數值分析課程中融入分數階微積分的探索

陳安 農麗娟 謝海

摘? 要：分數階微積分是當前計算數學的研究熱點之一，如何將這一科學研究融合到數值分析課程教學中，這個問題值得深入思考。文章首先介紹科教融合的背景，然后探討數值分析課程教學中融入分數階微積分科學研究問題的意義，最后通過具體的例子探討其對人才培養的可行性。

關鍵詞：分數階微積分;數值分析;科教融合;人才培養

中圖分類號：G640 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2022）04-0096-04

Abstract： Fractional calculus is one of the current research hotspots in computational mathematics. How to integrate this scientific research into the teaching of numerical analysis courses is worthy of in-depth consideration. In this paper， we firstly introduce the background of the integration of science and education， and then discuss the significance of integrating the scientific research of fractional calculus into the teaching of numerical analysis courses， and finally explore its feasibility for talent training through specific examples.

Keywords： fractional calculus; numerical analysis; integration of science and education; talent training

分數階微積分近些年來受到了科學與工程領域的極大關注，是計算數學的研究熱點之一。這是因為它能夠很好地刻畫自然界的非局部現象，比如分形材料中的熱擴散、細胞膜中的蛋白質傳輸以及材料的粘彈性等。由于分數階模型的解常常不易得到，因此涌現了非常豐富的數值求解方法以及相應的數值理論研究。

數值分析課程在高等學校教學中扮演著非常重要的角色，是信息與計算科學專業的專業核心課程。傳統的教學方法一般僅關注形式的推導，且教學內容與現代科學技術的發展現狀來看已略顯不足。因此有必要結合分數階微積分這一前沿科學研究來對數值分析的教學內容進行拓展。

最近，《教育部關于加強新時代教育科學研究工作的意見》文件中指出：增強科研成果轉化意識，引導鼓勵開展政策咨詢類、輿論引導類、實踐應用類研究，推動教育科研成果轉化為教案、決策、制度和輿論[1]。因此，這為我們科教融合提供了很好的政策指導。此外，盡管目前高校的教育改革發展有了顯著的進步，但是仍存在著一些不同的問題。在傳統觀念中，人們普遍認為教學是人才培養的主體，使得科學研究的育人職能、教學的學術性被嚴重削弱，從而從本質上背離了現代大學的育人理念[2]。如何在具體課程中融入科學研究值得我們深入思考。

本文討論的分數階微積分是當前的科學研究熱點，一些學者已嘗試將其應用到高等數學的教學當中[3]。因此在本文中，我們繼續結合數值分析這門具體課程，以分數階微積分的科學研究為例，探討兩者融合的意義，并以實例來說明融合的可行性。

一、數值分析課程中科教融合的意義

下面我們分兩點探討數值分析課程中融入科學研究，尤其是分數階微積分科學研究的意義。

（一）豐富學生的專業知識體系，培養學生的創新能力

人才培養是高校永恒的主題，教學、科研、服務、文化都是人才培養的重要方式和途徑[2]。而科學研究本身就具有育人性，這樣使得在人才培養模式的途徑上更為豐富。數值分析是信息與計算科學專業的一門專業核心課程，它扮演的角色非常重要，因此不能用傳統的教學模式進行教學，而應迎合時代發展的潮流，順勢結合科學研究，這樣才能豐富學生的專業知識體系，促進學生對科學問題興趣的增加。

分數階微積分是一個很好的科學研究材料。由于它是整數階微積分的推廣，因此學生更容易接受。另一方面也正由于是傳統微積分的推廣，使得它散發著科學研究的氣息，從而學生可以在一些簡單問題上大有作為，進而培養學生的創新能力。比如在常微分方程數值解法的教學中，可以適當穿插分數階常微分方程的數值解法。從中我們可以看到后者與前者有相對應的求解方法，比如預估校正法等。這樣一來，可使學生的興趣得以激發，并加強了自身學習能力的信心。再進一步，可稍微修改下方程參數，讓學生自由探索，培養學生的創新能力。

（二）提高教師的專業素質水平，促進課程思政的有機結合

適應教育改革發展和學科建設需要，堅持吸收借鑒和創新相結合，綜合運用各種研究方法，創新教育科研范式，不斷提升教育科研質量[1]。可以看到，要使得在教學過程中融入科學研究，首先得保證教師的專業素質水平，這樣才能促進學科的良性發展。這是因為只有對科學問題有深層次的認識，才能夠自然地將科學問題融入到教學當中，從而使得科研成果的轉化具有普遍性。這不僅提高了教學效果，也使得教師在交流分享過程中提升對問題的認識，進而對學科的良性發展起到很好的促進作用。

