以項目式學習促進學生數學核心素養發展

王連國 傅海倫

[摘 ?要] 當前基礎教育改革已經從“以學科為中心”轉向“以學生為中心”，從“知識技能獲得”轉向“核心素養發展”，從“信息工具使用”轉向“學習方式變革”，而數學項目式學習對三個轉向的實現有無與倫比的獨特作用，是促進學生創新能力發展，促進核心素養落地的重要途徑.

[關鍵詞] 項目式學習;數學核心素養;無蓋長方體

提出研究問題

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在課程目標中明確提出，通過義務教育階段的學習，學生能體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，能有發現、提出問題的能力及分析、解決問題的能力. 數學課程應符合學生的認知規律和心理特征，引導學生經歷構建模型、尋求結果、解決問題的過程. 如何能更好地實現新時代的育人目標，促進核心素養的落地呢？基于以上思考，筆者嘗試進行了數學項目式學習的探索.

為了讓項目式學習的內容更貼近學生的生活，同時也為了充分利用教材內容做延伸和拓展，筆者在初一學生學完“展開與折疊”內容之后，向他們提出貼近生活的一個問題：如何利用一張正方形紙片，制作一個盡可能大的無蓋長方體紙盒（不允許拼補）？通過該項目研究，我們發現一張紙片中蘊藏了哪些數學秘密？

項目目標與方案設計

對各小組（每組6人，共6個小組）預案進行展示和討論，逐步篩選辨析，在此基礎上，對各小組的方案進行優化整合，形成項目式學習的研究方案（如表1）.

筆者將項目下放給全體學生，讓學生在真實的情境中體驗方案策劃、數據分析、實踐論證、反思改進，再將學生生成的不同信息和資源收集起來作為項目式學習的互動性資源. 從對學生解決方案的調整中，筆者欣喜地發現學生學會了如何在團隊協作中切實提高分析問題和解決問題的能力.

項目方案的實施與評價

第一階段：制作無蓋長方體紙盒匯報

小組A展示：在正方形的四個角分別畫一個相等的小正方形，然后沿著裁剪線把小正方形剪掉，從而折成一個無蓋長方體紙盒（如圖1）.

筆者發現在紙盒制作中，有些學生的小正方形裁剪得很不標準，導致組裝的紙盒很不協調，這些學生非常急切地向裁剪得精致美觀的學生請教. 本階段，學生的學習是主動而快樂的，通過動手操作，進一步激發了學生學習數學的興趣.

第二階段：求紙盒容積的代數表達式，建立數學模型

如果大正方形的邊長為a，剪掉的小正方形的邊長為h，你能用a和h來表示這個無蓋長方體紙盒的容積V嗎？

（1）折成的無蓋長方體紙盒的高是______;

（2）折成的無蓋長方體紙盒的底面積是_______;

（3）折成的無蓋長方體紙盒的容積V= _______.

本階段，學生對項目任務非常感興趣，他們借助圖形的展開和折疊（如圖2），一起經歷確定目標、設計圖紙、測量數據、制作模型、交流展示的過程，培養了動手操作能力. 學生在積極主動、活潑的氛圍下用字母表示數將實際問題轉化為數學問題，用代數式的值去推斷“容積變化與剪掉的小正方形的邊長變化之間的聯系”，發展空間觀念，感受函數思想以及數學符號在實際問題中的應用，體驗數學活動充滿著探索與創造.

本階段讓學生體會將實際問題轉化為數學問題的過程，在動手實踐過程中體會建模的方法，培養了學生的直觀想象素養和數學建模素養，為下一步分割逼近尋找最大值做好準備.

第三階段：合作探究，分割逼近

各小組展示完成果后，筆者追問：為什么你們剪裁粘貼后的長方體形狀是不一樣的呢？造成區別的源頭在哪里？如何判斷容積最大？最大值是多少？因為初一學生還沒形成科學的研究方法，所以筆者引導他們從一般到特殊再到一般地進行探究. 小組討論確定先通過代入具體數值計算紙盒容積，把原有方案進一步細化與完善.

