Ti圖形計算器支持下的高中數學深度學習實踐

周大勇

（江蘇省前黃高級中學 江蘇 常州 213161）

傳統的高中數學教育模式是教師在前面講授定義、公式和解題方法,學生在下面聽,記住老師所講的基本解題技巧,背熟公式，進行大量練習。而Ti圖形計算器的使用可有效改變這一陳舊模式。Ti圖形計算器是一款既有計算功能又能繪圖功能甚至可以編程的計算器。Ti圖形計算器以其獨特的強大功能和小巧便攜,操作簡單的特點,成為現代數,理,化等學科教育教學中的一種先進的輔助工具,被人們廣泛稱為“掌上數學”,是當今個人電腦所無法替代的。教師利用Ti圖形計算器探究復雜的高中數學問題，有助于教學化繁為簡、化難為易。學生也可利用這一技術自主研討數學問題。在學習過程中，學生利用Ti圖形計算器觀察給定的數學事實，方便學生分析和深入研究，總結深層次的數學規律，而且學生也能把理解的數學規律、概念記得更牢。學生利用Ti圖形計算器探究復雜的數學公式、概念等，能獲得更為嚴謹解釋或者是證明過程，這有利于高中生形成嚴謹的科學研究意識。

1.Ti圖形計算器學習價值分析

1.1 直觀形象呈現知識形成過程

高中數學知識晦澀難懂，形成過程也非常抽象復雜。僅憑教師的語言描述和文字講解難以保證學生能真正理解。此時可使用Ti圖形計算器來呈現知識形成的完整過程，進而促進高中生形成數學知識的直覺想象。Ti圖形計算器能描述幾何圖形的變化過程。而且還能演示三維立體圖形，在向學生展示知識形成過程時，有動態化、直觀化和形象化的特征。提高學生使用圖表研究數學問題的意識，能有效培養高中生對數學知識的直觀想象力，促進高中生在研究數學問題時能逐漸增加深度，拓展廣度。

1.2 促進教師積極更新教學理念

教師利用Ti圖形計算器展開教學活動，方便開展多種新的嘗試，積極更新教學觀念的同時，也將獲得新型教學觀念付諸于實踐。促進教師教學行為的變化，更好體現課堂教學藝術，在此條件下，高中數學的課堂教學水平也自然會有所提升。將Ti圖形計算器運用其中，學生讀死書的問題也能得到改善。課堂學習期間、課后自學期間，學生都樂于邊操作邊開動腦筋，這與學生本身好奇好動特征相適應。有了Ti圖形計算器學生在學習數學知識時興趣盎然，也真正讓抽象的數學知識活起來，Ti圖形計算器為高中生探究數學知識提供了一個好的平臺，促進教師開展的教學活動良好適應學生認知特征。

1.3 有助于培養學生的建模能力

利用Ti圖形計算器能在講解高中數學知識時，建立科學有效的數學問題情境，促進高中生形成數學建模意識。實踐中不難發現面向特定的數學問題，進行數學建模，能大大增強數學問題的鮮活性。高中生實際利用數學模型解決實際問題，常常依賴于公式，容易陷入到機械的計算活動中。此時，高中生學習數學知識的樂趣會大大降低。利用Ti圖形計算器完成數學建模的過程，有助于學生將更多的精力投入到探究和分析的學習活動中。在這樣的學習過程中，學生更容易洞悉數學問題的本質，也讓高中生能夠真正體會到學習數學的樂趣。將Ti圖形計算器應用在高中數學教學活動中，真正實現了信息技術與課程教學的深度融合，使得高中生的學習有效性大大提高，能參與更多探究性、實踐性的學習過程，深度學習有助于學生形成良好的探究能力，促進高中生積極發現問題，并在短時間內順利解決。學生利用Ti圖形計算器能順利進行常規作圖，不僅如此學生的計算速度也大大提高。另外在Ti圖形計算器的輔助作用下，學生提出的問題更多更有價值。在解決這些問題的過程中，學生相互之間的交流次數也明顯增加。Ti圖形計算器具備無線導航功能，教師利用這一功能可實時了解到班級里任何一名同學的學習動態，此時教師給予學生有針對性的幫助也非常方便。

2.基于Ti圖形計算器促進數學深度學習的實踐策略

2.1 重視課前預習自測

利用于Ti圖形計算器促進數學深度學習要積極將提出的教學理論應用于實踐。高中數學中的圓錐曲線直線存在性問題一直都是教學重點，有很大一部分學生在遇到這一類問題時萬分苦惱、望洋興嘆，在教學實踐中可嘗試利用于Ti圖形計算器來幫助學生分析、研究和理解類似的問題，使得高中生能夠借助這一有效的探索發現、獲得知識的平臺克服學習上的困難。上課前，教師安排學生預習自測，為新課教學做好鋪墊。教學時教師加強對學生的引導，使得學生對問題的思考能朝著正確的方向發展，將思路集中到圓錐曲線存在的直線問題上。數學教師在不同的環節設置相應的問題，在預習自測環節中，為學生準備了兩個數學題目，一個是求弦所在的方程，另一個是公共點的取值范圍問題。在預習自測的學習環節中，教師要利用Ti圖形計算器實現對學生學習過程的有效引導，為學生接下來類比圓錐曲線性質做好鋪墊。有了課前的預習自測，學生在課堂上更有可能順暢的說出題目的解題思路和過程。解決相應的問題需采用點差法、韋達定理，教師通過學生對問題的解答情況，就能了解學生對相應基本解題技巧的掌握情況。

