在七年級數學教學中滲透分類討論思想

馬司錄

由于數學問題中研究對象的屬性不同，會影響研究問題的結果。在問題研究的過程中，從不同的情況進行分類研究的思想就稱之為分類討論思想。分類討論思想的本質是一種邏輯劃分思想，將要解決的數學問題分解成為可能的各個部分，將復雜的問題簡單化，便于求解。在七年級數學教學中，滲透分類討論思想，可以根據不同類型的數學知識點、數學問題，研究問題特征，培養學生運用分類討論思想解決數學問題的能力。

一、明確標準，分類討論解決數的問題

在數學問題中，分類討論的前提是問題條件具備某種“矛盾”，這種矛盾中存在一定的不確定性因素。比如，擬定“非零”的數字，在這一問題中，“非零”本身存在一定“矛盾”，“正數與負數”均可以看作是“非零”數字，這就是本問題的不確定因素。因此，明確分類標準，是決定不同分類內容的基礎。在七年級數學教學中，教師引入分類討論思想，需要提出“明確分類標準”的要求，讓學生按照一定的標準劃分不同的討論類別，開始分類討論活動，解決數學問題，得到分類結果。

例如，“有理數”是七年級學生最初接觸分類討論思想的數學知識內容。在教學活動中，教師為學生講解了引入負數的必要性，講解了判斷一個數是正數還是負數的基本條件，學生掌握了使用正負數符號表示互為相反意義的量的方法。在基礎概念學習中，教師提出問題條件：收入500元和支出237元的表達。此時學生根據之前學習的有理數知識，初步運用分類討論思想，提出：若收入為“+”，則收入500可以記為“+500”，支出237可以記為“-237”;若收入記為“-”，則收入500可以記為“-500”，支出237可以記為“+237”。在這一環節中，學生將“收入記為‘+’或記為‘-’”作為分類標準，對問題進行思考，得到不同分類標準下的問題答案。

之后，教師提出分類討論的數學問題：下列各數字中，-1，0.3，[15]，0，12，整數有___，正數有___。提出這一問題的目的是為學生提供一個較為開放的分類討論思考環境，學生可以觀察這一問題，根據自己的觀察所得選定分類標準，討論關注“數”的問題，明確有理數中的正數、整數。有學生在回答第一空格時漏掉了“0”，而在第二個空格中又多出了“0”，這種情況就屬于學生對有理數分類標準認知不清導致的答題錯誤。在這組數中，分類標準分別為：整數、正數，其中整數不包括分數與小數，正數不包括負數與0。通過分類討論之后，便可得到正確答案。

分類討論思想的運用能夠強化學生對數學知識中分類標準的認識，讓學生能夠更好地劃分“數”的類別，加深對有理數、正數、整數、小數、分數的認識。學生在觀察與分類討論的過程中，進一步形成了分類意識，掌握了同類數的共同特征與不同特征。

二、梳理語句，分類討論解決開放條件問題

七年級數學內容知識體系較為復雜，一些綜合類應用題中的問題屬于開放式的條件、開放式的結論，需要學生運用分類討論思想。在此類問題的思考與解決中，學生運用分類討論思想，需要梳理應用題中的語句，正確理解題目中已知條件的開放方向，明確其中的“分類關鍵點”，從這一“點”出發延伸出不同的思考思路，得到不同方向的問題答案。

例如，在一次應用題訓練課中，教師為了訓練學生的分類討論思想運用能力，提出具有開放性的問題：學校組織郊外采風活動，我們班的學生組建“前鋒營”率先前往，步行速度為4km/h;二班的學生組建“后備軍”，在我們出發1h之后出發，速度為6 km/h;三班一名學生被任命為“通訊員”，騎著自行車在兩隊之間來回傳遞信息，速度為12km/h。請大家根據這一題目條件提出問題，并嘗試解決這一問題。這個開放性問題是屬于結論開放問題，學生可以自己閱讀題目，梳理題目中的語句，分析信息，提出不同方向的問題，之后進行討論與思考。不同的學生提出不同的問題，其解決的過程就是分類討論的過程。

