品味轉化思想，撥開思維迷霧

徐清

【摘 要】學生數學思想方法的培養，不可能“一蹴而就、立竿見影”，而是一個“水滴石穿”的過程。轉化思想是數學學習中一種重要的思想方法。學生面對一個陌生的或復雜的問題時，常常感到迷茫而束手無策，此時教師若運用將未知轉化為已知、復雜轉化為簡單、一般轉化為特殊、抽象轉化為具體等轉化思想來啟迪，則學生會撥開思維的迷霧，讓答案水落石出。

【關鍵詞】數學教學 轉化思想 數學思維

在教學中，經常會遇到這樣的學生，獨立簡單的知識點他掌握了，可是變一下情境或者稍微復雜一點就不會了;有時候聽教師或同學講時好像會了，可自己一做題卻又不會了。這到底是什么原因引起的呢？是學生只會簡單地模仿，沒有內化成自己的知識，還是理解不到位，缺乏舉一反三的能力呢？筆者認為，其核心原因還是沒有形成最基本的數學思想方法。

數學思想方法蘊含在小學數學學習的各個階段，隨著數學知識的不斷習得而悄悄滋潤著學生的大腦，潛移默化地促進學生的認知過程。在解決數學問題時，最基本的思想就是轉化思想。轉化思想是一種化歸思想，一般是將復雜的問題轉化為簡單的問題，將抽象的問題轉化為具體的問題，將未解決的問題轉化為已解決的問題，進而衍生出新的方法。

一、教學過程中引發的思考

在教學空間與圖形總復習時，有些學生經常會被“求陰影部分圖形的面積”這種類型的題目難到。如圖1，分別以三角形的三個頂點為圓心，作半徑為2分米的圓，求陰影部分的面積。

部分學生會這樣思考：把三個扇形的面積分別求出來，然后加起來，但是發現三角形的三個內角角度不知道，無法求出三個扇形的大小，于是苦思冥想找不出解決問題的突破口;而部分學生卻覺得很簡單，根本不需要求出每個扇形的面積，因為每個圓的大小是一樣的，也就是半徑是相同的，所以這三個扇形可以拼在一起，又因為三角形內角和是180°，所以三個扇形拼在一起后是一個半圓，只需要求出半徑是2分米的半圓面積就可以了。

不同學生對這道題的思考方式不同，很明顯可以發現，后一部分學生能解決這道題目的關鍵在于他們運用了轉化的方法，他們的數學思維中有轉化的思想，這正是前一部分學生所缺少的思想方法。

二、轉化思想在小學數學教學中的重要意義

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出：將基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗作為數學課程的總目標。小學常用的基本思想有轉化思想、數形結合思想、集合思想、模型思想、統計思想等，其中轉化思想既是其他數學思想的基礎，又是各種數學思想的靈魂，貫穿于小學數學教學內容的始終。但是因為轉化思想分布在各個年級不同的教學內容里，所以教師在教學時有時會忽略，有時為了趕進度，重視了數學方法，而忽略了數學思想，導致有些學生對于教師講過的經常見到的題目能很快解答，而對于一些新穎的題目就無從下手。這就需要教師在教學時有意識地培養學生的轉化思想，讓學生能真正理解并有效運用。

三、轉化思想在小學數學教學中的應用

（一）轉化是探究新知的基本策略

小學數學很多知識都是以舊知識為基礎的，在舊知識的基礎上不斷發展、變化和提升，進而形成新知識。而將未知的轉化為已知的，簡單地說就是將“新知”轉化為“舊知”，利用“舊知”解決“新知”，這樣更有利于學生的記憶，因為它能幫助學生了解知識的形成過程。

1.讓“算理”融入“算法”

在探索運算法則時，教師常常會重“算法”而輕“算理”，學生知其然而不知其所以然。而培養學生轉化的思想，可以促進學生對算法的理解。

例如，在學習“小數乘整數”時，出現例題，“一個風箏3.5元，買3個風箏需要多少錢？”當學生列出算式“3.5×3”時，可以讓學生主動探索如何計算出結果。部分學生想到乘法的意義，把“3.5×3”表示成“3.5+3.5+3.5”，運用小數加法計算來解決;也有部分學生想到把3.5元換算成35角，轉化成整數乘法來計算，最后再將單位換算成“元”，同時通過這種方法還能引出小數乘法的計算方法，讓學生進一步從意義上來理解，而不是只知算法，不知算理。無論哪種方法，學生都是把新知識轉化成已學過的知識，逐步感知到了轉化的思想方法。

2.讓“背公式”變成“促思維”

在探索圖形計算公式時，如果只是簡單地讓學生記憶公式，而忽略了這個公式是如何來的，那么當這個公式一段時間不用時，學生常常會遺忘。這就需要教師在設計教學時，讓學生主動探索公式的推導過程，從而培養學生轉化的思想，促進學生思維的發展。

例如，在教學“圓的面積”時，如果簡單地讓學生記憶“圓的面積=πr2”，學生的數學學習只停留在了記憶的層面，思維得不到發展。教師應引導學生根據平行四邊形、三角形、梯形面積推導的經驗，把圓的面積轉化成已經學過的圖形面積進行推導。雖然圓是由曲線圍成的圖形，和前面直線圍成的圖形有一定的區別，但是通過剪拼我們還是能把它轉化成近似的已經學過的圖形，通過分成8份、16份后拼一拼，讓學生慢慢感知“越來越接近平行四邊形”的感覺，同時滲透“化曲為直”和“數學的極限思想”，就能理解圓的面積求法了。這個教學例子也充分體現了轉化思想是其他數學思想的基礎。

