現出一種簡潔美，但另一方面，也舍棄了一部分對概念的刻畫過程，導致學生無法全面、深刻地理解概念。因此，在教學過程中，有必要回到概念的原點，抓住其形成的關鍵節點，帶領學生充分經歷和體驗概念的形成過程。筆者從概念起源與發展的角度出發，對人教版小學數學三年級下冊《面積》一課中的核心概念“面積”進行了教學嘗試，以期讓學生達成深刻理解。

一、利用生活語言描述概念起源

數學概念不是孤立存在的，在學生認識概念的過程中，相似或相關的概念之間必然會相互影響。這些影響有時會對新概念的形成產生積極作用，有時則會產生混淆，不利于學生理解概念本質。因此，在學生初識概念時，可以有意識地從概念起源的角度將其與相關的概念進行比較與區別，形成概念教學的首因效應。

雖然面積是二維概念，但它與一維的長度概念有著密切聯系。小學階段，各版本教材的編排通常也是先教學長度（包括周長），再教學面積，學生難免會混淆平面圖形周長和面積的概念，但面積的教學又很難回避長度。因此，教師可以借助情境，帶領學生回到面積概念的起點，結合實際生活經驗，幫助學生形成正確的表象，初步體會面積的含義。本節課中，筆者以面積概念的起源——土地測量為素材，把抽象的概念融入生活化的素材中，讓學生用生活語言描述他們對面積、長度以及面積與長度的關系的理解，具體教學過程如下：

師：同學們，很早很早以前，人們測量長度用的不是尺子，你知道用的是什么嗎？

生：用拃，也可以張開手臂（一庹）或者用腳（一步）來測量。

師：對了，人們常常用腳步來丈量距離。比如說，從家里出發到樹林摘果子要走200步，到小河邊捕魚要走150步。后來，人們想要獲取更多的食物，你猜他們會怎么做？

生：可以種糧食。

師：是的。如果要在一塊長200步、寬150步的地里種糧食，種植糧食的地方大小，與長和寬有關系嗎？

生：沒有關系，因為莊稼是種在里面的，不是種在長與寬上的。

生：我覺得有關系，雖然是種在里面，但這塊地的大小是由長200步和寬150步決定的。

師：結合同學們的意見，長與寬圍起來的土地大小，可以叫作它的面積。像這樣，物體表面，比如操場、桌面等，或者封閉圖形，比如長方形、三角形等，它們的面的大小，就叫作面積。

退回到概念的原點，以生活經驗作為學習的起點，用最樸素的語言表達對長度和面積及其相互關系的直觀認知，這是一種有別于以往教學中簡單堆積實例的教法。雖然學生還不能用數學語言進行準確表達，但從“莊稼是種在里面的，不是種在長與寬上的”“這塊地的大小是由長200步和寬150步決定的”等表述中，我們可以發現，學生其實能夠模糊地知道面積的概念，并能理解邊長和面積之間存在關系。當然，對于概念的形成而言，學生的表述只是表達了他們的直觀感受，他們對概念的認識顯然還停留在經驗層面。因此，要想讓學生更加深刻地理解概念，還需要對概念的本質做更深入的刻畫。

二、開展多種活動刻畫概念本質

對數學概念的理解不能停留在表面，想要真正理解和掌握某一數學概念，就要準確把握概念的各個要素，以及要素之間的聯系。這就需要基于學生已有的認知和經驗，設計不同層次、不同側重點的學習任務，引導學生在一系列觀察、比較、分析、概括等感知和思維活動中，深入挖掘概念的本質內涵，提煉、總結出所學概念的本質特征，這是概念學習的關鍵環節。

面積概念的形成，既要注重結果，也要關注過程。也就是說，我們最終要讓學生能以恰當的方式表示給定圖形的面積大小，同時也必須讓他們了解得出這一結果的過程和方法，并體會其中蘊含著的面積“有限可加性”（所求圖形面積是單位面積的累加）。本節課中，筆者設計了一系列活動，將面積的這一屬性多次運用到圖形的面積測量或計算中，引導學生在活動中經歷概念的發生與發展過程，逐步剝離概念的非本質屬性，深入挖掘概念本質。

（一）活動一：感受長度與面積的聯系

教學中要充分利用概念之間的聯系，將學生的已有經驗化作概念學習的助力。教學“面積”前，學生已經具備了對長度“有限可加性”的認知，這對面積“有限可加性”的理解具有正遷移作用。筆者設計了“比較一條邊長相等的兩個長方形（正方形）的大小”的活動，學生在解決這一問題時，只需考慮另一條邊的長度與面積的大小關系，從中感受面積與邊長的聯系。活動過程如下：

師：同學們，老師這里有兩塊地，①號地是長16步，寬16步的正方形；②號地是長32步，寬16步的長方形。這兩塊地誰大誰小？

生：把兩塊地疊在一起就可以比了。

生：因為它們寬是一樣的，①號地長16步，②號地長32步，所以②號地更大。

（二）活動二：比較長度與面積的區別

在學生借助已有經驗初步研究概念后，教師需設法幫助學生突破原有認知的束縛，讓學生的注意力快速轉向探求新概念的本質屬性。筆者組織學生比較長、寬各異的兩個長方形的面積，學生無法像之前一樣直接對比，從而引發他們對邊長與面積關系的思考，催生了尋找、運用新的測量工具或單位的需要。活動過程如下：