分數階微積分這一領域正在蓬勃發展中，教授數值分析課程的主講老師一般也是計算數學專業出身，因此可以通過與同行交流或自學方式提高自身的專業水平。此外，我們也可以從數值分析與分數階微積分的發展歷史，深挖專業知識中所蘊含的思想價值，從而增加課程的知識性與人文性，進而培養學生探索未知和追求真理的使命感，這也恰恰是課程的思政元素之一[4]。以數值分析中數值積分為例。我們可根據推導的積分公式講解分數階積分的逼近公式，并通過介紹我國在對分數階積分數值計算研究的發展歷程，讓學生感受到科學研究的嚴謹性。

二、數值分析課程中科教融合的實踐

在這一部分我們以3個具體例子說明分數階微積分在教學實踐中的可行性。

（一）復合求積公式

在講解完復合求積公式的時候，以Caputo分數階導數的逼近公式推導為例，通過對Caputo分數階導數的離散進行知識擴展，培養學生創新精神。為了討論方便，先介紹Caputo分數階導數的定義。

定義：函數f（t）的α 階 Caputo分數階導數的定義為：

可以看出， Caputo分數階導數在分數階α 趨于整數 n 時，它將重現傳統的n階整數階導數。從Caputo分數階導數的定義出發，可介紹與一般積分做類比，強調分數階導數只不過是比積函數多了一個用于刻畫物質物理特性的核函數tn-α-1而已。另一方面，也可以在一定程度上將該Caputo分數階導數的定義看成核函數與導函數f（n）（t）的區間[a，t]的卷積（這里，我們已將定義中的系數放在核函數中），從而為下一步拓展做好鋪墊。

為討論方便，現只考慮n=1的情形，其他情形可類似推導。現要求函數f（x）的Caputo分數階導數在t=T>0處的近似值，因此可以利用復合求積公式的離散思想。首先將區間進行等距劃分，然后在每個小區間進行考慮。不同于數值分析課本中的介紹，這里需要學生有創新意識。如果只針對被積函數中的f（t）進行線性插值，則可將所求的逼近公式用離散結點處的函數值加權求和后得到，這種方式很自然地得到了Caputo分數階導數的逼近公式。此時，這里的逼近公式，也稱為L1逼近公式，它在分數階數值領域研究得較為透徹，已有一系列的成果[5]。在這一點上，可適當介紹我國學者對它的研究歷史，從而激發學生的鉆研精神。

下面給出具體的推導過程，以說明Caputo分數階導數的逼近公式蘊含著最基本的復合求積和插值近似的思想。為此，取正整數N， 令步長為 τ=（T-a）/N， 則節點tk=a+τk，k=0，1，…，N。在每個小區間[tk，tk+1]中對函數f（t）利用小區間兩個端點的函數值信息做線性插值：f（t）=f（tk）+f（tk+1），于是CDf（t） 在tn處的近似值可由下面推導得到。

其中權系數

wm=（m1-α-（m-1）1-α），m=1，2，…

從中我們可以看到，在得到Caputo分數階導數的推導過程中運用到了函數插值內容，因此這相當于將不同的知識點融合在一個科學研究問題的求解中。這不僅使得學生能知曉數值積分的應用場景，也能夠對以前所學的內容融會貫通。此外，我們這時也應該強調，所得到的逼近公式為當前分數階微積分領域使用最多的公式，常常應用在時間分數階反常擴散模型的數值離散中，從而提高學生的研究興趣。

更進一步地，我們可以布置開放性的作業或課題，例如我們布置這樣的開放性作業：“假設用更高階的插值公式代替上面的線性插值，結果又會是怎樣？請同學們推導相應的逼近公式，并編程驗證結果。”從而使得選擇的科研問題與教學內容更為切合，激發學生的求知欲，達到育人目的。

（二）歐拉法

在介紹常微分方程初值問題的數值解法時，可適當添加分數階常微分方程的數值離散。以下面的分數階常微分方程初始值問題為例：

其中0<α<1， 初始值為：u（0）=v。它等價于下面的Volterrra積分方程[5]：

當然，這個等價關系的推導需要利用到分數階微積分的一些基本恒等式，在課堂上直接引入等價的Volterra積分方程即可，從而避免過多的細節對教學目的造成影響。這樣便將問題轉化為對Volterra積分方程的求解。

