考慮射程損失的高超聲速飛行器突防彈道分析與設計方法*

李叢卉，梁海朝，王劍穎

(中山大學 航空航天學院· 深圳·518106)

0 引 言

高超聲速飛行器是指飛行速度超過馬赫數5的飛行器。高超聲速飛行器具備實現高速度、遠距離、大威力的戰術打擊效果的能力，在未來戰場上具有極大的戰略意義和威懾性，因此成為了世界各軍備大國競相爭奪的技術制高點[1]。由于高超聲速武器的加速研發，高超聲速防御系統也隨之發展，包括對于高超聲速飛行器的探測以及反高超導彈等，這會對高超聲速武器的作用產生嚴重影響。目前成熟的導彈防御系統包括助推段、中段和末段三層防御[2]。因此，要繼續充分發揮高超聲速飛行器的優勢與作用，其機動突防技術亟待發展。

導彈的機動變軌是指導彈利用空氣動力或小型助推器產生推力，產生加速度以改變速度大小和方向，從而改變原有飛行彈道[3]的動作。目前彈道導彈中段機動突防措施主要可分為程序式機動突防和自主機動突防兩種[4]。程序式機動突防是指導彈按照事先設定好的機動程序，在發射后的固定時間點進行固定的機動動作，以降低敵方對彈道的預測精確度。這種機動方式的魯棒性較差，適用性低，并且對發動機和控制系統性能要求都較高。自主機動突防是指導彈在探測到敵方攔截導彈時，通過探測到的攔截彈飛行參數，由彈載計算模塊實時計算，并得到最優突防機動指令，進行自主的突防機動。其優點在于主動化、智能化，可以根據實際情況給出最優突防策略，以得到較高的突防成功率。但是由于一般情況下的機動突防過程具有突發性，時間較短，這種實時計算的方式對于彈載探測和計算模塊的要求較高，技術難度較大[5]。

目前，在高超聲速突防領域居于領先地位的主要是美俄兩國。美方對其現役的主要陸基戰略彈道導彈民兵Ⅲ導彈做出了許多改進，以提高其機動突防能力，主要包括采用分導式多彈頭、加裝突防裝置，以及末助推控制系統等[6]。白楊M導彈是俄羅斯彈道導彈的代表，其突防能力主要體現在先進的隱身技術、新型火箭發動機、特殊的飛行彈道，可降低被防御系統探測到的概率，并且還采用了新型的質心機動變軌技術，通過移動裝置使質心偏移，產生控制力和力矩，從而實現機動變軌[7]。目前，世界上軍事強國常用的主要突防方法有：突防彈道規劃、微分對策/單邊最優制導律設計、合理突防最優制導律設計等[8]。

以往對于高超聲速飛行器機動突防的研究，通常都將目光聚焦在機動方式、突防成功率等方面，而對突防造成的射程變化關注不多。然而，在高超聲速飛行器機動突防的同時，速度大小、方向等飛行參數的變化會導致射程的變化，這種變化可能導致導彈的落點產生偏差，從而改變其對目標打擊的精確程度，是不可忽略的。本文針對高超聲速飛行器機動導致的射程變化問題，分別對于彈道式和滑翔式兩種高超聲速飛行器，開展機動-射程變化二者之間關系的研究。

1 彈道式高超聲速飛行器突防機動對射程損失影響分析

彈道式高超聲速飛行器的突防機動動作通常發生在自由段和再入段，在這兩個飛行階段中飛行器彈道形狀較為固定，軌跡易被預測，且機動能力較差，易于受到反導攔截彈攻擊[9]。因此，需要利用攜帶的動力裝置進行機動以躲避攻擊。但機動會導致飛行速度和方向變化，進而導致落點和射程變化。本章將針對彈道式高超聲速飛行器自由段和再入段機動導致射程變化的影響進行分析。

1.1 彈道式高超聲速飛行器再入段機動

彈道式高超聲速飛行器的再入段，即從飛行器再入大氣層開始到飛行器落地打擊目標為止。在此段中，飛行器位于大氣層內，無持續性自主動力，受到地球引力和氣動力作用。

1.1.1 再入段動力學模型與射程分析

彈道式高超聲速飛行器在大氣中的運動微分方程為

(1)

其中，L為升力；D為阻力；Z為側向力；Θ為速度傾角；v為飛行器飛行速度；β為射程角。采用零攻角再入，因η=0，故升力L=0，即L=Z=0，簡化得到零攻角再入時的運動微分方程為

(2)

射程

S=βR0

(3)

