初中學生數學原理學習狀況的調查研究

張青云

摘? 要：初中數學深度學習是對數學知識本質的理解，是對知識內在聯系的認識和整體把握. 在數學原理的學習過程中，調查數據顯示，當前初中學生對運算法則的理解程度不高，對數學對象的性質、定理的推導與證明水平不高，對初中數學知識的整體結構和內在聯系的理解和掌握不夠理想. 提出三項教學建議，即以SOLO分類評價構建數學原理學習的目標層級，加強數學原理學習的過程教學，加強數學原理關聯知識結構的整體教學，并提出了數學原理學習的實施路徑.

關鍵詞：數學原理;深度學習;SOLO分類

一、問題提出

根據深度學習教學改進項目組對深度學習的界定，在由劉曉玫主編的《深度學習：走向核心素養（學科教學指南·初中數學）》一書中，對初中數學深度學習的內涵做了這樣的界定：初中數學深度學習就是在教師引領下，學生圍繞具有挑戰性的數學學習主題，全身心地積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的數學學習過程. 在這個過程中，學生開展以從具體到抽象、運算與推理、幾何直觀、數據分析和問題解決等為重點的思維活動，獲得數學核心知識，把握數學的本質和思想方法，提高思維能力，發展數學學科核心素養，形成積極的情感、態度和正確的價值觀，逐步成為既具有獨立性、批判性、創造性，又具有合作精神的學習者. 在數學知識分類中，通常把公理、定理、法則、公式、數學對象的性質等統稱為數學原理. 初中數學原理學習是初中數學課程內容的核心之一，也是初中數學深度學習的重要主題材料. 在當下的初中數學學習過程中，我們的學生對初中數學原理學習的效果到底如何？是否體現了初中數學深度學習的發生？為此，我們展開了一項針對初中學生數學原理學習狀況的調查研究.

二、研究方法

1. 調查目的

了解初中學生對初中數學課程中常見的三類數學原理（即法則、性質、定理）的理解和掌握水平.

2. 調查方法

調查采用問卷方式進行，通過文獻梳理學習，自編“初中學生數學原理學習狀況的調查問卷”，在2020年7月上旬學年即將結束之際，向工作室學員所在學校的學生發放問卷，要求在30分鐘內閉卷回答，回收到初中三個年級學生的有效答卷400份. 其中，七年級、八年級各100份，九年級200份.

3. 數學原理學習狀況的評價維度

根據有關文獻，我們將數學原理學習狀況的評價維度確定在數學原理的重述、數學原理的多重表征、數學原理的推導與證明、數學原理的應用和數學原理的關聯五個方面，并與調查問卷的各問題對應起來，具體如表1所示.

三、結果與分析

1. 運算法則的理解程度不高

調查結果顯示，初中學生對運算法則的理解和掌握程度并不樂觀. 對問卷所給的簡單的數式運算、解方程等，大多數學生都能正確算出結果，但不懂算理的現象卻相當普遍. 由表2可以看出，有95.75%的學生對合并同類項的依據表述錯誤或不知道如何表述;有17.25%的學生對解一元一次方程的步驟表述不正確;更有75.25%的學生對解方程的依據表述不正確或不知道如何表述.

在回答第2題“計算：[-2x+5x-6x=]? ? ?，運算的依據是? ? ?”時，所有的學生都能運算正確，但對運算依據的理解極不到位. 多數學生填寫“合并同類項”，把內容名稱與運算依據混為一談. 有的學生就是表述具體的操作過程，如“-2x + 5x = 3x，3x - 6x = -3x”“先把兩個負數加起來，再與正數相加”“x都是相同的數，拿出來后，即（-2 + 5 - 6）x，最后得出結果”“未知數不管，數字之間加減”. 也有一部分學生表述張冠李戴，如“化簡求值”“提取公因式”. 還有的學生可能從來都沒有想過這樣的問題，如回答“不知道怎么說”.

