淺談思維導圖在高三數學復習中的應用

周祝光，張揚

摘要：完整的高三復習共有三輪，其中一輪復習耗時最長，也是公認的最為重要的復習階段.可以說，一輪復習的效果決定了高考的成敗.在信息化、智能化的時代背景下，思維導圖能有效地幫助學生提高高三復習效率.思維導圖在高三數學復習中的應用具體可分為以相關知識為線索制作思維導圖和以解題程序為線索制作思維導圖兩類.

關鍵詞：思維導圖;高三數學;復習課

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）03-0053-03

完整的高三復習共有三輪，其中一輪復習耗時最長，也是公認的最為重要的復習階段.可以說，一輪復習的效果決定了高考的成敗.如何更好的進行一輪復習是每個數學教師首要思考的問題.

思維導圖概念的初次誕生是源于20世紀70年代的一本書籍《啟動大腦》，是作者托尼巴贊首次提出的一種創新學習方法.它以符號、圖象、文字、顏色為媒介，以某一個關鍵詞或者中心內容為起點，進行層級化和分支化，從而形成一張清晰的，完整的，具備邏輯結構的知識結構圖.思維導圖在使用的過程中很好的平衡、協調了左右腦的使用，并以建構主義學習理論為依托，不斷對關鍵詞或者中心內容進行擴散與延展，充分激發使用者的思維活動，創造的層級關系有效地將新舊知識整合成一個系統，激發人們的創新思維.

本文中所提到的思維導圖與上述概念既有重合，但也有一些區別，主要是指應用于高三一輪復習的一種思維工具，具體可分為兩種.一種是通過網狀結構將學生學習過的基礎概念納入學生原有的知識體系中;另一種是通過樹狀圖的結構對學生解題能力進行指導.簡單來說，就是一方面利用圖象、語言、符號的交織幫助學生厘清知識間的聯系，整合成完整知識系統便于記憶;另一方面幫助學生在學習過程中將不可視的解題方法、路徑、數學思想通過圖示呈現出來便于理解.本文主要以一節高三微專題為例，展示思維導圖在高三一輪復習當中的應用.

1 課堂實錄

【教學環節1】

【問題】已知函數f（x）=exsinx-x，求函數在區間〖的最值.

生1：因為無法通過常用結論判斷函數f（x）=exsinx-x的單調性，所以對函數求導.

師：思路正確，但沒有繼續完成，碰到了什么困難？

生1：是的，求解出導數f ′（x）=exsinx+cosx-1，但不知道怎么判斷導數值的正負，所以確定不了原函數的單調性和最值.

師：我們學過可以采用什么辦法來確定它的正負嗎？

生2：可以把f ′（x）=exsinx+cosx-1作為一個新的函數，轉化為求方程2sinx+π4=1ex的根，通過觀察兩函數圖象交點為0，1，判斷在〖上f ′（x）≥0，所以f（x）在〖上單調遞增.所以f（x）min=f（0）=0，∴f（x）max=f（π2）=eπ2-π2.

師：非常好，將函數的零點問題轉化為圖像的交點問題，靈活的應用轉化與化歸，數形結合的數學思想.

追問：那碰到不能通過圖象直觀判斷的怎么辦？

生3：生2 把f ′（x）看作為一個新的函數給了我啟發，如果把它看做是一個新的函數，那么我們再次對它求導，得到導函數的導函數然后再進行分析.

師：非常好，把你的思路付諸于現實.

生3：f ″（x）=2excosx在〖上恒正，所以f ′（x）在〖上單調遞增，而f ′（x）min=f ′（0）=0，所以f ′（x）min≥0.f（x）在〖單調遞增.

變式：求問題中的函數在〖的最值.

生4：∵f ″（x）=2excosx在〖上非負，∴f ′（x）=exsinx+cosx-1在〖上單調遞增.而f ′（0）=0，所以在〖上f ′（x）

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0，在〖上f ′（x）≥0，所以原函數f（x）在〖上單調遞減，在〖上單調遞增.所以f（x）min=f（0）=0，f（x）max=max{f（-π2），f（π2）}，又∵f（π2）-f（-π2）=（eπ2-π2）-（-e-π2+π2）=eπ2+e-π2-π>eπ2-π>0，∴f（π2）>f（-π2）.∴f（x）max=f（π2）=eπ2-π2.