2.2 啟動情境設置疑問

2.2.1 概念情境

學生建立和掌握概念的前提條件是對概念有良好的理解，概念的生成過程自然而又流暢對學生理解有益。利用Ti圖形計算器為學生建立較為完整的概念學習過程，先是從具體到抽象，然后是從抽象到具體，最后是從孤立到系統。經歷了這樣的過程，學生對概念的掌握才更加牢固。在實際的教學活動中，教師注重概念教學情境的建設，重視與現實生活的聯系，讓數學知識與學生的實際生活距離更近，此時學生就會感到自己對數學知識是比較熟悉的。學生學習數學概念，最終獲取是關鍵，學習和理解的過程也同樣重要。也就是說教師要把概念形成的過程以及概念提供的解題方法教授給學生。在學生的頭腦中建構概念，要保證利用Ti圖形計算器設計出有梯度的教學情境，逐漸提高問題的難度，讓學生能夠產生探究問題的欲望，學生逐一解決概念性問題后，能產生成就感。教師創建合理的概念情境，讓學生產生交流溝通的欲望，學生回答教師提出的問題，逐漸找到解決問題的最佳途徑。教學完成后，教師引導學生回顧概念建立的整個過程，幫助學生總結關鍵內容，將概念牢牢記住。

2.2.2 問題情境

高中數學課堂上，教師要善于激發學生深入探究數學知識的欲望，需科學創設問題情境，將需要探究的數學問題作為主要依據。教師創建了合適的問題情境后，學生通過調動已經掌握的數學知識，能發現問題，并在頭腦中產生一些與問題有關的數學線索。教師所設置的問題，最好是學生最近發展區的進階部分，是高中生深度探究后能解決并且學到新知識的問題。教師要積極創設容易引發學生思想沖突的情境，學生需要借助Ti圖形計算器來解決教師提出的問題。

例如在教學函數模型應用知識時，教師在問題情境的創設上不僅注重激發學生探究欲望，而且重視將數學知識的魅力展示給學生。向學生發送了城市的GDP資料，學生在計算器終端就能接收到，要探究的問題是當地經濟發展狀況的數學反映。圖表顯示了某城市近十年來的經濟總量變化情況，符合新中國成立后的經濟變化形勢，學生在探究的過程中，能夠感受到該城市的綜合經濟競爭力。教師利用Ti圖形計算器創設的問題情境，成功建立了數學與學生實際生活的聯系，也是高中生熟悉且比較關注的內容，有助于消除同學們對知識的陌生感。為促進進一步深入探究，教師可將2021年還沒有公布的數據作為問題的線索，讓學生依據已經獲得的條件和掌握的數學計算方法來估計2021年的GDP數值。在通過這樣的探究活動，使得同學們能夠發覺GDP數值與年份之間存在著的函數關系。

2.3 教師演示學生實踐

2.3.1 引導學生參與實踐

在探索數學知識的過程中，學生需積極使用Ti圖形計算器這一工具，進入到深度學習狀態中。Ti圖形計算器能夠有效把抽象的知識以形象的方式展示出來，學生可借助Ti圖形計算器的圖像功能，推導并看到題目所要求的直線。

比如在教學圓錐曲線直線存在性問題時，教師通過Ti圖形計算器的無線系統功能向學生發送圓錐曲線直線存在性問題的題目，題目中給出了直線和橢圓的方程式，要求的是直線與橢圓的公共點。學生讀懂題目后，就會想到常規的解題思路，實踐操作一番后學生發現解決這一問題使用常規的解題思路費時費力，整個解題過程也越來越抽象，越來越困難。在這個過程中，學生并沒有良好掌握圓錐曲線直線存在性問題的重要知識點，在做題過程中學生也發現自己已經遺忘了計算兩平行線距離的公式。在同學們一籌莫展之際，教師做出科學的引導，用Ti圖形計算器直觀呈現解題的思路和過程，這也是本節課教學的重點內容，直觀詳細的呈現探究過程。在教師的演示下，學生也嘗試用Ti圖形計算器進行解題，通過實際動手操作，確定了曲線與直線兩者的公共點個數。

學生通過這節課的學習，能更好的了解圓錐曲線中直線存在問題，同時也學會了用Ti圖形計算器來還原整個解題過程。有的學生在課堂上一步一步跟著教師演示，沒有絲毫的懈怠，而有的學生由于能力有限，跟不上老師的演示過程，沒有良好掌握圓錐曲線與直線共同點存在性問題的解題步驟。所以就需要教師帶領學生做進一步的鞏固練習，設置變式練習題目，并將全班學生分成若干個小組，學生在小組中積極討論交流，進而真正掌握利用Ti圖形計算器求解公共點的完整步驟。學生邊操作邊在草紙上落實規范的步驟和得到的結論，在這個過程中，學生的科學思維品質得到有效鍛煉。

