層層遞進抓本質多法歸一促提升

黃浩

摘要：從多面體的結構特征出發，以找多面體的外接球球心位置為教學核心，通過補形構造法、方程思想求解法，以及找兩個相交平面多邊形的外心，然后過外心作兩個平面的垂線找交點定位球心的方法。通過層層遞進，直達問題本質;通過多法歸一，培養學生的聚合思維，實現解題能力的提升。

關鍵詞：多面體的外接球聚合思維

一、問題提出

若一個多面體的所有頂點均在一個球面上，則稱此球為該多面體的外接球。多面體的外接球是高考常考知識點，也是高考的熱點與難點問題，主要考查學生的空間想象力、邏輯推理能力、運算求解能力。通常試題綜合性強，思維難度大，學生得分率低。

如何打破學生的思維障礙，讓學生在解題過程中有法可依、有規可循，在教學中通過操作實踐和問題解決，讓學生發現規律，感悟數學思想方法，形成思維品質，發展創新精神？筆者曾在高三一輪復習時上了一節本課時的校際研討課，現將教學設計思路及反思整理如下。

二、案例剖析

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：“建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。”解決多面體外接球問題，實際就是確定球心位置和計算球半徑大小。

（一）突出模型意識，實現轉化化歸

自主練習：一個棱長為2的正方體外接球表面積為。

本題從學生熟悉的正方體模型入手，切入本節課的課題，讓學生快速進入學習狀態。高三的一輪復習課從簡單的自主練習入手，通過問題激發學生的回憶與聯想，自主檢索知識，提取知識，其往往會比單純的概念提問式的復習更有效、印象更深刻。

在學生給出自主練習答案后，追問學生：正方體一定有外接球嗎？若有，球心在什么位置？長方體的外接球球心呢？

通過追問，引發學生理性思考。研究多面體外接球，本質上是找多面體的外接球球心，即研究空間一點到多面體各頂點的距離相等。通過明晰概念內涵，為后續問題做鋪墊。正如畢達哥拉斯所說：“在數學的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么。”其實長方體、正方體和球都是中心對稱圖形，長方體、正方體的對稱中心就是其對角線的交點，也是其外接球的球心。

例1：邊長為2的正方形ABCD，E、F分別為邊AB、BC的中點，現將△ADE、△BEF、△CDF分別沿著DE、EF、FD折疊，使頂點A、B、C重合于P點，求三棱錐PDEF的外接球半徑。

通過自主練習，學生雖然有了解決正方體外接球球心的經歷，但解決多面體外接球問題的能力并未得到實質性提升。

本例設計從正方體模型到三棱錐，問題情境上有變化，思維上有跨度，如何處理好這個跨度，教學中關鍵在于引導學生思考折疊后三棱錐的空間幾何特征，發現該三棱錐與長方體之間的聯系。如何將不會的問題轉化為熟知的問題來進行解決？前面自主練習的解決能否給我們提供思路和方法，能否將該問題轉化為長方體問題來解決？通過一系列的追問，學生自然聯想到折疊后的幾何體是由長方體截得的，從而想到通過補形構造長方體來解決，進而實現思維的進階。

教師追問：什么樣的多面體才能借助補形構造正方體（長方體）來求外接球呢？你能舉出一些圖例嗎？

通過追問來引發學生思考補形構造法的適用范圍，讓學生對此類問題由感性認識上升到理性思考;通過自主探索和體驗，學生能提高模型意識，為以后解決此類相關問題積累經驗，能創造性地構造幾何體。更重要的是通過課堂互動，學生積極參與課堂思考，提升了課堂復習效率。

變式1：一個棱長為2的正四面體的外接球半徑為。

在對例1的學習與歸納后，通過變式1來檢驗學生的學習效果。預設變式1時考慮到學生受例1的思維的約束，容易在正方體（長方體）中找一些有明顯垂直關系的幾何體，而變式1就是要打破學生的思維定式，拓展學生的思維視野，引導學生在研究多面體外接球問題時要關注幾何體結構本身，而不是套用固定的方法。

問題解決后，教師追問：正四面體的外接球球心在哪？同學們還有其他方法來解決此問題嗎？

通過追問，引發學生新的思考，來培養學生的發散思維。課堂上教師是主導，而學生才是學習的主體，教師的任務是設計合理的問題，引導學生獨立解決問題，而不是直接由教師拋出方法，把復習課變成教師的解題秀。教師的追問，起到承上啟下的作用，引出解決外接球問題的第二類方法，即方程思想求解法。

（二）注重結構分析，發現數量關系，凸顯方程思想

愛因斯坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決一個問題也許只是一個數學上或實驗上的技巧問題。而提出新的問題、新的可能性，從新的角度看舊問題，卻需要創造性的想象力，標志著科學的真正的進步。”

層層遞進抓本質多法歸一促提升2022年1月中第2期（總第102期）例2：四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，頂點P在底面的射影為底面中心，其中AB=2，PA=6，求四棱錐的外接球半徑。

從變式1到例2，從三棱錐到四棱錐，從可構造長方體到不可構造，幾何體結構有變化，也有共同點，引導學生關注問題中的變與不變，利用數學思維順向正遷移來解決此題。引導學生歸納總結，當多面體的底面為特殊多邊形時，可找出其外心，并作出底面的垂線，利用方程思想來求解問題。

