再探初中生符號意識的形成策略

鐘珍玖 劉靜

摘? 要：符號是數學表達的工具，符號意識是《義務教育數學課程標準（2011年版）》中提出的10個核心關鍵詞之一. 七年級又是學生符號意識形成的關鍵學段，根據教材內容安排，在數與數的運算教學中夯實符號意識形成的心理基礎，在方程和不等式教學中讓學生學會用符號表達生活模型，強化符號意識，用符號刻畫圖形的位置和數量關系，并用符號思想進行推理，培養邏輯思維能力，深化符號意識.

關鍵詞：關鍵學段;符號意識;教學思考

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）將“符號意識”作為10個核心關鍵詞之一，培養符號意識作為數學教學的重要目標. 而七年級是在小學學習基礎上深化符號意識的起始學段，學習內容由具體的數到抽象符號的表達和思想的轉變，用符號表示數量關系和變化規律，由“常量數學”到“變量數學”的質的轉變. 本文闡述如何培養七年級學生的數學符號意識，以下是筆者在教學中的一些思考和做法.

一、在數及數的運算中，夯實符號意識形成的心理基礎

在小學數學學習的基礎上，七年級學生對數及其數量關系有較為深刻的認識. 數有“過程”和“概念”的雙重屬性，也具有一定的抽象性. 但數的概念都可以在生活中找到原型，是事物的直接抽象，學生理解起來難度不大. 七年級的數學學習，逐步實現從算術問題向代數問題轉變，學生容易受到數的思考方式的影響. 數是事物抽象的直接結果，更強調數量關系的運算結果，即數和數的運算結果是具有確定性的，而用字母表示數和數量關系既是“過程”，又是“結果”，具有不確定性和任意性，所以在教學中應當盡量避免數感對符號意識形成產生負遷移.

案例1：蘇科版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“教材”）七年級上冊“2.4 絕對值與相反數”.

問題：a的相反數是什么？-a是負數嗎？

學生對于第一個問題都能給出正確答案-a，第二個問題回答“-a是負數”的學生人數較多. 正數前面添上“-”就得到負數，學生就會產生負遷移，字母前有“-”也是負數. 由于數所表達的結果確定，所以學生對含有字母的數的理解就產生偏差. 抽象思維能力稍強的學生通過舉反例來說明“-a不一定是負數”，當a = 0時，-a = 0. 對于-a可以代表任意數，學生的理解仍然不夠深刻，教學中可以從“確定”和“任意”、“特殊”與“一般”的關系入手. 若給定a = 3，那么-a的值就是-3;若給定a = 0，那么-a的值就是0;若給定a = -3，那么-a的值就是-（-3） = 3. 給字母a取任意值，從特殊情形入手，通過分類討論厘清-a的符號特征.

教學策略：要克服“數感”對符號意識形成的負遷移，還是要從“數”入手. 因為“數”是用字母表示數的認知起點和心理基礎，要用數的確定性幫助學生理解字母的一般性. 字母和數一樣可以表示量的關系，要發揮“數”對符號意識形成的正遷移作用，消除負遷移的心理障礙.

二、在運用符號表達中，強化符號意識，形成代數思維習慣

1. 表達數或形的規律，體驗字母表示數的一般性，強化符號意識

從教材七年級的編排來看，第二章是“有理數”，其主要內容是有理數的運算，但是很多概念、法則（如相反數、絕對值、交換律等）教材也都進行了一般化的處理，用字母表達了這些概念和法則. 第三章是“代數式”，只安排了一個課時“列代數式”，用字母來表示數實際上在第二章已經做了字母表示數的鋪墊，為第三章的整式的加減打下基礎. 字母可以參與運算，具有更高的抽象性，所以代數是一般化的算術，其一般化的途徑就是逐步抽象用符號表示而獲得形式化，在抽象的水平上運用符號進行思考.

案例2：教材七年級上冊“3.1 用字母表示數”.