2.3.2 注重知識歸納總結

在高中數學的探究性學習活動中，歸納總結是關鍵內容，也是學生一節課學習的結果。此外，教師還應重視對學生反思習慣的有效培養，使用Ti圖形計算器解決相應的問題，完成這一過程后，教師引導學生總結歸納，并反思質疑。在歸納和總結的過程中，要從知識和方法兩方面入手，從而將課程所學內容有效歸納出來。具體實踐中，教師需通過設置合理的問題來引導學生歸納和總結。比如在教學圓錐曲線上直線存在性問題時，教師在歸納總結環節設計了三個問題：（1）探究知識過程中，你從Ti圖形計算器的演示過程中受到了什么啟發。（2）說出你學到的數學知識點和解決問題的方法，說出知識與方法之間的聯系與區別。（3）利用Ti圖形計算器探究圓錐曲線直線存在性問題的一般步驟是什么？

2.4 生動展示圖像變化

比如在教學三角函數誘導公式的推導時，教師將全班學生分成四人一個小組，課堂上，教師為學生演示操作，并要求學生跟著教師一起做。教師完成演示后，會在教室內巡視，查看學生的實際動手情況。學生實踐過程中，難免遇到各種各樣的問題，組間同學對遇到的問題進行深入的討論交流，并在學生實際使用Ti 圖形計算器過程中，教師全程為學生提供科學的指導。教學這一節的內容要分三部分完成，學生拖動 P點，圖像發生相應的變化，此時教師引導學生觀察并尋找角的終邊與單位圓交點的坐標之間的關系，通過觀察這一內容，促進學生有效探求三角函數之間的關系，找到探索三角函數誘導公式的關鍵線索。完成探究后，教師向學生總結結論，并搶到得到結論適用于任意角。

在第一部分的探究活動中，學生在教師的引導下探究有關于α的三個問題（α為任意角）：（1）說出α與-α終邊的位置關系。α與-α的終邊與單位圓交點的關系。（2）交點坐標相互之間有什么聯系。（3）用等式表示α三角函數值。

在第二部分的探究活動中，思考的主要內容是三角函數圖象的變換規律，這也是三角函數的教學難點。如果不使用Ti圖形計算器，學生難以有機會實際進行有關圖形變換規律的操作。也意味著學生不能很好了解三角函數圖像的變換規律。在有了Ti圖形計算器之后，教師能在課堂上演示變換的過程，幫助學生理解這一重要的規律，也能更好理解三角函數圖像變換知識的本質。從學生的做題實際情況來看，學生對三角函數圖像規律不能很好理解，解題時經常出錯，這是因為學生遺忘了三角函數變換規律，或者是混淆了三角函數圖像變換規律。教師利用Ti圖形計算器教學，探究問題經過了觀察、猜想、驗證的過程，學生使用Ti圖形計算器將函數解析式輸入其中，主要是操作其中的游標卡尺功能。三角函數解析式是y=sin（x+φ），要求學生思考φ對該解析式圖像的影響。Ti圖形計算器成功顯示圖像的變化過程。

在第三部分的教學活動中，教師給出的函數解析式是y=sin（ωx），利用Ti圖形計算器生動形象的展示ω對函數圖象的影響。并要求學生畫出分別畫出ω=0.5、1、2的圖像。要求學生設計探究方案、記錄實驗數據的表格，為后續的實驗分析提供可靠依據。學生設計了不同的實驗記錄表格，最終經過教師的簡化，呈現出科學且實用的表格，表格中能記錄游標卡尺ω的數據，同時也詳細展示圖像特點。

在上述教學活動中，Ti圖形計算器發揮了關鍵作用，能有效促進學生在課堂探究活動中自主學習，順利完成實驗，得到有價值的實驗數據。如果沒有Ti圖形計算器，學生就只能借助“五點法”畫出函數圖像，得到的有效數據也不多。使用Ti圖形計算器這些問題就都得到了解決，呈現圖像的速度更快，質量也更高。促進學生深度思考，對一般情況與特殊情況有深度的理解。

總之，Ti圖形計算器有很高的教學價值，能幫助教師將數學知識直觀形象的呈現給學生，證明知識的過程更加流暢具體，有助于促進高中生想象思維的發展，也有助于培養學生的建模能力。使用Ti圖形計算器促進學生深度學習數學知識，在實踐中教師應重視學生的課前預習自測情況，課堂教學環節中，創設科學合理的情境，設置有引導作用的問題，教師為學生演示數學問題的探究過程，學生也積極跟隨教師動手實踐，課堂教學結束后注重知識歸納總結。教師利用Ti圖形計算器生動展示圖像變化，使得高中生對數學知識產生深層次的理解。