在說明第3題“解方程[x+13=x2]時，要有哪些步驟？解方程的依據是什么？”時，解方程步驟表述完全正確的只有45.25%，七年級學生可能因為學習時間更近，比例稍大，占56%，約有37.5%的學生只是部分知道，但并不完全正確，如“去分母、解方程”“同時乘6，再合并同類項”“移項、變號、系數化為1”“交叉相乘，化簡、計算”，答案中均有瑕疵. 有的學生表述為此方程的具體過程，如“2（x + 1） = 3x，2x + 2 = 3x，x = 2”. 而對于解方程的依據，僅有24.75%的學生表述正確為“等式性質”，更多學生是留空或以自己的語言進行表述，如“等號兩邊值相等”. 這表明他們數學原理的表征、應用水平都很不足，許多知識是呈碎片化的狀態，從而使得他們的運算能力與理想中的初中數學深度學習的要求相差甚遠.

值得思考的是第1題“計算：-5 + （+2） =? ? ? ，并舉一生活實例，以說明其合理性”. 試題本是一道情境開放型問題，但學生呈現的精彩實例并不多，絕大多數學生所舉實例都跟費用、金額有關，如“我欠了別人5元錢，還了2元，現在還欠別人3元”“買菜，給別人5元，別人找回2元，你花了3元”等. 一方面，反映了商品經濟社會對學生的潛在影響;另一方面，反映了學生的數學視野比較單一，思維不夠開闊，“用數學眼光觀察世界”的思維習慣沒有養成，數學原理的應用水平較低.

2. 對數學對象的性質、定理的推導與證明水平不高

不等式的性質是七年級下學期的學習內容. 教材上是通過類比等式的性質，以計算和比較的方式，從具體到抽象、從特殊到一般歸納推理，得到三條性質. 三角形內角和定理和勾股定理作為幾何圖形性質的兩大基石，其重要性不言而喻. 三角形內角和更是學生在小學就已經學習過的知識，在初中的定理推導證明中，也會使用多種證法進行證明. 但表3的調查數據顯示，有63.75%的學生并不能正確表述出不等式的任何一條性質，如有的學生回答成不等式的概念，有的學生的回答文字表述不清、不全，而采用符號語言表述的就更少. 有87.75%的學生不能夠清楚地表述其來源，多數學生留空或亂寫一通，如“聽老師講課”“書上，老師都有教”“老師說的，不曉得”. 對于三角形內角和定理的證明同樣也不容樂觀，有61.5%的學生不能正確證明或推理錯誤.

典型的錯誤推理有以下三類.

錯證1：如圖1，作AD⊥BC于點D，

因為∠ADC = ∠2 + ∠B，∠ADB = ∠1 + ∠C，

所以∠ADC + ∠ADB = ∠B + ∠1 + ∠2 + ∠C = 180°.

所以∠B + ∠BAC + ∠C = 180°.

錯證2：如圖2，延長BC，

因為∠1 = ∠A + ∠B，∠1 + ∠ACB = 180°，

所以∠1 + ∠ACB = ∠A + ∠B + ∠ACB = 180°.

所以∠B + ∠A + ∠ACB = 180°.

錯證3：如圖3，延長BC，CA，AB，

因為∠1 = ∠BAC + ∠ABC，∠2 = ∠ABC + ∠BCA，∠3 = ∠BCA + ∠BAC，

又因為∠BCA + ∠1 = 180°，∠ABC + ∠3 = 180°，∠BAC + ∠2 = 180°，

所以∠BCA + ∠1 + ∠ABC + ∠3 + ∠BAC + ∠2 = 540°.

所以∠BCA + ∠BAC + ∠ABC + ∠ABC + ∠BCA + ∠BAC + ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 540°.

所以∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180°.

以上三個錯證，都運用了三角形的外角性質來證明，其實三角形外角性質本身是三角形內角和定理的推論，所以在邏輯上犯了循環論證的錯誤. 還有一種類似的錯誤，有些學生運用多邊形的內角和公式[n-2 · 180°]，當n = 3時，得到結論，這當然也是不正確的，因為多邊形的內角和公式，本身也是三角形內角和定理的推廣，是通過從特殊到一般歸納得到的.而三角形內角和定理，本質上是運用平行線的性質（或平行公理），將三個內角轉化成一個平角來推理證明的.

3. 對初中數學知識的整體結構和內在聯系的理解和掌握不夠理想

初中數學深度學習要求能夠整體呈現初中數學內容的結構，以融會貫通的方式對學習內容進行組織、整合，盡可能地體現內容本質之間的聯系. 由表4中的調查數據顯示，僅有18%的學生能夠清晰、正確地表述學習整式、函數、幾何圖形的基本路徑，有42.5%的學生對整式、函數、幾何圖形的學習路徑完全不知道或留空. 對于初中階段所學的數學知識整體，只有19.5%的學生能夠自覺地以一種有序的結構框架圖的形式呈現.