用同樣大小的兩種不同顏色的正方形紙片，按如圖1所示的方式拼正方形.

第（1）個圖形有1個正方形，

第（2）個圖形比第（1）個圖形多? ? ? 個正方形，

第（3）個圖形比第（2）個圖形多? ? ? 個正方形，

第（4）個圖形比第（3）個圖形多? ? ? 個正方形，

第（10）個圖形比第（9）個圖形多? ? ? 個正方形，

第（n）個圖形比第（n - 1）個圖形多? ? ?個正方形.

教學策略：七年級學生抽象思維能力還不強，要理解抽象符號的意義，或者把具體事物的數量關系用符號來表示比較困難，所以在教學中要運用數的具體性，讓學生積累豐富的感性材料，通過把“數”抽象一般化為字母，讓學生在經歷的過程中體驗字母是對數的抽象化、符號化表示. 教師在教學中不要操之過急，認為學生小學已經接觸過用字母表示數，忽視學生的認知過程，用大量練習替代學生的理解. 教學中，要多舉實例，讓學生經歷由數到字母的抽象過程，在用字母表示數初步形成符號意識時，教師要注重過程教學，把學生對具體數的表象逐步抽象成用字母來表示，使他們反復體驗從特殊（數）到一般（字母），再從一般到特殊的過程，加深對符號一般性意義的理解，為靈活運用符號解決問題打下堅實的基礎，讓學生在抽象的符號層面進行思維活動.

2. 使用符號表達方程和不等式模型，強化符號意識

能從具體情境中抽象出數量關系和變化規律，并用符號來表示，是將問題進行一般化的過程，是列方程（組）、不等式解決實際問題的基礎. 很多七年級學生由于缺乏用符號進行抽象的思維能力，不會在具體情境中用字母表示實際問題中的量，導致解決應用性問題能力較低. 實際上，一般化過程超越了實際問題的具體情境，用代數式表達問題的變化，深刻地揭示和指明了存在于一類問題中的共性和普遍性，把學生對符號的理解提升到新的水平和高度.

案例3：某城市平均每天生產垃圾700噸，由甲、乙兩個垃圾處理廠處理，已知甲廠每小時可處理垃圾55噸，需費用550元;乙廠每小時處理垃圾45噸，需費用495元.

（1）甲、乙兩廠同時處理該城市的垃圾，每天需要幾小時才能完成工作？

（2）若規定該城市每天用于處理垃圾的費用不超過7 370元，甲廠每天至少需要幾小時處理垃圾？

生1的解題過程如下.

（1）設每天需要x小時才能完成工作，

由題意，得55x + 45x = 700.

解得x = 7.

（2）設甲廠每天工作y小時，

則乙廠每天工作（7 - y）小時.

由題意，得550y + 495（7 - y） ≤ 7 370.

解得y ≤ 71.

……

師：當思維受阻或者產生錯誤時，我們必須反思思維過程，回到審題階段，我們所找的不等關系正確嗎？不等關系中的量的表示正確嗎？嘗試用文字表述.

生2：甲廠每天處理垃圾的費用 + 乙廠每天處理垃圾的費用 ≤ 7 370.

師：你能把甲廠、乙廠每天處理垃圾的費用問題中的有關量表達出來嗎？

生2：甲廠每天工作時間 × 甲廠每小時處理垃圾的費用 + 乙廠每天工作時間 × 乙廠每小時處理垃圾的費用 ≤ 7 370.

師：這個不等關系中，甲廠、乙廠每天的工作時間是關鍵量，生1所列不等式中乙廠每天工作時間正確嗎？

生2：第（2）小題并沒有第（1）小題的條件，生1的審題不正確，正確的解法如下.

設甲廠每天工作y小時，

則乙廠每天工作[700-55y45]小時.

由題意，得550y +[700-55y45]× 495 ≤ 7 370.

解得y ≥ 6.

