不確定條件下高超聲速俯沖彈道魯棒優化*

王培臣，張睿軒，閆循良

(1.西北工業大學 航天學院·西安·710072；2.中國航空工業空氣動力研究院·沈陽·110034)

0 引 言

高超聲速滑翔飛行器通常采用大升阻比氣動外形，可進行長距離機動飛行，具有飛行速度快、機動靈活、突防效率高等特點，因此得到了各軍事強國的廣泛關注。彈道優化設計作為高超聲速滑翔飛行器研究的難點與熱點問題之一，吸引了大量國內外學者對此開展研究[1-5]。俯沖攻擊段作為高超聲速滑翔飛行器的最后飛行段[6]，對于飛行器能否精確命中目標至關重要，因此也得到了相應的關注。徐明亮等[7]利用偽譜法對臨近空間飛行器鉸鏈力矩最小的俯沖彈道進行了優化設計，得到近似垂直的攻擊彈道，但未考慮實際飛行過程中的隨機干擾。喬浩等[8]利用高斯偽譜法對高超聲速滑翔飛行器俯沖段翻身下壓問題進行了優化，得到了高安全性的快速下壓軌跡，但同樣未考慮不確定因素影響，設計結果過于理想。

雖然針對俯沖段軌跡優化問題已有大量研究，但是傳統的優化設計方法尚未考慮不確定性因素的影響[7-8]。然而，俯沖段飛行速度大，飛行狀態及環境變化劇烈、復雜，所受氣動力熱環境惡劣，且高超聲速滑翔飛行器的控制能力有限，因此，不能忽視不確定性因素對彈道的影響和制導控制系統的干擾。為保證俯沖攻擊落點精度，提高彈道抗干擾能力，有必要對俯沖攻擊段軌跡進行魯棒優化。

目前，分析不確定性因素對軌跡影響的主要方法有：蒙特卡羅打靶分析法[9]、無跡變換法[10]、混沌多項式法[11-12]以及線性協方差分析法[13-15]等，而針對如何提高彈道抗干擾能力的相關研究較少。文獻[14]將魯棒性指標引入到滑翔炮彈軌跡優化中，得到的計算結果較為理想。因此，本文借鑒其思路，在傳統高超聲速滑翔飛行器彈道優化方法的基礎上，引入魯棒性設計指標,以降低不確定性因素干擾的影響，進而提升彈道抗干擾能力，同時降低制導控制系統負擔。

1 俯沖運動數學模型

1.1 滑翔飛行器俯沖段動力學建模

由于目前高超聲速滑翔飛行器普遍采用腹部防熱設計，考慮到飛行器在俯沖段的熱載荷較大，可在此過程中采用翻身下壓策略[8]。即飛行器采用正攻角翻身飛行，利用有防熱設計的腹部迎接來流，同時也可滿足彈道快速下壓需求。此外，考慮到俯沖段飛行時間較短，因此可忽略地球自轉及扁率影響。因此，俯沖段三自由度質心運動模型可描述為

(1)

式中，h、λ、φ為飛行器位置參數，分別為飛行高度、地心經度、地心緯度；V、θ、σ為飛行器速度參數，分別為飛行速度、速度傾角、速度偏角；m為飛行器質量；α、υ為飛行器控制變量，分別為攻角和傾側角；L、D為飛行器的升、阻力，計算公式如下

(2)

式中，ρ為大氣密度；S為飛行器參考面積；CL、CD為飛行器氣動升、阻力系數。

1.2 不確定性因素建模

在實際飛行過程中，高超聲速滑翔飛行器會受到多種不確定性因素干擾，從而使得實際飛行彈道偏離理論軌跡。結合滑翔俯沖段飛行環境特點和飛行特性，本文考慮的不確定性因素主要有氣動力模型偏差、大氣模型偏差、陣風干擾偏差以及初始點狀態偏差。