其中，R0為地球半徑。根據式(2)的第4式，可得

(4)

聯立式(4)與式(2)第3式，得

(5)

由于再入段過程時間短，可近似認為Θ≈Θe,Θe為再入角，即再入大氣層瞬間速度矢量與當地地平面夾角。代入式(4)并對等號兩邊積分，得到未機動時的再入段射程為

(6)

從再入瞬間到任意高度h時的射程為

(7)

1.1.2 突防機動的射程變化分析

首先建立描述速度變化的坐標系，如圖1所示。為方便描述過程，選用彈道坐標系，即坐標系原點O1為飛行器質心，O1x2軸沿飛行器飛行速度方向；O1y2在鉛垂面內，垂直于O1xv軸；O1zv與另外兩軸成右手螺旋系。

圖1 彈道坐標系下的速度矢量Fig.1 Velocity vector in ballistic coordinate system

其中，v1為飛行器未機動前的原速度；Δv為機動產生的速度，為空間矢量，可分解到xyz三軸上。基于圖1描述的坐標系，考慮Δv沿x方向、在xOz平面內、在xOy平面內、在空間內等四種機動方式，分別對彈道式高超聲速飛行器在再入段機動造成的射程變化進行分析和推導，如圖2所示。

(a) Δv在xOz平面內

Δv沿x方向時，由于再入段過程時間短，可近似認為Θ≈Θe，即速度傾角Θ不變，恒等于再入傾角Θe。此時，Δv只改變原速度大小而不改變方向，因此再入段射程不變。

Δv在xOz平面內時，機動后速度大小為

(8)

速度夾角為

(9)

機動后，速度傾角Θ變化。由空間幾何關系，可知變化后速度傾角Θ2為

(10)

Δv沿z方向的情況，可以由此種情況簡化而得。即Δvx為0，僅有Δv=Δvx。

Δv在xOy平面內時，機動后速度大小為

(11)

速度夾角為

(12)

機動后，速度傾角Θ變化。由幾何關系可知，變化后Θ2為

Θ2=Θe-θ

(13)

Δv在空間內時，機動后速度大小為

(14)

速度夾角為

(15)

機動后，速度傾角Θ變化。由空間幾何關系可知，變化后Θ2為

(16)

Δv在yOz平面內的情況，可以由此種情況簡化得到。即Δvx為0，僅有y和z方向的速度增量。

由上述四種情況可分別得到向不同方向機動后的速度傾角Θ2。代入式(7)，得到機動后再入段射程S1為

(17)

結合式(6)所求得的原射程S0，得到再入段機動射程變化為

(18)

其中，Θ2由上述四種分類分別求得。

1.1.3 彈道式再入段射程影響分析

分析彈道式再入段的速度變化-射程變化關系式(18)可知，對射程產生影響的因素主要是機動高度h和速度變化Δv，其中速度變化Δv是通過改變速度傾角Θ來影響射程的。射程變化量ΔS與機動高度h成正相關；對于速度變化Δv，機動后速度傾角Θ2相對于再入傾角Θe的變化與Δv數值成正相關，從而射程變化量ΔS與Δv數值成正相關。

速度變化Δv的方向對于射程變化也有不同的影響。根據前文理論推導，當Δv在x軸方向時，由于再入段過程較短，可將再入段全程速度傾角Θ近似為再入傾角Θe，即認為速度傾角Θ保持不變，因此x軸方向的Δv不影響射程。當Δv在y軸方向時，若Δv方向沿y軸正向，飛行器速度傾角上抬，原本為負值的Θ2數值上減小，相較Θe變化更大，射程變化ΔS與y軸上的Δv分量大小成正相關；若沿y軸負向，則恰好相反，射程變化ΔS減小。當Δv在z軸方向時，方向沿z軸正負向對稱，可僅考慮一側，其對射程產生的影響由兩部分組成：一方面，z方向的Δv會使飛行器速度增大，從而使射程增大；另一方面，z方向的Δv會導致飛行方向的偏移，如圖3所示。

圖3 z方向速度變化導致射程損失Fig.3 Range loss due to velocity change in z direction

機動后的射程2會小于原射程1，即機動后的方向變化會導致射程損失。z軸上的Δv對射程產生的影響由上述兩部分耦合而成，為非線性關系，不能明確給出，需要通過仿真進行驗證。