小組B展示：（如表2）.

當a=20時，隨著h的變化，容積V如何變化？怎樣才能直觀形象地表達這種關系？

師：當剪去的小正方形的邊長等于3時，得到的無蓋長方體紙盒的容積是最大的嗎？

生：通過折線統計圖（如圖3）發現，當小正方形的邊長為3 cm時，長方體紙盒的容積并不一定是最大的，而應該是當小正方形的邊長在3與4 cm之間時，長方體紙盒的容積最大.

師：那么當小正方形的邊長在3與4 cm之間取何值時，長方體紙盒的容積最大呢？我們可以在3與4 cm之間，按0.1 cm的間隔取值，然后代入計算.

小組合作，明確分工，完成統計表和統計圖的制作.

小組C展示：（借助Excel完成探究過程）

師：通過這些數據的變化，你發現了什么？當小正方形的邊長取什么值時，所得到的無蓋長方體紙盒的容積最大？最大值是多少？

生：結合統計圖表（如表3和表4）可以看出，當剪去的小正方形的邊長等于3.3 cm時，所得到的無蓋長方體紙盒的容積最大，此時紙盒的容積是592.548 cm3.

本階段讓學生經歷實驗、想象、猜測的過程，感悟正確的探究方向. 通過小組合作，歸納出結論，體會分割逼近的思想，體會探究學習的方法，培養了學生數學運算素養和數據分析素養.

第四階段：問題升級，探求本質

師：當剪去的小正方形的邊長等于3.3 cm時，所得到的無蓋長方體紙盒的容積是592.548 cm3. 這時得到的容積是最大的嗎？

我們繼續可以在3.3與3.4 cm之間，按0.01 cm的間隔取值，然后代入計算.

（借助Excel完成探究過程，運用分割逼近的思想方法. ）

生：結合統計圖表（如表4）可以看出，當剪去的小正方形的邊長等于3.33 cm時，所得到的無蓋長方體紙盒的容積最大.

師：在方案一中，當小正方形邊長在3與4 cm之間容積達到最大;在方案二中，當小正方形邊長在3.3與3.4 cm之間容積達到最大. 以此類推，在3.3與3.4 cm之間分別以0.01 cm，0.001 cm，…為間隔計算無蓋長方體紙盒的容積，即可得到小正方形邊長為3.333333333…時，無蓋長方體紙盒的容積最大.

師：事實上，運用分割逼近的數學方法，在h=3的周圍不斷地縮小間距取值，可以發現紙盒中蘊含著這樣一個秘密：當h=a時，紙盒的容積最大，最大值為V=a3，此時V=592.

另外，如果我們改變a的值，重復上面的探索過程，那么經過比較、歸納、猜想也可以發現該結論.

有了上一個問題的基礎，對這個問題的解決學生駕輕就熟，運用圖像法、分割逼近思想找到了h的精確值. 但是學生不容易發現變量h與常量a的一般規律，因此筆者將原來的問題調整為：設正方形的邊長為a，當h與a之間滿足什么關系時，折得的無蓋長方體紙盒的容積有最大值呢？

通過前面兩個階段的活動，引導學生討論、反思，從而引發學生繼續對問題進行研究. 在這一過程中，學生運用學過的統計知識對數字信息進行處理，從特殊到一般，抽象思維與形象思維不斷轉換，從而發現本質，培養了數據分析素養與數學抽象素養.

感悟與思考

1. 開展項目式學習，關注學習過程，培養學生的創新能力. 因為制作無蓋長方體紙盒項目設計的問題具有開放性，讓學生在真實的情境中體驗方案策劃、數據分析、實踐論證、反思改進等，較好地激發了學生的好奇心和創造力. 在項目式學習中，學生不再是對書本知識進行機械認知，而是在豐富的、充分的實踐中獲取知識，用學到的知識解決實際問題，同時不斷建構知識體系，不斷延伸、拓寬、創新思維，提升能力.

