為什么要學習解一元二次方程的兩種方法？

楊軍 劉揚

摘? 要：文章基于課堂發生的意外事件，闡述學習解一元二次方程兩種方法的必要性，即“配方法”和“公式法”，既有內在的聯系，又各自獨立存在.“配方法”是推導“公式法”的過程和基礎，“配方法”本身也是一種獨立的方法. 而“公式法”是解一元二次方程的“萬能公式”. 從一元二次方程的“公式法”可進一步類比研究一元三次方程、一元四次方程的求根公式.

關鍵詞：一元二次方程;配方法;公式法

一、問題提出

人教版《義務教育教科書·數學》九年級上冊第21章第2節的內容是“解一元二次方程”，其中21.2.1是“配方法”，21.2.2是“公式法”. 筆者在教學解一元二次方程的“配方法”和“公式法”的過程中遇到了一件意外事件. 新課“公式法”布置的解一元二次方程作業竟然有相當多的學生依然使用前面學過的“配方法”求解，這無疑是對45分鐘課堂教學的“全盤否定”.

之所以會出現這樣的意外事件，筆者認為可能是因為學生對“配方法”先入為主，先烙下“印跡”，從而即使后面學習了“公式法”，學生仍對“配方法”情有獨鐘. 但細細思量，發現根本原因在于教師對解一元二次方程的“配方法”和“公式法”的認識較為片面，即教師沒有深刻認識到“既然學生已經學習了一元二次方程的‘配方法’，為什么還要學習新的‘公式法’”的道理.

本文分別闡述對解一元二次方程的“配方法”和“公式法”的認識，進而理解“配方法”和“公式法”既相互關聯又各自具有單獨的作用和價值，從而才需要既學習“配方法”，還學習“公式法”.

二、對“配方法”的認識

1.“配方法”是推導“公式法”的過程和基礎

求解任何一元二次方程[ax2+bx+c=0a≠0]時，先經過整理，得[x2+bax=-ca]. 再配方，得[x2+bax+][b2a2=-ca+b2a2]，即[x+b2a2=b2-4ac4a2]. 當[b2-4ac≥0]時，方程有兩個實數根[x=-b±b2-4ac2a]. 把一元二次方程的左邊配成一個完全平方式，右邊是非負常數，再用開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫做“配方法”.

一般地，當[Δ=b2-4ac≥0]時，任何一元二次方程[ax2+bx+c=0][a≠0]的實數根為[x=-b±b2-4ac2a]. 此式叫做一元二次方程[ax2+bx+c=0a≠0]的求根公式，這種解一元二次方程的方法叫做“公式法”.

根據“配方法”解一元二次方程的一般步驟推導出求根公式，求根公式體現了用“配方法”解一般的一元二次方程[ax2+bx+c=0][a≠0]的結果. 具體而言，將解一元二次方程的“配方法”進行一般化和程序化就是“公式法”. 因此，“配方法”是推導“公式法”的過程和基礎.“配方法”不僅衍生了“公式法”，還為后一章學習二次函數的圖象和性質埋下伏筆.

2.“配方法”本身也是一種獨立的方法

雖然“配方法”是推導“公式法”的過程和基礎，但又不僅限于此.“配方法”在二次函數、代數式的變形、二次根式、基本不等式等方面都有著廣泛的應用.

例如，在學習二次函數[y=ax2+bx+c][a≠0]的圖象和性質時，先將其化成[y=ax+b2a2+4ac-b24a]的形式，即將二次函數通過“配方法”轉化為頂點式，進而研究拋物線[y=ax2+bx+c][a≠0]的對稱軸、頂點坐標、最值、增減性等問題，為方程與函數搭建了橋梁.可見，“配方法”是學習二次函數圖象和性質的工具.

又如，在高中階段學習二元二次方程[x2+y2+Dx+][Ey+F=0]表示圓的條件時，需要運用配方法，將其整理成[x+D22+y+E22=D2+E2-4F4]. 當[D2+E2-4F>0]時，方程表示以[-D2，-E2]為圓心，[12D2+E2-4F]為半徑長的圓. 這里就用“配方法”將圓的一般方程轉化為圓的標準方程.

