“圖形與幾何”課程內容探析

劉久成

【摘 要】小學數學課程內容“圖形與幾何”歷來是課程改革爭論的焦點之一。基于現實需要，以及數學學科和小學生認知的特點，我們認為，小學圖形與幾何課程內容的確定應關注以下幾個問題：學校教育的早期，教學歐氏幾何是重要的，但應適當拓展幾何課程內容領域;幾何屬性的數量表示值得關注，并凸顯其直觀性;內容呈現要重視情境設置和問題探索，體現從生活到數學、由直觀到抽象的特點，并保持數學教材內容一定的邏輯嚴謹性。

【關鍵詞】小學數學 圖形與幾何 課程內容

蘇聯學者斯托利亞爾曾說，不確定“教什么”的問題，就不可能解決“如何教”的問題。因此，“教什么”相對于“怎么教”來說是前提，如果教學內容本身出了問題，那么再好的方法手段也無濟于事。幾何學是研究“形”的分支學科。幾何學的發展，讓人們看到了幾何的多樣性，也讓人們感受到，數學既有發現的特征，也有發明的特征。“圖形與幾何”是小學數學課程內容之一，是幾何學最基礎的部分，其課程內容改革一直是爭論的焦點之一。從表1中我們可以看到，中、美、澳、英、日五國現行課標中關于圖形與幾何的課程內容顯示出明顯的差異。

比較發現，各國圖形與幾何的教學內容都有了拓廣，不再嚴守歐氏幾何概念體系，一般都涉及圖形的認識、測量、變換與位置。通過具體比較可以發現，圖形與幾何內容大多集中在對簡單二維和三維圖形特征的認識上，但在內容廣度和深度設置上有一定的區別。

20世紀70年代，斯托利亞爾在談到數學教育現代化時曾指出，幾何教學問題是數學教育現代化最復雜的問題之一，它引起了廣泛的、世界性的爭論。直到今天，圖形與幾何課程內容仍然是數學課程中最不統一的一個部分。同時我們看到，新課改以來，對于圖形與幾何課程內容的確定鮮有成果可以借鑒分析。由此，筆者基于現實需要，以及數學學科和小學生認知的特點，提出小學圖形與幾何課程內容的確定應關注的幾個問題。

一、學校教育的早期，教學歐氏幾何是重要的，應該鼓勵學生去研究簡單的幾何圖形，并探索這些圖形的性質

歐氏幾何誕生兩千多年來，一直被視為學習幾何知識和培養學生邏輯思維的典范。20世紀60年代，曾有人建議中小學數學不再保留歐氏幾何體系。但時至今日，人們仍然認為，歐氏幾何建立了一種最簡單、最直觀、最能為學生所接受的數學模型，是理解、描述和聯系現實空間的工具，讓學生利用這樣的模型去思考、去探索，可以使學生體驗到數學推理的力量。數學大師陳省身先生也指出：“一定要講歐氏幾何，從前歐幾里得幾何是整個教育的一部分，而不僅僅是數學的一部分。因為通過它可以使學生在簡單的情況下獲得一些推理。”歐氏幾何的直觀性、難度的層次性、真假的實驗性，以及推理過程的可預見性，使它成為訓練邏輯思維和演繹推理的理想材料和工具。同時，我們看到，歐氏幾何的概念、性質和相關測量在實際生活和生產實踐中有著極為廣泛的應用，有助于學生感受數學的價值，激發學生對數學的興趣。當然，在低年級，接近歐氏幾何的方式必須是非形式的和解釋性的，而系統化則留給較高年級。

二、小學圖形與幾何學習領域應適當拓展，更多地聯系生活實際，向學生展示圖形與幾何在生活實踐中的應用，并讓學生感受到這些應用會影響他們的生活

自20世紀貝利—克萊因運動以來，人們開始重視實驗幾何、直觀幾何，將運動思想引入幾何。我國進行的本次課程改革也強調幾何變換，讓圖形“動起來”，在運動和變換中研究和揭示圖形的性質，雖未明確給出這些圖形變換的定義，但相關內容已超出了歐氏幾何的概念體系。“圖形的運動”在小學階段主要有兩種情況：一是形狀和大小不變，只是位置發生變化（合同運動），包括軸對稱、平移、旋轉;二是形狀不變，大小變化（相似運動），如放大、縮小。本次課改之前，小學數學只涉及軸對稱圖形，不包含圖形的平移、旋轉和放大、縮小，現列入這些內容至少有以下幾點理由：

一是解決實際問題的需要。弗賴登塔爾指出，數學的根源是常識，人們通過自己的實踐，把這些常識通過反思組織起來，不斷地進行系統化。現實世界中，軸對稱、平移、旋轉的現象大量存在，觀察和認識這些現象，有助于人們用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界，提高認識世界的能力。

二是歐氏幾何公理體系的建立，使它與邏輯推理結下了不解之緣，現在看來，邏輯推理也并非“歐氏幾何”所獨有。況且，除了發展學生的邏輯推理能力，還要發展其合情推理能力，以及觀察、操作、實驗、探究等方面的能力。因此在國際范圍內，傳統意義上的歐氏幾何概念體系有逐漸被打破的趨勢，多樣化幾何進入中小學課程已成為現實。圖形的運動隸屬于變換幾何，寫進義務教育數學課程標準，使得幾何學習領域得到了拓展，也使小學幾何課程的內容更為豐富。