1.2 彈道式高超聲速飛行器自由段機動

彈道式高超聲速飛行器的自由段，即為主動段結束、發動機關機，到再入大氣層之間的部分。自由段位于大氣層外，僅受到地球引力作用，無氣動力作用。

1.2.1 自由段動力學模型與射程變化分析

圖4中，k點為關機點，e點為再入點。由軌道特性可知，未機動時自由段彈道對稱。fk、fe分別為關機點和再入點的真近點角。關機點與再入點兩矢量夾角，即射程角βe

βe=fe+fk

(19)

(a) 機動前

根據關機點參數rk、vk、Θk求得軌道參數半通徑P、偏心率e、能量參數νk，從而分別求解關機點k和再入點e處的真近點角，即可求出射程角βe，最終可得機動前射程

S0=R0βe

(20)

自由段中的機動對后續彈道的影響分為兩部分：其一是改變自由段軌道，影響自由段射程；其二是改變再入點位置以及再入點處的再入角、速度大小等參數，從而改變再入段軌跡和射程。接下來計算在點1機動后，從機動點1到新的再入點e之間的新軌道的射程。為簡化表述，使用圖1中彈道系進行描述，主要可分為兩種情況，一種是Δv僅位于xOz平面內、無y方向分量，另一種是存在y方向分量。針對上述兩種情況，分別對彈道式高超聲速飛行器自由段機動對射程造成的影響進行分析和推導。

首先是Δv位于xOz平面內，無y方向分量的情況。此分類包含Δv僅沿x或z方向，或在x和z方向都有分量這三種情況。在這種情況下，Θ2=Θ1，速度傾角不變，僅速度大小改變，變為

(21)

求解機動后的新軌道參數，包括半通徑P1、偏心率e1以及能量參數ν1，可分別得到f1、fe，則機動點1和再入點e之間的射程角β2為

β2=fe-f1

(22)

根據動量矩守恒，可得新的再入點再入角Θe。新軌道與原方向偏差角度

(23)

由上述求得的參數，得到射程變化如下：

自由段新射程

Sf=Reβ1cosθ+Reβ2

(24)

自由段射程變化

ΔSf=Sf-Sf0=Re(β1cosθ+β2-βe)

(25)

再入段新射程

(26)

再入段射程變化

(27)

總射程變化

(28)

參考1.1節分析式(22)、式(23)有:

自由段新射程

Sf=Reβ1+Reβ2

(29)

自由段射程變化

ΔSf=Sf-Sf0=Re(β1+β2-βe)

(30)

再入段射程變化

(31)

總射程變化

(32)

上文中，下標為k的符號代表關機點k處的參數，下標1代表原未機動軌道在機動點1處的參數，下標2表示在機動點1處機動后發生變化的參數，下標e表示在再入點e處的參數。β1為關機點k與機動點1之間射程角，β2為機動點1與再入點e之間射程角。

1.2.2 彈道式再入段射程影響分析

分析彈道式自由段的速度變化-射程變化關系式(28)及式(32)可知，對射程產生直接影響的參數主要有：機動后新再入點e的位置、e處再入傾角Θe，以及機動點1的位置。其中機動點1的位置即機動時間，射程變化ΔS與機動時間成負相關。而新再入點e的位置及參數主要受到機動時間和速度變化Δv的影響。機動時間t或速度變化Δv不同，會導致機動后新軌道形狀的不同，從而影響新再入點e的位置及參數。x、y、z這3個方向的速度變化Δv都會改變自由段的軌道參數，包括半通徑P1、偏心率e1以及能量參數ν1等，使軌道形狀發生改變，從而改變再入點e的位置和飛行參數，最終改變射程。除此之外，z方向的Δv還會改變飛行方向，如前文圖3所示，機動后的方向變化會導致射程損失。z軸上的Δv對射程產生的影響由上述兩部分耦合而成，為非線性關系，需要通過仿真進行驗證。

2 滑翔式高超聲速飛行器突防機動對射程損失影響分析

滑翔式高超聲速飛行器的突防主要發生在平飛滑翔段，即從發射段結束、飛行器達到最高點p，到下壓打擊點d之前的這一段，全程在大氣層內。此段過程中，飛行器飛行高度大致在60～30km，占整個飛行過程的比例較大，時間較長，飛行狀態較為平穩，速度波動不大，高度緩慢下降，因此很容易被敵方反導系統探測到并預測軌跡，從而進行攔截。因此，滑翔式飛行器在此段具備一定的機動突防能力至關重要。

滑翔式飛行器通常通過大攻角機動改變飛行狀態，從而突破反導攔截彈的重圍。本章將對滑翔式高超聲速飛行器的平飛滑翔段進行推導與論證，分析其機動對于射程變化量的影響。

2.1 平飛滑翔段動力學模型與射程分析

滑翔式飛行器的運動學方程

(33)