再如，在解決形如[A±BC]形式的復合二次根式化簡問題時，解題的關鍵是把二次根式的被開方數利用“配方法”配成完全平方式，即可化簡. 例如，化簡[4+12]，因為[4+12=12+32+23=1+32]，所以[4+12=1+3]. 利用“配方法”解決二次根式化簡問題也受到競賽題的青睞，有利于增強學生的遷移能力，開闊學生的視野，使學生能在解題的過程中靈活運用學過的知識和方法.

因此，在學習二次函數、代數式的變形、二次根式等內容時都要用到“配方”這種方法，從而表明“配方法”有其單獨存在的作用和價值.

三、對“公式法”的認識

1.“公式法”是解一元二次方程的“萬能公式”

用“公式法”解一元二次方程時，第一步，計算[Δ]，若[Δ<0]，方程無實數根;第二步，把各項系數直接帶入求根公式即可求解. 此過程單純地考查學生的計算能力，沒有任何其他能力的考查. 具體而言，即使沒有學過“配方法”，直接用“公式法”也可求解任何一元二次方程. 因此，它擁有另外的名字——“萬能公式”.

而用“配方法”解一元二次方程的過程中，只有當整理到完全平方式為負數時，才發現其無實根，也便意味著前面煩瑣的配方運算“白做了”. 而工具“公式法”一開始便通過計算[Δ]的值與0比較，判斷方程有無實根. 若沒有實根，則沒有繼續運算的必要.

2. 從一元二次方程的“公式法”類比研究一元三次方程的求根公式

通過學習一元二次方程的“公式法”，可以在學生心中埋下一顆好奇的種子，即一元二次方程有“求根公式”，那么解一元三次方程有沒有求根公式呢？一元四次方程呢？……一元[n]次方程呢？數學家卡丹發現了著名的一元三次方程的求根公式，也稱為卡丹公式.

設首項系數[a=1]的一元三次實系數方程為[x3+bx2+][cx+d=0]，經過變換可以得到一個不含二次項的新方程[y3+ky+q=0]，其中[y=x+b3，k=c-b23，q=227b3-][13bc+d]. 通過解新方程得到一元三次方程的求根公式為[α=g+A3+B3，β=g+ωA3+ω2B3，γ=g+ω2A3+ωB3，] 其中[g=-b3]，[A=-q2+q22+k33，]

[B=-q2-q22+k33]，[ω=-12+32i]，判別式為[D=][q22+k33].

對于一元四次方程，也有求根公式，即用方程各項系數表示結果. 盡管數學家們已經嚴格證明“一元五次及五次以上的方程沒有求根公式”，但解一元二次方程的“公式法”為學習一元三次方程、一元四次方程求根公式做了“藥引”，起到了向導的作用，更有利于培養學生運用類比的數學思想方法.

四、結束語

從以上分析可以看出，“配方法”和“公式法”既有內在聯系，又各自獨立存在，即“配方法”是推導“公式法”的過程和基礎. 同時“配方法”本身也是一種獨立的方法. 而“公式法”是解一元二次方程的“萬能公式”，同時從一元二次方程的“公式法”可以進一步類比研究一元三次方程的求根公式. 只有當教師既認識到“配方法”和“公式法”的相互關聯性，又認識到它們各自單獨的作用和價值，發生本文開頭那樣意外事件的幾率才會降低.

教師對數學學科知識的認識水平影響著其課堂教學的行為. 沒有人能夠教自己不懂的內容. 學然后知不足，教然后知困. 教師通過對課堂上發生的一些“意外事件”的反思，一方面，可加深對相關數學知識的理解;另一方面，也學會站在學生的視角換位思考，理解學生，并最終實現教學相長.

參考文獻：

[1]章民. 經歷“二次創造”過程? 培養數學思維能力：“用配方法解一元二次方程”課例分析及反思[J]. 中國數學教育（初中版），2017（7 / 8）：74-77.

[2]孫朝仁. 初中數學復習課的思維轉型路徑：以“一元二次方程”復習課為例[J]. 中國數學教育（初中版），2021（3）：2-5.