基于解析解的小范圍高頻率機動飛行器制導律設計*

彭科科，劉國群

(1.中國兵器工業集團航空彈藥研究院有限公司· 哈爾濱·150000；2.哈爾濱工業大學 航天學院· 哈爾濱·150001)

0 引 言

在現代作戰環境下，巡航類飛行器的狀態通常為等速等高飛行，大概率會受到來自敵方威脅區的攔截器的威脅，因此飛行器需要在特定位置進行小范圍高頻率的機動飛行以提高其生存能力[1]。考慮到巡航類飛行器掠地/海飛行的特點，其在縱向平面內的機動范圍有限，所以將機動方向固定為橫向平面。傳統的制導方法如比例導引，由于其視線角速度的收斂特性，比例導引在制導的過程中視線角速度會逐漸趨于零，這是不利于突防的[2-3]。因此，需要找到一種合適的制導律使得飛行器能夠在小范圍內進行高頻的側向機動。

現有的機動飛行制導律主要集中在彈道打擊末段，其中一種方式為虛擬目標跟蹤法。何磊等[4]根據高超聲速滑翔器螺旋機動突防的概念，設計了一個具有曲線漸伸線性質的虛擬目標，然后令飛行器通過自適應比例導引律對虛擬目標進行跟蹤。該方法能夠使飛行器較好地跟蹤瞬時虛擬目標，從而完成螺旋機動，但是通過其仿真結果可以看出，虛擬目標形成的軌跡尺度較大，機動頻率較低，并不適合小范圍機動飛行器的制導律。

另一種制導律方法是基于滑模變結構理論。段安娜等[5]在考慮終端約束的情況下，推導了基于滑模變結構的螺旋機動制導律，其在切換面引入視線角參考指令和螺旋機動控制項，但是需要對制導律中的參數進行試湊整定，通用性不強。宋貴寶等[6]設計了縱向平面和航向平面內的螺旋機動變結構制導律，其視線角速度均按照正弦規律變化，能夠提高飛行器的突防概率。

黃魯豫等[7]結合虛擬目標和滑模變結構理論兩種方法的思想，基于自抗擾控制及反步滑模控制，提出了一種多約束條件下的導彈螺旋機動制導方法，采用補償器在攻角超出約束范圍時對指令進行修正，以實現對攻角的限制。針對有界不確定性及未知干擾，設計了干擾觀測器對其進行估計與補償，提高了系統的魯棒性。但是其螺旋軌跡過于平滑，仍不適合小頻率范圍內的機動。

傳統的制導律設計方法，例如選擇視線角速度作為制導律狀態量或跟蹤虛擬目標的方式[8-9]，存在參數整定困難、機動頻率較小的問題。為了盡可能提高巡航類飛行器在平飛過程中的側向突防能力，本文基于導彈的動力學，根據期望的飛行軌跡得到了制導律的解析解。該方法形式簡單且有效，無需調參，只要在一定的初始條件下即可實現飛行器能力范圍內最高頻率的正弦機動。

1 飛行器動力學模型建立

將飛行器動力學方程建立在彈道坐標系上，有如下形式

(1)

式中，X、Y、Z分別為飛行器受到的阻力、升力和側向力；m為飛行器的質量；V為飛行器的速度；θ為彈道傾角；ψ為彈道偏角；γV為傾側角；g為重力加速度。

要確定飛行器質心相對于地面坐標系的運動軌跡(彈道)，需要建立飛行器質心相對于地面坐標系運動的運動學方程[10]

(2)

式中，x、y、z分別為發射系下飛行器3個方向的位置坐標。

2 橫向往復高頻機動制導律設計

2.1 正弦機動制導律設計

期望巡航類飛行器能夠在橫向機動范圍進行高頻率的往復機動，令側向位移為正弦形式，即發射系下有

z=Asin(ωt)

(3)

其中，A為機動幅值；ω為機動頻率。

同時根據動力學方程，有

(4)

將式(3)代入式(4)，得到

(5)

又因縱向平面保持不進行機動的等高飛行狀態，故cosθ≈1，對式(5)移項可得

(6)

根據過載表示的動力學方程可知

(7)

其中，nz為飛行器的側向過載。

將式(6)代入式(7)可得

(8)

省略小項后可簡化為

(9)

可見，側向的過載指令也是正弦形式。

2.2 正弦機動制導律初值與最大機動頻率的選定

由2.1節得出，側向過載為正弦形式時，在等高等速環境下也可以得到正弦形式的側向位移。但是從式(7)可以看出，該過程包含積分過程，因此需要設定合適的彈道偏角初值ψ0。

設給定側向過載為nz=A′sin(ωt)，其中A′=-Aω2/g。代入式(6)，對時間積分可得

(10)

積分常數C為

(11)

因此，彈道偏角ψ可以表示為如下形式

(12)

觀察式(6)，在等速飛行(V=const)、等高飛行(cosθ=1)和小機動(sinψ≈ψ)的條件下，若希望側向機動為標準正弦形式，ψ的表達式必須為標準余弦形式，否則在余弦項和常數項的共同影響下，側向位移會以余弦和正比例疊加的形式逐漸偏離，因此彈道偏角初值ψ0需要滿足

(13)

即

(14)

將A′的表達式代入式(14)，得到

(15)

只要給到確定的初始條件ψ0和式(9)形式的側向過載nz，即可得到z=Asin(ωt)形式的側向位移。

因機動飛行器主要考慮的是側向平面的機動飛行，對縱向平面要求等高飛行即可，所以縱向制導律可以設計為關于高度的簡單比例-微分反饋形式。綜上所述，在等高飛行的情況下，為了得到z=Asin(ωt)形式的側向位移，參考式(9)形式，設計制導律如下