師：（出示：③號地長24步、寬16步，④號地邊長20步）現在，比一比③號地和④號地的邊，能不能直接看出誰大誰小？

生：不能，③號地的長比④號地的長要長，但寬比④號地的短，很難說誰大誰小。

生：可以用一個小正方形量一量。

師：如果用剛才的①號地來量，你發現了什么？

生：（出示圖1）用①號地量③號地還剩一點，量④號地也還剩一點。但是剩下的也看不出誰大誰小。

（三）活動三：選擇恰當的度量單位

學生對概念的本質有了初步的認識后，教師應有意識地制造認知沖突，激發學生進一步探究的意愿。在測量不同長方形的面積時，學生必然會想到用多種單位面積去測量，也就必然面臨單位面積的選擇問題。學生選用不同的單位面積，應產生于解決問題的實際需要。因此，筆者設計了測量長方形面積的活動，加深學生對“圖形面積是單位面積的累加”這一本質的理解和對單位面積之間的關系的體會。活動過程如下：

師：用①號地來量也依然無法判斷，但你有沒有從中獲得什么啟示？能用什么辦法來對比③號地和④號地的大小呢？

生：用再小一點的正方形，補在旁邊空缺的地方就可以了。

（教師提供邊長8步和邊長4步的小正方形學具，學生開展小組合作探究后匯報。）

生：③號地我們用邊長8步的正方形來量，一共用了6塊。

生：④號地我們用邊長8步的正方形量，用了4塊，還有多余，再用邊長4步的正方形來量，用了9塊。

生：我們小組剛才量之前先比了比，發現4塊小的（邊長4步的正方形）和1塊大的（邊長8步的正方形）一樣。所以④號地就等于6塊大的加1塊小的，比③號地多1塊小的。

（教師根據學生描述，同步在黑板上拼貼板書，最終形成圖2。）

生：我們是直接用邊長4步的正方形去量④號地，發現剛好可以量完，用了25塊。

生：③號地也可以全部用邊長4步的正方形去量，一共要用24塊，比④號地少1塊。

教師只有結合具體教學內容，對概念形成機制進行深入解讀，并準確把握學生的學習規律和認知心理，才能引導學生循序漸進、穩步扎實地形成數學概念。這一系列活動是在教材提供的素材和思路的基礎上的進一步細化，體現了概念形成和發展的過程性和層次性。學生在活動中獨立觀察、交流思考、深入理解，自主發現了單位面積之間的倍數關系，也為后續學習國際標準面積單位之間的進率與轉換鋪墊。

三、借助實際問題拓展概念外延

概念的內涵比較抽象，學生認識了概念的內涵，并不意味著完全掌握了概念。小學生傾向于用直觀、具體、形象的表象幫助理解和記憶，并在頭腦中對這些表象進行加工，從而化繁為簡、加深理解。也就是說，學生頭腦中積累的正確表象越多，就越容易發現其中的規律。因此，要想讓學生全面認識、深入理解概念，還需要適當拓展它的外延。教學中，除了舉例等直接呈現的形式外，還可以讓學生運用概念解決相關問題，逐步達成拓展概念外延的目的。

考慮到數學知識本身的系統性，本節課有必要引導學生進一步探究并形成對單位面積的認知體系。為此，筆者為學生提供了若干個長方形作為被測量對象，促使學生不斷創造新的單位面積，并自主形成單位面積體系。具體教學過程如下：

師：（出示：⑤號地長16步、寬14步，⑥號地長15步、寬14步）這兩塊地還能用邊長8步的正方形來完整地測量嗎？邊長4步的呢？

生：⑤號地不能用邊長8步的正方形量，橫著可以放兩個，豎著放一個還有剩余；也不能用邊長4步的正方形量，14除以4除不盡。

生：可以用邊長2步的正方形量，一行放8個，有7行。

生：⑥號地不能用邊長8步或4步的正方形量，2步的也不行，可以用更小的，比如邊長1步的正方形量。

（課件演示測量⑤號地和⑥號地的過程，如圖3。）

師：剛才同學們創造了邊長分別為8步、4步、2步、1步的正方形來測量這些長方形。你喜歡用大的正方形還是小的正方形來量？

生：我喜歡用大的正方形，量起來快。

生：我喜歡用小的，小的可以量各種各樣的長方形。

生：其實它們各有優點和缺點。大的量起來方便，但常常會有多余；小的可以量各種長方形，但是數個數有點麻煩。

師：你的評價非常公正。是的，為了測量不同的長方形，我們應該根據實際需要靈活地選擇不同大小的正方形作為測量單位。

學生在解決實際問題的過程中，進一步創造新的單位面積，形成了較為完整的單位面積體系，擴大了面積和單位面積概念的外延。學生在評價不同單位面積的過程中，進一步深化了對單位面積的價值的理解，對面積和面積的測量有了較為全面的認識。學生在感受到“面積大小”可以用“正方形的個數”來描述時，自然實現了對面積本質的高度抽象和概括，建構了面積單位的意義，因此，筆者在教學時并沒有指出“通常用邊長為1個單位的正方形作為面積單位”，而是讓學生“靈活地選擇不同大小的正方形作為測量單位”。

概念教學中，要帶領學生經歷“直觀描述概念—刻畫概念本質—豐富概念外延”的過程。在這些過程中，教師應盡可能為學生創造更多獨立思考、操作體驗、交流互動、應用拓展的機會，為數學概念在學生心中扎根提供肥沃的土壤。

參考文獻：

[1]蕭恩穎.順應認知規律 調整學習序列——基于“量感”形成的“面積”單元整體設計與教學實踐思考學[J].教學月刊·小學版（數學），2021（3）.

[2]楊鳳萍.概念在探究中深度建構——基于滬教版三上“面積”的教學實踐與思考[J].小學數學教師，2021（11）.

（李建良，浙江省杭州市蕭山區夾灶小學，郵編：311247；林永偉，副教授，杭州師范大學繼續教育中心，郵編：311121）