從問題的解決過程來看，學生的困難在于把乙廠的工作時間用所設的字母來表示，而且要帶著這些未知數進行計算，要讓學生明確不僅“數”能表示實際問題中的量，字母也可以表示這些量，而且具有一般性. 在用方程（組）來解決實際問題的教學中，教師應進一步引導學生用含未知數的代數式來表示問題中的量和數量關系，最為關鍵的是要通過教師的講解和學生的訓練，讓學生形成用代數式表達復雜問題中量與量之間關系的意識.

教學策略：通過教師的示范和學生的練習，熟練地把生活語言、文字語言轉化為數學符號語言，學會借助文字語言強化對符號語言的理解，建立數量和數量之間的聯系，從而構造出方程（組）、不等式模型來解決實際問題. 這里要強調設了未知數以后，盡可能用含未知數的代數式表示實際問題中的量，強化學生的符號意識.

三、在運用符號思維中，深化符號意識，培養邏輯思維能力

在七年級的數學學習中，學生要經歷幾何入門教學，小學的幾何學習都是動手操作，運用實驗法讓學生直觀感知幾何圖形的性質，不要求學生運用符號來表示空間圖形的數量關系和位置關系，以及運用符號語言進行邏輯推理.《標準》指出：探索并掌握相交線、平行線、三角形的基本性質和判定，掌握基本的證明方法和作圖技巧，明確指出要運用符號語言進行推理和思考. 實踐證明：很多學生能夠得出幾何問題的答案或者要證明的結論，會用文字表達思考的過程，但是運用符號語言進行推理就比較困難，所以對于運用符號語言進行推理的幾何入門教學值得探究.

案例4：教材七年級下冊“平行線性質與判定的綜合應用”.

問題：如圖2，若AD∥BE，∠EDC = ∠C，那么∠A = ∠E嗎？

分析：直接由平行線的性質不能得到∠A = ∠E，但是結合已知條件∠EDC = ∠C，根據平行線的判定定理可得ED∥AC. 再由平行線性質，可得∠EBC = ∠E. 再根據條件AD∥BE，可得∠EBC = ∠A. 所以∠A = ∠E.

解：因為∠EDC = ∠C，（已知）

所以ED∥AC.（內錯角相等，兩直線平行）

所以∠EBC = ∠E.（兩直線平行，內錯角相等）

因為AD∥BE，（已知）

所以∠EBC = ∠A.（兩直線平行，同位角相等）

所以∠E = ∠A.

教學策略：幾何符號語言的表達是幾何入門教學的又一難點. 首先，要把每一個幾何概念、定理、公理、法則的幾何語言書寫規范，并能熟練使用;其次，使用幾何語言時要遵循由淺入深的原則，對于復雜問題的書寫，建議用思維導圖，或者先用文字寫出書寫步驟;最后，理解用符號進行推理的規范和邏輯合理性（即前一步的因就是后一步的果），養成“言必有據”的習慣.

七年級學段是學生符號意識形成的關鍵時間節點，學生雖然在小學初步了解了用字母表示數，但是小學生抽象能力弱，對于抽象符號的意義、內涵和外延理解不深刻，隨著年齡的增長和學習內容的深入，學生對事物的認識逐步由感性趨于理性，所以從學生學習心理的角度來看，更適合在七年級進行符號意識培養. 另外，從七年級整個學段的教材內容編排來看，符號意識逐步滲透、貫穿始終. 有理數中有關概念、運算法則、運算律的表示初步滲透了符號意識，整式的加減則是符號參與的“操作”（運算），方程和不等式用代數式表達復雜問題之間的數量關系，幾何推理則是更深入一步，用符號語言表達圖形中的位置和數量關系，用符號進行邏輯推理. 故在七年級教學中，教師要時時處處考慮符號意識形成的教學策略，為學生學習更為抽象的函數打下堅實的基礎，為整個初中學段數學學習奠基.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]鐘珍玖. 初中生符號意識形成策略初探[J].? 中國數學教育（初中版），2017（6）：29-32.