(16)

其中,ny為縱向過載指令，nz為側向過載指令；KP、KD分別為比例系數和微分系數；yref為期望高度與實際高度之差；vy_ref為y向期望速度與實際y向速度之差。只需要確保機動時刻t0的彈道偏角初值ψ0=-Aω/Vcosθ即可。

同時由式(16)的第2式可知，最大需用過載是由機動幅值A和機動頻率ω共同決定的，在給定機動幅值A和飛行器最大可用過載的情況下，最大機動頻率為

(17)

3 仿真試驗及結果分析

3.1 仿真結果

對2組典型工況進行仿真和分析：

工況1中，設定速度V=1000m/s，飛行高度y=10000m，側向過載限幅20g，機動幅值A=100m，開始機動時間為10s，機動結束時間為60s。根據式(17)計算得到的機動頻率為1.4rad/s。

仿真結果如圖1～圖6所示。

圖1 飛行三維圖Fig.1 Three-dimensional flight graph

圖2 z坐標隨時間變化曲線Fig.2 Time histories of the z-position

圖4 z方向速度隨時間變化曲線Fig.4 Time histories of the z-velocity

圖5 攻角和側滑角隨時間變化曲線Fig.5 Time histories of the AOA and beta angle

圖6 過載隨時間變化曲線Fig.6 Time histories of the normal load

工況2中，設定速度V=200m/s，飛行高度y=3000m，側向過載限幅30g，機動幅值A=100m，開始機動時間為10s，機動結束時間為60s。根據式(17)計算得到的機動頻率為2.2133rad/s。

仿真結果如圖7～圖12所示。

采用基礎粒子群優化(Particle Swarm Optimization，PSO)算法對最大機動頻率進行優化計算[11]，設PSO基本參數如下：

圖7 飛行三維圖Fig.7 Three-dimensional flight graph

圖8 z坐標隨時間變化曲線Fig.8 Time histories of the z-position

圖9 偏航角隨時間變化曲線Fig.9 Time histories of the yaw angle

圖10 z方向速度隨時間變化曲線Fig.10 Time histories of the z-velocity

圖11 攻角和側滑角隨時間變化曲線Fig.11 Time histories of the AOA and beta angle

圖12 過載隨時間變化曲線Fig.12 Time histories of the normal load

種群個體數量N=20，最大迭代次數30次，慣性權重w=0.7，自我學習因子C1=0.5，群體學習因子C2=0.5。優化變量為機動頻率，優化指標為機動頻率最大，約束條件為機動過載小于可用過載[12]。

仿真初始條件：飛行器初始狀態為(0,10000,0,1000,0,0)(6個狀態量分別為發射系下x、y、z、V、θ、ψ)。

設最大可用過載為20g，橫向機動幅值為50m，對最優頻率進行優化，并與解析解對比，得到如圖13～圖16所示結果。

圖13 PSO過程中適應度隨迭代次數的變化曲線Fig.13 The change curve of fitness with the number of iterations in PSO process

圖14 PSO過程中最優頻率隨迭代次數的變化曲線Fig.14 The change curve of optimal frequency with the number of iterations in PSO process

圖15 解析最優頻率得到的過載變化曲線Fig.15 Time histories of normal load based on analytical optimal frequency

圖16 PSO最優頻率得到的過載變化曲線Fig.16 Time histories of normal load based on optimal frequency in PSO

3.2 結果分析

圖1～圖6仿真結果顯示，本文設計的機動制導律可以較好地完成側向機動。從圖1、圖2和圖6可以看出，機動飛行器在制導律的作用下實現了側向機動，機動幅值滿足工況中的要求，同時需用過載充分利用了可用過載空間，在滿足機動幅值的情況下實現了飛行器能力范圍內最大頻率的機動。從圖3也可以看出，在等速等高和機動時刻的偏航角初值符合要求的情況下，偏航角也是標準的正弦形式。

圖7～圖12仿真結果體現的是速度較小情況下制導律的實現情況。從圖8可以看出，機動飛行器的側向機動幅值并沒有達到要求的100m，這是因為在推導解析表達式的過程中，式(8)分母中根號項被置成了1，但是在速度較小的情況下，根號項會略小于1。省略導致式(16)第2式中正弦幅值項分母偏大，使得式(17)中的分子項偏大，得到了偏大的機動頻率，最終制導指令在一個周期內不足以激勵飛行器達到最大機動幅值。對比表1中的結果可以發現，在速度較大的情況下，解析表達式中的省略項可忽略不計，因此側向機動幅值較為準確；在工況2中的200m/s的小速度下，幅值誤差會增加至10%左右。

通過圖13～圖16中PSO的仿真結果可以驗證，解析算法能夠精確得出最大機動頻率，而PSO計算得出的最大機動頻率精度也能很好地滿足要求，誤差率在5%以內。

4 結 論

本文研究了基于解析解的小范圍高頻率飛行器制導律，實現了平飛過程中飛行器小范圍的側向機動，仿真結果表明，所提出的制導律能夠充分利用飛行器可用過載進行最高頻率的機動，制導精度較高。但是本文在解析解求取過程中,認為幅值乘以頻率相對于速度是一個小量，在速度較小和幅值較大時,飛行器的實際機動幅值會略小于期望幅值，因此后續將考慮對解析過載指令進行一定的速度補償,以充分發揮飛行器的機動能力。