高中數學教學中如何發展學生的“直觀想象”素養

余敏

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養。直觀想象是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（2017年版） 》要求：“通過高中數學課程的學習，學生能提升數形結合的能力，發展幾何直觀和空間想象能力;增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識;形成數學直觀，在具體的情境中感悟事物的本質?！薄霸趯W習數學和應用數學的過程中，學生能發展數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等數學學科核心素養。”那么，高中數學教學中如何發展學生的“直觀想象”素養呢？

一、理解直觀想象素養的內涵

《普通高中數學課程標準（2017年版） 》指出：直觀想象主要表現為建立形與數的聯系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物?！爸庇^想象”素養主要涉及了兩個方面，即幾何直觀和空間想象。

（1）幾何直觀。幾何直觀主要是指借助圖形來描述和分析問題?？追舱?、史寧中教授指出，幾何直觀是指借助見到的（或虛構的）幾何的圖像關系，直接識別和掌握數學研究對象（空間形式或數量關系）的能力。它是學生解決數學問題的手段，有利于學生了解問題的實質，理清思路，探索解決問題的方向。此外，幾何直觀還可以幫助學生直觀地理解數學，并在教學過程中發揮重要作用。

（2）空間想象?？臻g想象是數學的基本概念之一，而培養學生的空間想象力更是中學數學的主要任務之一，它包括以下三個方面的內容：①能根據描述空間幾何形體的語言或圖片，可以在頭腦中形成相應的幾何圖形，并得到其直觀圖，如一提到正方形，就能想起其模樣;②能根據所給出的直觀圖，在大腦中展現出相應的幾何圖形，甚至包括其位置關系和數量關系，例如學生學完三視圖后，能根據三視圖求某一空間圖形的體積等等;③能對頭腦中已有的空間幾何圖形進行拆分和組合，得到新的幾何圖形，并對它的位置關系、數量關系以及直觀圖進行分析，如在學習棱臺時，學生能想象到棱臺是指一個棱錐被平行于它的底面的一個平面所截后，截面與底面之間的幾何形狀。

（3）幾何直觀、空間想象與直觀想象的關系。我們知道，幾何直觀是指用圖形來描述和分析問題，這是感性認識;而空間想象是學生對二維平面或三維空間的圖形的位置、數量關系及其性質的理解，是一種理性認識。但是根據人們的認知過程，他們總是從感性知識中認識到理性的理解，然后從理性中認識到實踐的過程，而直觀想象的本質是借助幾何圖形的直觀來拓展想象的思維能力。在實踐過程中，通常將幾何直觀思維和空間想象能力都調動起來，從而去尋求解決問題的方法和途徑。

二、把握直觀想象的基本特征

結合直觀想象的內涵，其主要有如下基本特征。

（1）經驗性。直觀想象必須基于已有的知識經驗和活動經驗，所運用的知識組塊和形象直感都是經驗的積累和升華，并不斷地組合老經驗、形成新經驗，從而不斷提高直觀想象的水平。

（2）整體性。平時數學教學要確立整體聯系觀，引導學生借助直觀了解數學知識之間的相同、相似、差異、不同等區別和聯系，形成網絡清晰、融會貫通的數學知識結構。

（3）邏輯性。平時數學教學引導學生得出（發現、猜測）相關結論后，還必須要求學生做出合理的數學思考，依據已有數學知識經驗和相關程序步驟，通過嚴格的邏輯推理得出科學結論，以逐步發展學生的邏輯結構。

（4）預見性。平時數學教學要向學生提供具有探索性和思考性的數學學習任務，引發學生深度的數學思考，拓展學生的想象空間，加強學生數學聯想和猜想能力的培養，促使學生自覺或不自覺地運用組塊與直覺，直接預測問題的結論。

三、通過數形轉化思想啟發直觀想象

數形轉化啟發直觀想象主要體現在函數、解析幾何與立體幾何方面，初中與高中的銜接過渡過程中，學生問題最多的就是函數，求函數的性質，最值、單調性、對稱性等問題，學生感到難度大，比較抽象，但要是畫出對應函數的圖象，在定義域范圍內截出部分圖象，一些性質、最值，同學們將會一目了然。例如在研究三角函數y=sinx與y=cosx的性質與內在聯系時，在同一坐標系中畫出兩者的圖象，這樣不僅直觀觀察出兩者的各種性質的關系，而且還能形象說明由一個函數的圖象經過適當平移就能得到另一個函數的圖象。還有在統計問題中，讓學生將所調查的數據通過適當分組列成頻率分布表或繪制成頻率分布直方圖，還可以轉化為莖葉圖，不用同學們計算，都可以比較直觀的分析這組數據的數字特征，可以評價這組數據的各種性質。數學是數與形的有機結合，也是一種美學，數與形是相互聯系而又對立的兩個方面，數是形的抽象概括，形是數的直觀體現?！皵等鄙傩巫兂橄?，形缺少數難討論”，數形結合是數學教學過程中的一種基本思想，也是學生必須具備的一種能力素養。在教學中，要真正引導學生領悟“數形結合”的思想方法，要重視“數（式）”的幾何理解，“形”的代數表示;在數學解題中，要有意識地將"形″的問題轉化為數的問題來處理，以“數”論“形”;再將“數”的問題用“形”來直觀描述，達到數與形的有機結合。

四、數學模型展示促進直觀想象

在高中數學教學中，教師還可以引導學生通過對圖形過程中的認真細致觀察來為其直觀想象力的進一步發展提供諸多契機。比如：某教師在講解異面直線的概念知識點時，就引導學生在桌子上拿起兩支筆來表達不同平面內的直線，然后基于對這兩條直線位置關系的直觀、形象演示過程，使得學生可以對異面空間內容做出進一步了解，并對平行、相交，以及不相交也不平行的情況做到準確、全面把握。這樣學生既可以實現對異面直線相關知識點的熟練掌握，也能夠對其概念內容產生透徹理解。通過特殊模型的科學引用，既可以為學生圖形語言解決能力的科學培養提供諸多契機，也能夠進一步優化幾何圖形、數學知識的有機整合，促使學生靈活引用數學語言來進行各類解題思路的深入探究，以此來促進學生直觀想象。