1.2.1 氣動力模型偏差

由于地面實驗無法準確模擬實際飛行環境，以及制造加工工藝和飛行加熱燒蝕帶來的誤差，使得彈體氣動力系數存在較大的偏差和不確定性，同時大氣參數偏差也會導致飛行器實際氣動力與理論設計值存在偏差，但氣動力系數隨馬赫數與攻角的變化規律不變，所以實際氣動力系數可表示為

(3)

式中，基準值CD0、CL0為計算或實驗所得飛行器氣動力系數；Ncd、Ncl為相互獨立，且服從標準正態分布的隨機變量；σcd、σcl代表實際氣動力系數偏離基準值的程度，假設偏離值置信度(3σ)為基準值的15%，則有

σcd=σcl=15%/3

(4)

1.2.2 大氣模型偏差

通常彈道仿真計算中應用標準大氣模型，但實際大氣參數與標準參數會存在一定偏差，主要為溫度偏差和大氣密度偏差。由于當地聲速主要由溫度決定，因此溫度偏差會對聲速的計算產生影響，進而影響馬赫數的計算。而氣動力系數通過馬赫數與攻角插值得到，所以溫度偏差帶來的干擾可在氣動力偏差中加以考慮計算，故此處只考慮大氣密度偏差。參考文獻[14]給出了不同海拔下實際大氣密度的標準差與標準大氣密度的比值關系，基于此關系，實際大氣密度可計算如下

(5)

式中，ρ0為標準大氣密度；Nρ為服從標準正態分布的隨機變量。

1.2.3 陣風干擾偏差

在飛行器翻身下壓飛行過程中，陣風干擾會使得質心運動產生隨機擾動，主要體現在對速度大小和方向的影響，因此要考慮陣風對速度參數產生的影響，即有以下關系

(6)

1.2.4 初始點狀態偏差

(7)

2 基于線性協方差分析的誤差傳播建模

(8)

E(w(t)w(t)T)=R(w)

(9)

式中，R(w)為譜密度矩陣，為

(10)

故根據不確定環境下的系統模型，可得狀態量的協方差矩陣為

(11)

(12)

式中，對角線各項為實際狀態偏離基準值的方差。當參考軌跡給定后，協方差矩陣P可通過如下李雅普諾夫方程求解

(13)

式中，A為雅可比矩陣，由于數值求解雅可比矩陣計算量大，為提高計算速度，推導如下解析表達式進行計算

(14)

(15)

3 彈道優化模型

落點散布大小是衡量彈道抗干擾能力的重要指標之一。為增強俯沖彈道對不確定性因素的抗干擾能力，可以將落點散布大小作為代價函數。在滿足過程約束的前提下，當優化得到代價函數的值最小時，即可認為得到的優化彈道抗干擾能力最強，因此構建如下代價函數

(16)

式中，右端第一項代表落點散布，ω為權重系數，其取值可表征軌跡抗干擾能力的大小；第二項保證飛行器實際工作中，控制量相對光滑且不會發生突變。

分析代價函數式可知，ω=0時，即代價函數中不考慮軌跡抗干擾能力，問題將退化為傳統的俯沖攻擊段最優彈道求解問題；ω>0時，則該問題為考慮軌跡抗干擾能力的魯棒軌跡優化問題。

同時，優化過程中應滿足下列約束條件：

(17)

式中，K為常值，其取值與飛行器結構相關。

2)控制約束

(18)

(19)

3)終端約束

(20)

通過以上建模過程，即可將提高彈道抗干擾能力問題轉化為多約束條件下的最優控制問題。目前求解最優控制問題主要有間接法與直接法兩種。前者很難處理復雜約束條件下的最優控制問題，相反地，直接法更適合求解這類問題。在眾多直接法中，高斯偽譜法以較少的參數和較高的精度優勢，已廣泛應用于復雜約束條件下的軌跡優化問題[5,16]。因此，本文選用高斯偽譜法作為求解最優控制問題的方法。