第6題：我們學習整式（或函數或幾何圖形）的學習路徑是怎樣的？有63.75%的學生選擇幾何圖形來回答. 這表明，幾何圖形的學習更容易引發學生的學習興趣，使得學生有話可說. 同時，很多學生可能從沒有思考或者聽說過“學習路徑”這樣一種說法，表示“聽不懂，不明白”. 有的學生理解為如何做一道數學題，如“先看題目條件，看圖形有什么性質、定理，標記圖象，作答”“先大概估測一下幾何圖形的特殊性，再根據相關圖形的性質進行證明，完成題目（解答），不然就放棄”. 還有的學生理解成如何學習整式或幾何的，如“先預習，再聽課，不斷寫題，不懂就問”“記筆記上課專心，認真聽講，整理錯題，時時刻刻想著學習，不懂就問”. 從SOLO分類理論來看，這些回答的結構大都屬于前結構、單點結構，遠沒有達到高階思維的水平層次. 根據調查問卷的結果，特別引起我們不安的是：無論選擇哪個內容，都有相當多學生的回答映襯出了當下的應試教育生態，“數學學習就是大量做題”的錯誤觀念幾乎成為他們看待數學學科的全部：“先自己自學一遍，然后再聽教師講一次，查漏補缺，課后多練題”“多做導教導學案，課堂導學案，課堂大考卷，課時分層作業本”“多刷題，摸清規律，一般給出什么題型，學會運用定理”“先學會知識點，再運用并多次練習”“通過不斷地做題、刷題，看每一個星期的數學周測和老師讓學生在課堂上做的練習題，課本的教學、歸納總結，周末作業”“聽課，看練習冊，做題，學習函數原理”. 這些表明了學生平時長期處在一種簡單、粗暴的淺層學習狀態.

第7題：試用合適的方式梳理表述到目前為止你在初中階段學過的所有數學知識. 有68%的學生是在簡單地羅列所學的數學知識，想到哪寫到哪，沒有邏輯順序，支干不分. 有的學生既羅列章節名稱，也羅列某個具體的定理或結論;有的學生列舉出的知識條目達58條之多，還有的學生是沒有任何組織地直接把數學課本目錄抄寫了一遍. 這說明他們欠缺思維表達的方式，數學知識的整體性結構意識薄弱，數學概念、數學原理之間的關聯度不高，知識碎片化嚴重.

四、教學建議

初中數學深度學習是對數學知識本質的理解，對知識內在聯系的認識和整體把握. 數學原理的學習，要改變忽視思維教學、依靠大量機械刷題以增加考試分數的現象. 數學教育家傅種孫先生曾經說過，幾何之務不在知其然，而在知其所以然;不在知其然，而在知何由以知其所以然. 這里所說的雖然是幾何學習，但同樣應當成為數學原理學習的指路明燈.

1. 以SOLO分類評價構建數學原理學習的目標層級

深度學習要求學生能夠掌握學科的核心知識，把握學科的本質和思想方法. 數學原理的學習，當然不只是滿足于知道數學原理是什么.《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》），對初中數學原理學習內容和結果目標的描述通常為：了解（同類詞：認識）、理解（同類詞：會）、掌握（同類詞：能）、應用（同類詞：證明）. 例如，“掌握有理數的加、減、乘、除、乘方及簡單的混和運算”“掌握平行線的性質定理：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等”“了解平行線性質定理的證明”.“了解、理解、掌握、應用”借鑒了布魯姆的認知技能目標分類理論，其具體內涵如圖4所示.

對照這個目標，由調查數據可以看出，很多學生對數學原理的學習花費了很多時間，刷了許多題目，但其實學習的層級很低，學生對很多數學原理的學習并沒有達到理解的目標層次.

當然，認知結果四個層級目標是對所有數學內容學習結果的評價，并不特別針對數學原理的學習. 從數學原理學習目標要求出發，可以借鑒SOLO分類理論進一步精準建構數學原理學習過程的評價層次框架.