如本例中，AB=2，PA=6，可計算PO′=2，設BO=PO=R，利用勾股定理BO2=（BO′）2+（OO′）2，即可解得R=32。

一輪復習的課堂切忌就題講題，要一例一反思，一例一總結，精心選例，環環相扣，漸次提升。

教師追問：若頂點P在底面的投影不在底面中心，又當如何來求外接球半徑呢？

變式2：四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB為等邊三角形，其中AB=2，求四棱錐PABCD的外接球半徑。

在學生的最近發展區設置問題，利于學生思維的正向遷移。本例的難點在設出OO1=h后如何表示OP的長，教學中通過追問如何表示OP的長來化解難點，接下來引導學生通過代數法（建空間坐標系）或幾何法（勾股定理）列方程OP=OD來解出OO1，即R=12+（3-h）2=（2）2+h2，進而求出半徑R=213。

教師提問：同學們對例2及變式2中所采用的求解外接球半徑的方法有怎樣的認識？引導學生及時反思與歸納。同時追問學生本題還有沒有其他方法，引發學生思考，培養學生的發散思維。

數學課堂是師生互動的課堂，教師設置的問題要發揮學生的主體作用，促進學生數學核心素養的發展。尤其是高三的復習課堂，切忌教師一言堂，只講不思，只講不練。

本例中，學生容易想到球心O在四邊形ABCD外心的垂線上，課堂教學中要引導學生回到外接球球心概念的本質上來，即空間一點O到多面體各頂點的距離都相等，球心O自然也在其他平面多邊形過外心的垂線上，兩條高的交點即為球心位置。數學中很多問題的解決都要回歸到概念本身，學生理解了概念本身，應用能力自然就隨之提高。

變式3：四棱錐PABCD中，底面ABCD為長方形，二面角PABC為120°，△PAB為等邊三角形，其中AB=23，BC=2，求四棱錐PABCD的外接球半徑。

變式3使問題更具有一般性，對學生的空間想象力、運算求解能力要求更高。一方面能夠檢驗學生對前面所學方法的掌握情況，加深學生對求多面體外接球方法的理解;另一方面也能檢驗教師的教學成果，及時了解學情，優化課堂教學設計。

本例中分別過兩個平面多邊形的外心O1、O2作各自平面的垂線交于一點O，即為球心，又O1E=O2E=1，∠OEO1=60°，即可算出OO1=3，進而求出R=7。

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾認為，數學學習的唯一正確方法是讓學生進行“再創造”，就是說，由學生本人把學習的東西實現或創造出來，教師的任務是為學生的發展創造條件、引導探索。從教育心理角度講，所有的新知識，只有通過學生自身“再創造”，使其納入自己的認知結構中，才能成為有效的知識。

本例處理結束后，進行課堂小結，引導學生對本節課所學內容及時進行反思、總結、提升，并布置相關課后練習。

三、教學反思

本節課后，校際的同事、特級教師、市教研員分別對本節課作出了點評，結合自己的思考，筆者就如何上好高三一輪復習課做了如下總結，以供參考。

（一）一輪復習要緊扣考綱，有的放矢，發展學生核心素養

課標要求高中數學應以發展學生核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質。本節一輪復習課正是基于此進行設計，筆者在備課時，查閱了近五年的全國卷真題以及近三年合肥市的模考題，把握多面體外接球試題的難度、考查方向，以及對學生數學核心素養的要求。總之，只有知己知彼，方能高效備考。

（二）一輪復習課要層層遞進，化解難點，夯實重點

高效的一輪復習課要選取典型例題與變式練習，精心設計好問題鏈，層層遞進，拾級而上，化解難點。但在設計問題鏈時，切忌束縛學生思維，應給學生思維空間。解題方法要注重通性通法，利于學生正向遷移;既注重一題多解，培養學生發散思維，更注重多題一法，培養學生的聚合思維;既要關注單個知識點教學，更要關注知識體系間的整體聯系。

（三）一輪復習要關注課本，重在課堂落實，提升復習效率

重視課本，是重視課本中的基本概念、基本方法，書本上的概念、定理、法則，不是簡單的重復，而是以問題為導向，激發學生聯想回憶，梳理知識，靈活運用知識。要通過課本中的典型例題、習題傳授高中數學中常見的解題方法、技巧。一輪復習要講實效，重在落實，課堂上每節課教師至少要有一道例題的規范板書，培養學生養成嚴謹、規范的解題習慣，每節課學生至少有一次上黑板的板演展示，對于學生出現的典型錯誤，要及時糾正。切忌教師一言堂，自我感覺良好，只關心自己講了多少，而不關注學生學會了多少，這樣的復習課無疑是低效的。

（四）一輪復習要關注學情，注重學生知識體系的形成

每個學校、每個班級的學情千差萬別，課堂教學設計要充分考慮學情及學生的可接受性。學生已會的不講，考試要求以外過分拓展的內容要少講，考試范圍內，學生似懂非懂的要重點講。要避免把復習課上成無目標、無重點、無整合、無歸納的習題講解課。在設計一輪課復習課例時，還應明確課時復習內容與高中知識體系的關系，切忌內容設計時貪多求全，要通過復習逐步構建知識體系網絡，聚點成線，連線成面，這樣學生每節課才有收獲。

隨著新高考的到來，高考試題要增強靈活性與開放性，考試要采取多樣化的形式，多角度命題。題海戰術、機械刷題越來越不能適應新高考。因此，科學的一輪復習教學設計，高效的復習課堂才是學生未來制勝高考的關鍵。

參考文獻：

中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）＼[M＼].北京：人民教育出版社，2018.

責任編輯：唐丹丹