(34)

由簡化后的運動學方程聯立得到

(35)

則

(36)

兩邊積分，得到射程

(37)

2.2 突防機動的射程變化及影響因素分析

滑翔式飛行器通過攻角變化進行機動。攻角α變化會導致升阻力系數CL與CD發生改變，速度減小，從而影響機動后的射程。

從平飛滑翔段起始點p到機動點1未機動，射程不變

(38)

到達機動點1后，攻角變化，升阻力系數CL與CD發生改變，從而使升力L與阻力D都發生改變。速度減小，變為v2。從機動點1到平飛滑翔段結束點d，射程為

(39)

因此，機動導致的射程變化

(40)

其中，變化前后的升阻力系數CL1、CD1、CL2、CD2，以及機動點1處機動前速度v1、機動后速度v2、原滑翔段末端點速度vd、機動后滑翔段末端點速度vd′，需要在仿真模擬實驗中通過迭代計算得到。

分析滑翔式平飛滑翔段的攻角變化-射程變化關系式(40)可知，對射程產生影響的因素主要是機動位置和攻角變化量。其中射程變化ΔS與機動高度成正相關。而攻角變化量主要通過改變升阻力系數CL與CD，從而改變升力L和阻力D，繼而影響后續飛行狀態，最終影響射程。而大攻角機動一般會導致速度減小，升力下降，阻力增大，因此這種機動方式理論上會導致射程減小，即射程損失。同時攻角變化也不能過大，不能超過臨界攻角，否則可能導致飛行器失速。

3 數值仿真分析

3.1 彈道式再入段機動仿真驗證

對于彈道式高超聲速飛行器的再入段進行速度的機動。主要考慮因素為：機動位置(高度)、xyz這3個方向速度變量大小、速度變量方向、機動模式(包括脈沖機動、方波機動、相位不同、周期數不同的正弦機動等)[10]。

(a) 機動高度

從圖5(a)可以看出，射程變化量與機動高度成正相關。從圖5(b)可以看出，xyz這3個方向的速度變化量對射程造成的影響從大到小排序依次為：y方向影響最大，其次是x方向，z方向影響最小，基本在1km以內，且三者產生的射程變化量都與速度變化量大小成正相關。此處x方向的仿真結果在數值上與理論分析產生一定差異，原因是理論分析的速度傾角Θ不變這一假設，使得其得到結論為x方向的機動對射程造成影響可以忽略，但實際上速度傾角的變化是不可忽略的。從圖5(c)可以看出，隨著Δv遠離yOz平面，速度變量對射程的影響隨之呈現先增大后減小的趨勢，在大約40°左右達到峰值。而隨著Δv與xOy平面夾角增大，射程變化減小。因為當Δv與y軸正向夾角為0°～90°時，y軸分量射程增加，與x軸同樣使射程增加的影響疊加，產生的射程變化量較大；當與y軸正向夾角為90°～180°時相反，y軸分量的負向影響與x軸正向影響正負抵消。Δv與yOz平面夾角和與xOy平面夾角兩種情況的示意圖如圖6所示。

(a) Δv與yOz平面夾角

觀察圖5(d)和(e)，使用脈沖機動、方波機動,以及相位不同(0°、45°、90°、180°)、周期數不同(雙周期、三周期)的正弦機動等機動模式，當加速時間較短(2.5s內)時，正弦180°相位產生的射程變化最小，其次是脈沖模式；加速時間增長到較長(2.5s后)后，各種模式對射程的影響都以相似的幅度增大，其中最小的是脈沖模式，其次是三周期正弦和兩周期正弦模式。

3.2 彈道式自由段機動仿真驗證

對于彈道式高超聲速飛行器的自由段進行速度的機動。主要考慮因素為：機動位置、xyz這3個方向速度變量大小、速度變量方向、機動模式(包括脈沖機動、方波機動、相位不同、周期數不同的正弦機動等)，與再入段類似。