【歸納總結】

【教學環節2】

【問題】已知函數f（x）=ex-ax2-2x.當a<e2-1時，證明：不等式f（x）>e2-1在（0，+

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）上恒成立.

生5：根據對剛剛問題的反思，一階導f ′（x）=ex-2ax-2無法直接判斷正負，故求二階導f ″（x）=ex-2a，∵a<e2-1，x∈（0，+

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），f ″（x）>f ″（0）=1-2a>3-e>0.所以f ′（x）在（0，+

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）上單調遞增.

師：很好，那為什么沒有繼續下去，這次的困難是什么？

生5：雖然能判斷出一階導單調遞增，但因為它的最小值小于0，說明一定存在零點，但無法求出一階導的零點，所以不能判斷原函數的增減性.也試圖畫出函數圖象，可是也無法找到準確的交點.

師：關于函數的零點問題，除了圖像我們還學過什么方法確定零點區間呢？

生6：零點存在性定理.∵f ′（0）=-1<0，f ′（1）=e-2a-2>0，所以存在x0∈（0，1）使得f ′（x0）=0.所以在（0，x0）上f ′（x）<0，在（x0，+

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）上f ′（x）>0.

f（x）min=f（x0）=ex0-ax20-2x0.

師：很好，由零點存在性定理得到原函數的最小值，進而只需說明最小值大于e2-1.我們還可以利用哪些方法來將函數的最小值轉化為我們可以求解的函數呢？

生6：f ′（x0）=0不僅是結論，更是條件，即ex0-2ax0-2=0.所以

f（x0）=ex0-ax20-2x0=ex0-x0（ax0+2）=ex0-x0（ex02+1）=ex0（1-x02）-x0>e1（1-12）-1=e2-1

【歸納總結】

【教學環節3】完善導圖，自擬問題

師：通過對本節課的學習，你能否總結出求解一階導不可判斷正負的導數題目的一般策略和操作的具體步驟，請將本節課內容制成完整的思維導圖.

師：請寫出你自己設計的一個問題，并解決.

2 幾點反思

2.1 以相關知識為線索制作思維導圖

2.1.1 以基礎概念為線索制作思維導圖

基礎概念是學好數學的關鍵，將基礎概念網格化，是對基礎概念之間的關系進行有效的梳理和總結，既能從宏觀上把握整體知識的內涵與本質，也能從微觀上對知識細節處做好強調.制作基礎知識的思維導圖大體可以從兩個角度進行：第一，整理基礎知識的概念、性質、定理等;第二，如何與其他知識進行交匯考察，與不同的知識結合考察的側重點等.

2.1.2 以數學思想方法為線索制作思維導圖

數學思想方法是解決數學問題的“法寶”，是從基礎知識、方法中抽象出對知識本質的認識.構建恰當的思維導圖可以幫助學生把高中不同教材、章節中使用的數學思想方法的碎片有效的整合起來，幫助學生擁有數學能力，形成數學意識，感知數學思想方法.比如有關數形結合思想的思維導圖，如圖4.

2.2 以解題程序為線索制作思維導圖

2.2.1 以多題一解為線索制作思維導圖

在面對由主干知識所形成的數學問題中，擁有多題一解的意識是至關重要的.尤其是高三一輪復習中，教師會大量的使用“微專題”的形式解決一些“特定”問題，此時學生可以從使用了哪些數學概念，變換是否等價，如何準確尋找破題點，能否總結出解決此類問題的一般步驟等方面制作思維導圖.

2.2.2 以一題多解為線索制作思維導圖

一題多解中構建思維導圖可以幫助學生較快對多種方法有更全面的認識.比如，通過對不同方法的整理歸納， 總結通性通法、不同方法間的關聯性與限制性，進而找到適合自己的方法.

參考文獻：

[1]邵明，楊玉敏.思維導圖在初中數學復習課教學中的應用.鞍山師范學院學報，2020（4）：24-29.

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