2. 項目式學習促進學生用數學的語言表達世界，提升數學核心素養. 在項目式學習中，學生既可以通過數學語言來描述問題情境，將其抽象成數學問題;又可以利用數學語言解釋結果的合理性. 比如，在該項目方案的實施過程中，學生不僅要獨立思考問題，還要向同伴清晰有條理地表述自己的思考過程與結果. 這就要求學生用動作、口語或書面（圖像、符號、文字等）的形式描述展示知識技能、思維過程、思想方法，很好地發展了學生的數學語言表達能力.

3. 項目式學習促進學生用數學的眼光觀察世界，提升數學核心素養. 要探究何時無蓋長方體紙盒容積最大，需要學生綜合運用圖形的展開與折疊、字母表示數、畫統計圖等知識解決問題，讓學生體驗數學知識之間的內在聯系，初步體驗部分數學知識的融合運用，學會用數學的眼光去觀察世界，將生活問題數學化. 學生通過借助已有的代數式、收集有關數據去推斷無蓋長方體紙盒容積變化的規律，到建立函數模型揭示紙盒的秘密項目活動， 進一步強化了學生的符號意識、運算能力、推理能力、數據統計觀念、模型思想等數學素養.

4. 項目式學習促進學生用數學的思維思考世界，提升數學核心素養. 該項目從學生熟悉的折紙活動開始，進而通過動手操作、交流討論和抽象概括，形成數學問題. 在發現一般規律過程中，不是所有的學生都能考慮到用折線圖來統計數據以及分割逼近的思想研究變量之間的關系，有的學生根據直觀感受得出結論，也有的學生根據具體數值猜測，不能否認學生方法的多樣性，這時筆者追問學生：你的猜測準確嗎？這時的容積真的最大了嗎？還有可能再大一點嗎？你有更合理的方式來表達自己的觀點嗎？鼓勵學生小組之間進行交流，讓學生的思維碰撞出火花，促進學生用數學的思維去解決生活中的數學問題.

總之，本項目式學習讓學生獲得一種科學探究問題的思想方法，即我們的研究目的不是找一個確切的最大值，而是找一個能解決問題的方法. 在后面的學習中我們會遇到，這一種“逼近”的方法，早在三國時期就有了，稱為“二分法”. 在這樣的情境下，學生的問題得到了實實在在的解決，而解決過程中的數學思想方法也達到了潤物細無聲的效果，發展學生的數學核心素養得以落實.

拓展與延伸

在學生探究完利用一張正方形紙片，制作一個盡可能大的無蓋長方體紙盒后，可以向學生提出這樣幾個問題：（1）如果允許拼接，你還能用同樣的正方形紙片制作容積更大的無蓋長方體紙盒嗎？（2）用長是80 cm、寬是50 cm的長方形的紙做一個無蓋長方體紙盒，做出的紙盒的最大容積是多少？（3）如果把正方形紙片改為長方形紙片，結論又如何呢？以小組為單位，撰寫一份課題研究報告.

經過項目式學習的探索和實施，學生在逐步形成解決方案的過程中，提高了他們的動手操作能力以及思考問題的能力. 在嘗試“項目任務”的活動中又會產生新的問題，如此螺旋式的上升過程極大地調動了學生的積極性和求知欲，激活他們的思維，同時也培養他們在活動中團結協作的精神，以此充分還原學生的主體思維和主體能動性.

項目學習是數學核心素養落地的有效途徑，可以作為傳統課堂教學的有益補充. 在教學實踐中，可以精選項目主題，每學期做一至兩個項目，有效地將兩種教學方式進行融合，發揮各自所長，共同提升學生的數學素養和綜合素養，落實立德樹人的根本任務.