基于SOLO分類理論，我們根據數學原理學習關注的三個核心，即是什么、從何而來、遷移應用，在符合《標準》要求的基礎上，設置典型的評測問題，根據學生回答的表現，由低到高劃分成前結構、單點結構、多點結構、關聯結構和抽象擴展結構五個不同的思維結構層次，以此來精準調控數學原理學習的達標情況，具體如表5所示.

2. 加強數學原理學習的過程教學

初中數學深度學習要求學生在經歷知識產生的過程中體會其中的思想方法，形成數學的思維方式.《標準》中，對很多原理的教學要求，還有“探索”“探索并證明”. 什么是探索呢？探索是獨立或與他人合作參與特定的數學活動. 在活動中，發現問題和提出問題，分析問題的思路，發現數學對象的組成要素或相關要素之間的關系，以及與其他相關對象之間的關系，從而獲得一定的理性認識. 史寧中教授說過，智慧表現在過程之中. 學生會想問題，會做事情，在本質上是學生自己在過程中悟出來的. 我們要創造一個過程，讓學生親身經歷的過程，讓他們在想的過程中學會想，讓他們在做的過程中學會做. 所以，數學原理的學習，一定要加強原理獲得的過程和原理證明的過程，也就是知識的發生、發展過程. 沒有過程的體驗，也就沒有感悟，也就沒有經驗的積累，無法形成理性的認識. 只會做題而依據全都不知道的運算能力可信嗎？理解運算法則、懂得算理是有效提高運算能力的必要條件，幫助學生體會運算法則的意義和合理性，才是運算法則教學的根本. 拋開過程的體驗，換以大量的重復訓練，這是本末倒置、急功近利的短視行為. 性質定理的學習也是如此，不能推導或證明，不能做到知其所以然，也就沒有達到有效、深刻的理解層次，思維能力的培養也就無從談起.

同時，習慣性地跳過原理過程的學習，將數學原理的學習變成大量刷題訓練，對學生的情感、態度、價值觀的形成有促進作用嗎？真的有利于他們的終身發展嗎？我們可以根據如表6所示的國家義務教育質量監測數學學習情感、態度相關指標來加以判斷.

從全國范圍來講，有近四成的學生對數學學習普遍感到焦慮，缺乏自信心. 所以，從初中數學深度學習出發，在原理學習過程中，通過精心設計問題情境，引發學生認知沖突和深度思考，經歷原理學習的發生和發展過程，既是學科本質的要求，又是現實的呼喚.

3. 加強數學原理關聯知識結構的整體教學

數學是一個整體，構建一個邏輯連貫、前后一致、遷移能力強的數學認知結構始終是數學教學的核心任務. 數學原理與數學概念一樣，都是這個認知結構大廈中的核心材料. 一個數學原理并不是孤立存在的，它一定連接著數學概念、數學原理，所以數學原理的學習也要加強數學整體性的認識，注重揭示數學原理與原理、數學原理與概念、概念與概念之間的聯系，構建原理學習的整體網絡結構體系. 以三角形內角和定理為例，在小學階段，學生是有操作了解并簡單應用三角形內角和定理結論的，但在初中階段，我們不僅要重點探索并證明三角形內角和定理本身，還要在學習過程中，以聯系的、整體的觀點，呈現出三角形內角和定理的來龍去脈，相關聯的一系列概念、原理的知識結構網絡（如圖5），是一個有邏輯的、具有發展性的、不斷拓展放大的結構網絡.

在數學原理學習過程中，綜合以上教學建議，在不違背《標準》要求的背景下，采用SOLO分類目標層級框架評價原理學習的結果質量，仿照波利亞“怎樣解題表”的形式，構建了數學原理學習實施路徑（如表7）.

總之，我們一致認為，要在數學原理的學習過程中注重引導學生對數學原理內容積極主動地理解，建立有關聯的整體結構，設計有效的數學活動，讓學生去經歷、探索數學原理產生、說理或證明的過程，感悟其中的數學思想方法，形成數學的思維方式，達到“知其然、知其所以然、何由以知其所以然”的境界，并將獲得的數學原理等知識、方法應用于現實世界，解決現實問題，以實現初中數學原理的深度學習.

參考文獻：

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[3]JOHN B BIGGS，KEVIN F COLLIS. 學習質量評價：SOLO分類理論（可觀察的學習成果結構）[M]. 高凌飚，張洪巖，譯. 北京：人民教育出版社，2010.