三是“圖形的運動”在于考查圖形在運動下的不變性特征。這種數學思想方法非常重要。1872年，著名德國數學家、埃爾朗根大學教授菲利克斯·克萊茵提出的幾何學新定義，就是把幾何定義為一個變換群之下的不變性質，并且引出了按照變換群對幾何進行分類的思想。

四是軸對稱、平移、旋轉的內容更具有現實性和操作性，其概念和性質為圖案的設計、圖形面積的計算，以及認識復雜圖形和全等圖形等奠定基礎。這些問題并非來自歐氏幾何，也無須要求學生了解相應幾何領域的概念系統，但它對于提高學生研究圖形的興趣、提升學生的幾何直觀能力、發展學生的空間觀念和推理能力都很有幫助。

三、在小學，幾何屬性的數量表示是值得關注的領域

我們已經看到，用代數的方法研究幾何具有重要的教育價值。17世紀法國數學家笛卡爾做了開創性工作，建立了解析幾何學。現行中學教材中引進向量幾何的做法，也有助于幾何與代數的融合。因此，在小學適當滲透坐標思想，用數對或者方向與距離來表示位置，是空間位置的量化手段，不僅易于學生理解，也有利于中小學的銜接。同時坐標幾何知識的運用，也體現了數形結合的思想。

四、歷史地看，幾何課程內容有如下幾個特征：直觀的、計算的、概念的、代數的、功利的、實用的，在制定小學數學課程內容時必須做出選擇

我們看到，我國小學幾何在20世紀50年代強調計算（求積），70年代注重功利和實用，80年代至90年代直觀與計算并重，現行圖形與幾何課程內容應該更具綜合性，體現其直觀、計算和應用的特點。內容呈現重視情境設置和問題探索，體現從生活到數學、由直觀到抽象的特點。這就要求我們處理好不同情境類型的比重，特別是生活情境和數學學科情境的配合。過多的生活情境可能出現“去數學化”的傾向，數學自身的情境過多也會出現“去生活化”的傾向。小學生學習圖形與幾何，不是以公理體系為基礎而是以生活經驗為基礎進行的，兒童通過折疊、搭建、擺拼等操作活動，來積累表象，豐富經驗，加深對圖形特征的理解。根據皮亞杰的研究，讓學生用尺規動手畫圖，可以促進學生對幾何概念的理解，感悟圖形的存在。

比如，過兩點畫線段，可以讓學生感受線段的特征：直的、有兩個端點、可測量長度。

又如，過直線外一點，畫已知直線的平行線、垂線、垂線段，可以促進學生感悟平行公理、垂線的唯一性、垂線段最短等性質。

五、小學幾何課程內容既要根植于兒童實際，又要言之有據，形成循序漸進、互相連接的邏輯框架

學生學習圖形與幾何的基礎是生活經驗，不可能跳過早期的直覺階段對幾何事實、概念進行全面的理解。課程內容的設計應采取螺旋上升的方式，在不同水平上對同一課題進行教學。現行教材一般是讓學生先直觀認識簡單的幾何形體和常見的平面圖形，然后再進行一維、二維、三維圖形的進一步認識。這樣循環交替、螺旋上升式的內容設計，既考慮到數學知識的系統性，又兼顧了學生的認知特點。

學習心理學研究表明：學生學習幾何，先有具體概念，再有定義概念。如認識長方形和正方形，一年級先直觀認識，此時學生只有具體概念，對圖像的識別建立在經驗中的“形狀參照”。如像“門”一樣形狀的圖形就是長方形，像“地磚”一樣形狀的圖形就是正方形。學生在低年級對這些圖形僅僅是通過直觀的感知來積累表象，并且通過整體辨認作出判斷，既不分析它們的特征，更談不上去研究它們的各個要素和邏輯聯系，到中年級時才逐步建立抽象概念，揭示它們的特征與關系。

再如，線段、射線、直線的教學內容安排。1978年到新課改之前，都是在低年級先教學直線、線段，到中年級講“角”之前再引出射線，完成直線、線段、射線的教學。

這種做法，符合歐氏幾何概念體系，但容易出現一個問題：直線的無限延伸性往往被學生忽視，或者學生雖然記住了這一點，但對它缺乏深刻領悟和具體感受。事實上，“直線”概念有三個要素：直、無粗細可言和無限延伸性。其中，“直”和“無粗細可言”可以通過直觀教學并且運用同一性抽象得出。如“直”可以通過教具演示、通過與“曲”的對比，使學生認識。“無粗細可言”也可以借助典型事例的觀察和分析讓學生認識到。如教室墻面的淺色區域和深色區域的分界線、折紙折出來的折痕等都是沒有粗細的線的例子。但“無限延伸性”難以通過直觀教學使學生獲得。因為我們找不到這樣的實際事例，“無限長的直觀教具”我們是拿不出來的。能拿出來的，只能是“有限的”。于是，這種無限延伸性只能由教師告訴學生，由學生發揮想象力。現行教材調整了教學順序，在低年級配合長度單位的教學先認識線段，因為量長度本質上是量線段的長度，從邏輯上說，應該先有“線段”概念，到中年級講“角”的時候再引出射線、直線。這樣由具體到抽象，從有限到無限，既具有一定的邏輯性，又符合兒童的認知特點。

注：本文系全國教育科學規劃教育部重點項目“改革開放以來小學數學教科書內容嬗變及其經驗研究”（編號：DHA190371）的研究成果。