（二）轉化是解決問題的重要方法

1.化繁為簡，活轉化

著名的數學家波利亞說過：“當原問題看來不可解時，你不要忘記人類的高明之處，就在于迂回繞過不能直接克服的障礙，就在于能想出某些適當的輔助問題。”復雜運算往往都是由幾個簡單的運算疊加而成的，利用轉化方法就可以實現復雜運算的分解。學生如果掌握了轉化思想，就能提高自身思維的敏捷性和靈活性，為今后的學習生活打下堅實的基礎。

在簡便運算的教學中，有些人覺得計算就是一種技能，沒有什么數學思想可言，其實不然，簡便運算既能讓學生掌握計算的技能、技巧，又能訓練學生的轉化思想，使學生的計算能力有質的飛越。例如，在計算“25×36”時，如果不思考就動筆，第一反應就是列豎式計算，而且每個學生都有這樣的基礎，但是愛思考的學生會找到解題竅門，避免紛繁復雜的筆算。通過一題多解的方法，靈活運用簡便運算的方法進行轉化，只要把算式進行如下轉化，就能口算出計算的結果。

2.化數為形，巧轉化

借助于圖形的性質將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，可以給人以“直觀感”。

例如，在解決“一個正方形花壇，如果把花壇的邊長增加6分米，面積就增加156平方分米，求原來花壇的面積”這道實際問題時，如果用代數的思想，就是要“設原來正方形的邊長為x”，列出方程（x+6）2-x2=156。這個方程在小學階段的學生還不太會解，所以我們就想到把題目轉化為圖形來解決，見圖3：發現邊長增加6分米，面積增加的是2塊淺色部分和1塊深色部分的總和，我們可以先求出深色這一塊的面積是6×6=36（平方分米），那么面積增加的156平方分米減去深色部分就是兩塊淺色部分，而這兩塊淺色部分的面積是一樣的，因為長和寬相同，所以（156-36）÷2=60（平方分米）就是一塊淺色部分的面積，因為淺色部分的寬就是6，所以長就是60÷6=10（分米），也就是原來正方形的邊長，然后用10×10=100（平方分米）就是原來正方形的面積了。從此題可以看出：我們把一道較復雜的實際問題巧妙地轉化為圖形之后，更加直觀，也能幫助學生更容易地理解這個問題，問題的解決也就簡單多了。

3.化抽象為具體，善轉化

數學的特點之一就是它具有很強的抽象性，把比較抽象的問題轉化為比較具體易操作或較直觀的問題，那么不但問題容易解決，而且經過不斷的“抽象—具體—抽象”的訓練，學生的抽象思維能力也會逐步提高。

如“男女生的比為5： 4，則男生比女生多（? ?）%，女生比男生少（? ?）%”，平時我們在解決這類百分數問題的時候，需要有具體的數量，可是這里沒有，很多學生就困惑了，而這道題的突破口就是把5∶4看成具體的數量，只要符合5∶4的要求都可以，比如看成男生5人，女生4人，或者看成男生10人，女生8人。小學階段很多知識都是不完全證明，其中舉例是一種非常常用的方法，把抽象的比例關系轉化為具體的人數來解答，學生就自然而然能夠解決了。

四、對轉化思想的幾點思考

以上實例說明轉化思想貫穿于小學數學教學的始終。教師要讓轉化策略在教學過程中呈現，要做到以下幾點：

（1）讓學生養成預習的學習習慣，精心設計預習作業單，引導學生主動探索如何用已經學過的方法來解決新的問題。

（2）設計探索環節，學生只有發現自己存在困難時，才會主動去探索方法，從而逐步滲透轉化思想。只有彰顯數學知識的產生過程，才能讓學生在知識的獲取過程中去經歷，通過獨立思考和小組互助不斷地去體驗。

（3）在設計練習時要注重設計關于思想方法的遷移轉化類的題型。

現代認知派心理學家布魯納認為，掌握學科的基本結構、基本原理和概念，是通向適當“訓練遷移”的大道。其實轉化正是一種遷移的能力，轉化思想的培養可以讓學生在日常生活中更具有遷移的能力。

認知同化學習理論中提出：“運用是把已知命題直接轉換到類似的新情境中去，有點類似于我們通常所講的‘練習’。問題解決是指學生無法把已知命題直接轉換到新情境中去，學生必須通過一些策略，使一系列轉換前后有序。學生已有的知識可能是與問題解決辦法有關的，但需經過多次轉換，而非直接運用或練習所能解決的。”這充分說明了轉化思想在小學數學教學中的重要意義，也就是很多學生遇到“新題”就困惑的原因。

知識點的轉化可以溝通知識之間的聯系，能有效促進學生相關知識網絡的建構，對于如何更好地滲透轉化思想，使其串聯起小學教學的全過程，還需要不斷的思考和實踐，這也需要更多的教育教學理論的支持，從而更加深入地研究問題，加深研究問題的深度和廣度。

【參考文獻】

[1]馬國泉.社會科學大詞典[M].北京：中國國際廣播出版社，1989.

[2]張大均.教育心理學[M].北京：人民教育出版社，2011.

[3]王永春.小學數學思想方法解讀[M].上海：華東師范大學出版社.2017.

注：本文系江蘇省教育科學“十二五”規劃2015年度重點課題“小學數學高效教學的校本實踐研究”（編號：B-a/2015/02/045）的研究成果。