4 算例仿真與分析

表1 初始狀態

表2 陣風干擾高斯白噪聲功率譜密度

為驗證LinCov方法的可行性，取ω=0進行彈道優化仿真，并基于優化結果利用LinCov方法和蒙特卡羅打靶法(Monte Carlo，MC)計算得到終端誤差，如表3所示。可以發現，由LinCov方法得到的落點經度方差與蒙特卡羅打靶法得到的結果相對誤差為1.77%，得到的緯度方差相對誤差為6.99%。圖1分別給出了兩種方法得到的落點分布3σ誤差橢圓，也可以看出兩種方法的落點分布范圍相差不大，驗證了線性協方差分析法估計終端經緯度散布的可行性。

表3 線性協方差分析法與蒙特卡羅打靶法結果對比

圖1 線性協方差方法和蒙特卡羅打靶法落點3σ誤差圓對比Fig.1 Comparison of 3σ position error ellipses between linear covariance analysis and Monte Carlo shooting methods at target without considering the influence of uncertain factor

為驗證魯棒軌跡優化算法的可行性，取ω=0.1和1，結合線性協方差分析法和高斯偽譜法進行彈道優化，所得最優彈道對應的攻角、傾側角控制量曲線分別如圖2、圖3所示。對比控制量曲線可以發現，隨著權重系數的增大，控制量的變化更劇烈，說明為了提高軌跡對不確定性因素的抗干擾能力，需要消耗一定的控制量裕度，且隨著權重系數ω的增大，控制裕度消耗的程度增加。

圖2 攻角隨時間變化曲線Fig.2 Time histories of the attack angle variables

圖3 傾側角隨時間變化曲線Fig.3 Time histories of the tilt angle variables

下面對不同權重下的彈道優化結果進行蒙特卡羅打靶仿真，并統計落點分布情況。表4、表5分別給出了落點分布的均值和方差。當ω=0.1時，落點分布均值與目標值在經度方向偏差為0.009°，緯度方向偏差為0.008°；其落點分布方差與ω=0的結果相比，經度分布方差減小55.12%，緯度分布方差減小52.57%，落點分布范圍明顯減小，表明本文方法可有效地提高彈道抗干擾能力，降低彈道對不確定性因素的敏感度。而對比ω=0.1和ω=1時的落點分布均值和方差可知，后者的數據較前者都有所提升，但差異并不大，說明隨著權重系數ω的進一步增加，落點散布減小但效果有限。因此，在實際應用時，需要設置權重系數ω以權衡控制量裕度與落點密集度之間的關系，在控制允許范圍內可適當增大權重系數ω以盡可能降低落點散布。

表4 不同權重情況下優化結果的蒙特卡羅打靶落點均值對比

表5 不同權重情況下優化結果的蒙特卡羅打靶落點方差對比

為更直觀地表示上述蒙特卡羅打靶落點分布情況，圖4與圖5分別給出了ω=0和ω≠0時的落點分布3σ誤差橢圓及落點散布，與表4、表5中的結果相對應。由圖4、圖5可知，ω≠0時落點分布范圍明顯減小，說明彈道抗干擾能力明顯增加。但隨著權重系數的進一步增加，落點散布橢圓幾乎不變。這是由于打靶過程使用開環控制，沒有加入反饋信號，不確定因素的存在使得落點散布的減小有一個極限。

圖4 不同權重情況下優化結果蒙特卡羅打靶落點3σ誤差圓對比Fig.4 Comparison of 3σ position error ellipses based on optimization results under different weights

(a) ω=0

5 結 論

本文將線性協方差分析方法和高斯偽譜法相結合，建立了一種考慮不確定性因素的彈道魯棒優化模型及算法。對魯棒優化彈道結果進行蒙特卡羅打靶驗證，得到了以下結論：

1)當優化目標中考慮落點精度時，蒙特卡羅打靶的落點分布范圍明顯減小，說明本文優化方法能明顯提高彈道的抗干擾能力；

2)由于打靶過程使用開環控制，沒有加入反饋信號，不確定因素的存在使得誤差減小有一個極限。因此，進一步增加目標函數中的權重系數對于打靶結果改善有限。