例談含參絕對值函數最值問題的求解策略

翁建良

摘 要：本文針對易錯例題進行剖析，采用變式法、數行結合法談含參絕對值函數最值問題的求解策略.

關鍵詞：絕對值;最值問題;數形結合

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）04-0006-03

1 例題——“單絕單參雙最”

例題 函數f（x）=x+4x-a（a∈R），當x∈[1，3]時，記f（x）的最大值為M（a），則M（a）的最小值為.

解法1 （換元法和圖象法）令t=x+1x∈2，103，則原函數轉化為g（t）=t-a，其中t∈2，103.

所以M（a）=max2-a，103-a.

在同一坐標系中畫出函數y=|2-a|和y=|103-a|的圖象，則M（a）表示的即為兩函數圖象上邊界部分.

于是當a-2=103-a，即a=83時，M（a）的最小值為23.

解法2 （利用絕對值三角不等式）

因為M（a）=max2-a，103-a，

所以可得M（a）≥|2-a|，M（a）≥|103-a|.

則2M（a）≥|2-a|+|103-a|

≥|2-a-（103-a）|=43.

所以M（a）≥23，當且僅當a=83時取到等號，即M（a）的最小值為23.

解法3 （幾何法——數形結合）

f（x）可理解為函數y=x+1x上的點與直線y=a的縱向距離，這樣我們就將問題轉化為兩個函數圖象縱向距離的最大值的最小值.

故f（x）的最大值M（a）=max{|2-a|，|103-a|}.所以M（a）min=103-22=23.

此時y=a=103+22=83.

評析 解法3利用數形結合思想將整個題目的難度降低，也將看似很難的題目變得簡單而又通俗易懂.如果將定義域改為x∈[12，3]，用解法3，結合圖象分析，可以發(fā)現M（a）的最小值只與函數y=x+1x的最高點和最低點有關，與端點無關.

2 拓展1——“單絕雙參雙最”變式1 函數f（x）=x+1x-ax-b（a∈R，b∈R），當x∈[12，2]時，記f（x）的最大值為M（a，b），則M（a，b）的最小值為.

分析 首先f（x）可理解為函數y=x+1x上的點與直線y=ax+b的縱向距離.

記M（a，b）=M，則x+1x-ax-b≤M.

即ax+b-M≤x+1x≤ax+b+M.

所以函數y=x+1x圖象夾在兩條平行線y=ax+b-M與y=ax+b+M之間，如圖1所示.

當兩條平行線間的縱向距離最小時，M（a，b）取到最小值，當M（a，b）取到最小值時，y=x+1x恰好夾在兩條平行線（圖中的兩條實線）y=52與y=2之間，如圖2所示.

此時直線（圖中的虛線）y=ax+b=52+22=94，此時a=0，b=94.

所以M（a，b）min=52-22=14.

如果將定義域改為x∈[12，3]，則y=x+1x的圖象恰好被圖3所示的兩條平行線夾在中間.圖3

此時lAB：y=13x+73，切點C（62，566），l切線：y=13x+263.故M（a，b）min=263-732=76-63.

此時y=ax+b=13x+263+732=13x+63+76.

3 拓展2——“雙絕雙參雙最”

變式2 已知函數f（x）=|x-a|+|1x-b|（a∈R，b∈R），當x∈[12，3]時，記f（x）的最大值M（a，b），則M（a，b）的最小值為.

分析 此題難點在于雙絕對值的結構.比較常見的突破點是分類討論去絕對值或者利用絕對值恒等式：|a|+|b|=max{|a+b|，|a-b|}.

由絕對值三角不等式a-b≤a±b≤a+b，可得絕對值恒等式|a|+|b|=max{|a+b|，|a-b|}.

因此有f（x）=|x-a|+|1x-b|

=maxx+1x-b-a，x-1x-a+b.

令f1（x）=x+1x-b-a，f2（x）=x-1x-a+b，g1（x）=x+1x，g2（x）=x-1x，則maxx∈12，3f1（x）≥103-22=23（當且僅當a+b=83時，等號成立），

maxx∈12，3f2（x）≥83-（-32）2=2512（當且僅當a-b=712時，等號成立）.

因此M（a，b）min=2512（當且僅當a-b=712時，取到最小值）.

評析 此題利用絕對值恒等式將兩個絕對值的問題轉變?yōu)橐粋€絕對值的形式，從而把該問題轉化為例題的結構.

筆者通過對一道典型例題及其變式的研究，提煉出一類含參數雙絕對值最值問題的一般解法，即先利用絕對值恒等式將雙絕對值轉化為單絕對值，再利用數形結合將代數問題轉化為幾何問題，實現復雜問題簡單化，抽象問題直觀化，代數問題幾何化，從而揭示問題本質，將難度較大的問題降維，完成一題多解到多題一解的跨越.

參考文獻：

[1] 李文東.已知函數的最值求參數的值或范圍問題的求解策略[J].數理化解題研究，2021（16）：34-35.

[2] 呂相紅.高中函數“最值”問題的求解策略[J].中學生數理化（教與學），2020（09）：90.

[責任編輯：李 璟]