(a) 機動時間

從圖7(a)可以看出，射程變化量與機動時間成負相關。從圖7(b)可以看出，xyz這3個方向的速度變化量對射程造成的影響從大到小排序依次為：y方向影響最大，其次是x方向，z方向影響最小，且三者產生的射程變化量都與速度變化量大小成正相關。從圖7(c)可以看出，射程變化量Δv與yOz平面夾角大致成正相關，而Δv與xOy平面夾角成負相關。在與yOz平面夾角曲線的變化過程中，在15°處會出現一個射程變化量為0的點，此處y軸方向分量使射程減小，與x軸、z軸的正向影響正負抵消。觀察圖7(d)，使用脈沖機動、方波機動、正弦機動(包括相位為0°、45°、90°、180°，以及單周期、雙周期、三周期)等機動模式，在加速時間較小時(20s以內)，其余幾種機動模式產生的射程變化都小于脈沖機動，特別是正弦45°相位、正弦90°相位和方波機動；在加速時間較大(大于20s后)時，其余幾種模式對射程產生的影響都逐漸增大，而正弦90°相位的射程損失仍然能保持在較小的范圍內。另外，對比自由段和再入段中射程變化的數值，可見自由段機動對射程變化的影響遠大于再入段。

3.3 滑翔式機動仿真驗證

對于滑翔式高超聲速飛行器的平飛滑翔段進行攻角的機動。主要考慮因素為：機動位置、攻角變化大小、機動模式(包括脈沖機動、方波機動、相位不同、周期數不同的正弦機動等)[11]。滑翔式飛行器通過大攻角改變升力L和阻力D，從而改變射程。

考慮一個彈道式高超聲速飛行器的平飛滑翔段，速度約在Ma=5.5～6。攻角固定為11°，機動高度在30～50km范圍內變化，射程變化曲線如圖8(a)所示；固定在高度45km處進行機動，攻角在1°～20°范圍內變化，射程變化曲線如圖8(b)所示；為探究機動模式影響，固定機動高度為45km，攻角變化量Δα為5°，射程變化曲線分別如圖8(c)和(d)所示。

從圖8(a)可以看出，射程變化量與機動高度成正相關，即機動位置越高，射程變化量越大；從圖8(b)可以看出，射程變化量與攻角變化量成正相關，負攻角變化量會導致射程減小，即射程損失，而正攻角變化量會導致射程變大；觀察圖8(c)和(d)，使用脈沖機動、方波機動,以及相位不同(0°、45°、90°、180°)、周期數不同(雙周期、三周期)的正弦機動等機動模式。無論使用何種機動模式，在機動時長較短(10s以下)或較長(30s以上)時，導致的射程變化都較大;而當機動時長適中(10～30s范圍內)時,產生的射程變化較小，選擇機動周期時應當盡量選擇在此范圍內。放大觀察13～18s范圍，其中雙周期、正弦45°相位機動和方波機動產生的射程損失較小，正弦0°相位、正弦180°相位、三周期正弦機動產生的射程損失較大。

(a) 機動高度

4 結 論

本文分別開展了彈道式和滑翔式兩種高超聲速飛行器突防機動造成的射程變化的推導和仿真驗證工作，推導并分析了機動位置、速度變化量大小和方向、攻角變化量、機動模式等的影響。通過仿真對推導得到的機動-射程變化量關系進行了驗證，結果表明，機動位置、速度變化量大小和方向、攻角變化量、機動模式等會影響彈道式和滑翔式高超聲速飛行器的射程變化量。

根據分析和仿真結果，給出對射程影響較小的突防機動策略建議如下：

1)針對彈道式高超聲速飛行器的再入段機動，應盡量在距地面高度較低、接近目標點處進行機動。盡量選擇z方向機動，或Δv在x正y負區域的機動方向，并保持與yOz平面夾角在80°以上，且速度變量盡可能小。機動時長較短(2.5s內)時，優先選用正弦180°相位的機動模式；機動時長較長(2.5s后)時，可考慮使用脈沖機動。但考慮到對于實際應用中脈沖突變的瞬時加速度很大，難以實現，可以選擇使用雙周期、三周期等多周期正弦機動模式。

2)針對彈道式高超聲速飛行器的自由段機動，應盡量在較為接近再入點的時間段機動。選擇z方向機動，或Δv在x正y正區域的機動方向，特別是可選擇與yOz平面夾角為15°附件區域，且速度變量盡可能小。機動時長較短(20s內)時，可選用正弦45°相位、正弦90°相位、方波等機動模式；機動時長較長(20s后)時，正弦90°機動模式表現最優，可以優先選用。考慮到自由段機動導致的射程變化通常要大于再入段，因此應盡量選擇在再入段進行機動。

3)針對滑翔式高超聲速飛行器的平飛滑翔段機動，應盡量在較為接近平飛滑翔段末端點的時間段機動，攻角變化量控制較小，機動模式上優先選擇正弦雙周期、正弦45°相位機動和方波機動模式，且機動時長盡量控制適中，大致在10～30s范圍內。