班級學生通過梳理語句之后得到信息：（1）通訊員負責不間斷地來回往返，速度是12km/h，可以看作是以通訊員行為為核心的行程問題，這時通訊員的往返速度、兩隊人員之間的距離就是本題目的重要隱藏條件，可以發現，通訊員在往返行程中所消耗的時間就是“后備軍”所用的時間。（2）若不考慮“通訊員”這個語句，僅僅利用“前鋒營”“后備軍”的步行速度、相隔時間，則為追擊問題，此時可以進一步細化分類，提出小類別：①“后備軍”使用多長時間追上“前鋒營”？②通訊員需要花費多長時間追上“前鋒營”？③通訊員需要多少時間能夠與“前鋒營”第一次相遇？④“后備軍”追上“前鋒營”時，通訊員行駛了多少千米？

可以看出，學生運用分類討論思想，根據本題目的語句條件，提出兩個大的問題分類，且在第二大分類的基礎上提出了4個小的問題分類，通過這種方式，學生構建了行程問題模型、相遇問題模型、追擊問題模型，進一步鍛煉了學生的分類討論運用能力，提高學生的信息分析能力、問題分析與解決能力。

三、提前鋪墊，分類討論解決幾何問題

七年級數學教材中包含大量的幾何與圖形知識，包括生活中的立體圖形、正方體的展開圖、柱體和錐體的展開與折疊、截一個幾何體等內容。在基礎知識學習之后，教師向學生提出幾何問題，目的是鍛煉學生的幾何問題解決能力，培養學生的幾何思維、空間想象力。在幾何問題中，存在一些具有不確定性因素的問題，比如，從不同方向觀察立體幾何，可以獲得不同的展開圖，其中“不同方向”就是不確定性因素，學生從不同的方向思考與討論問題、解決問題，并且在問題解決的過程中更好地掌握立體幾何的基本特征、展開與折疊方法等幾何知識。

例如，根據“截一個幾何體”課時中的數學知識，教師提出問題，讓學生能夠直接發現問題中的不同分類討論方向，為學生的分類討論行為“遞臺階”，讓學生能夠分別順著不同的“臺階”展開分類討論。問題：若使用平面截去長方體的一個角（切除一個三棱錐），問剩下的幾何體具有幾個面、幾條棱、幾個頂點？

在這一問題中，教師為學生設置了不同的“臺階”——截面經過長方體的位置。學生根據對長方體及本節課知識內容的理解，提出了四個分類討論方向：（1）截面經過1個頂點;（2）截面經過1個頂點，且交匯一個頂點;（3）截面經過2個頂點;（4）截面經過3個頂點。學生通過交流與討論，繪制出四個截面之后的圖示。

經過分類討論活動，學生把握題目中的“截面經過幾個頂點”這一不確定性因素，分別提出了四個不同方向的討論可能性，繪制出了不同情況下的截面之后的幾何圖示，為進一步數清長方體的棱、面、頂點數量提供依據。這一過程既是學生解決幾何問題，加深對幾何特征理解的過程，也是進一步鍛煉學生分類討論能力，培養學生運用分類討論思想解決實際問題的過程。

綜上所述，在七年級數學教學中運用分類討論思想，需要嚴謹、合理地梳理題目條件，明確數學題目中的問題解決方向，找出數學問題中由于不確定性因素引起的“矛盾”點，從而提出分類討論的解決思路，促使學生自主探索，快速、準確的解決問題，提出不同條件下的數學問題答案。這一過程既是學生運用分類討論解決數學問題的過程，也是學生形成解題經驗與能力的過程，也是發展學生核心素養的過程。

（作者單位：甘肅省天水市秦州區楊家寺中學）

（責任編輯? 曉寒）