回憶常微分方程中可將其轉化為積分方程求解，如對方程：u′（t）=f（t，u（t））左右兩端同時在小區間[tk，tk+1]積分，整理后可得到：u（tk+1）=u（tk）+f（t，u（t））dt，從而歐拉法可看成是對積分方程的右端積分項應用左矩形公式而得到。在這一角度下，我們可借助歐拉法的思想，將Volterra方程右端的積分項先等距剖分，然后在每個小區間[tk，tk+1]中，利用小區間左端點的函數值信息f（tk，u（tk））近似f（t，u（t）），從而可得到Volterra積分方程的離散格式。我們這里給出具體的推導過程。首先在節點t=tn處考慮Volterra 積分方程：

其中系數

記u（t）在節點t=tn處的近似值為un，那么我們可得到用于近似求解Volterra積分方程的數值公式：

通過將整數階常微分方程中的歐拉法與分數階常微分方程做比較，讓學生更加深刻理解數值離散的本質思想，從而擴展學生的數學思維。類似第一個例子，也可以讓學生在這個基礎上布置些開放性問題，如：“如果在小區間[tk，tk+1]中應用右端點的函數值信息f（tk+1，u（tk+1））近似f（t，u（t）），那么得到的數值格式是什么？再進一步，如果利用小區間左右兩個端點的函數值信息來近似，得到的數值格式又是什么？如果得到的格式是隱格式，那可否利用預估校正的思想設計對應的有效格式？”這些問題都是基于最基本的常微分方程和數值積分的離散方法，這樣既豐富學生的專業知識，又培養學生的鉆研精神。

（三）數值演示相關

在充分挖掘分數階微積分在數值分析中的教學材料時，除了強調在離散格式的可類比性推導外，還可適當添加具體的實例在課堂上演示。比如，為了讓學生更直觀地觀察到Caputo分數階導數近似解與傳統整數階的聯系，這里舉兩個簡單的例子。

首先令f（t）=sin（t），則可以利用上面推導得到的L1逼近格式計算相應的Caputo分數階導數近似值。得到的圖像如圖1所示。

為方便讀者實現，這里我們提供如下的Matlab代碼：

T= 2*pi; %求解區間（0，T]

f = @（t）sin（t）; %將要計算Caputo分數階導數的函數

Df = @（t）cos（t）;%函數f 的一階導數

alpha = [0.01， 0.5， 0.8， .99]; %計算的分數階

line_stype = {'s'， 'o'， '+'， 'x'}; %設置線段類型

Nt = 100; tau = T/Nt; %剖分節點的個數以及時間步長

tn = （1∶Nt）*tau; %剖分的節點

for k=1∶length（alpha）%計算不同alpha下的近似解

legend_str{k} = strcat（'＼alpha = '，num2str（alpha（k）））;

numeru = zeros（Nt， 1）; %記錄每個節點上的Caputo分數階導數近似值

for j=1∶length（tn）%遍歷每個節點

%計算權系數

weight = （（j∶-1∶1）.^（1-alpha（k）） ...

- （（j-1）∶-1∶0）.^（1-alpha（k））） / gamma（2-alpha（k））;

diff = f（tau*（1∶j）） - f（tau*（0∶（j-1）））;

numeru（j） = sum（weight.*diff） / tau^alpha（k）;

end

plot（tau*（1∶Nt）， numeru， line_stype{k}）;

hold on;

end

plot（tau*（1∶Nt）， Df（tau*（1∶Nt）））; %繪制一階導數的圖像

legend_str{length（alpha）+1} = '＼alpha=1';

legend（legend_str）; xlim（[0，2*pi]）; %添加描述性標簽

xlabel（'t'）; ylabel（'_CD_{0，t}^＼alpha f（t）的近似值'）;

接著令f（t）=exp（-t）， 同樣地，應用L1逼近格式計算相應的Caputo分數階導數近似值的圖像如圖2所示。

此外，我們還可以繪制其他基本函數的分數階導數圖像。從得到的圖1-2看出，當分數階趨于1時，分數階導數重現傳統導數，而相應的L1逼近格式退化為求解一階導數的向后歐拉差分。因此，通過直觀的圖像演示，讓學生對分數階微積分有更為深刻的印象，從而培養學生學習數值分析課程的興趣，進一步提高課程學習的興趣。

三、結論

本文以分數階微積分為例，探討了在數值分析課程中融入科學研究的意義，并利用3個例子說明了科教融合是可行的。在課程教學中融入科學研究已成為高等教育改革發展的必然趨勢，在接下來的教學與科研工作中我們將不斷探索，使得分數階微積分在數值分析教學中的典型例子更為豐富，理論體系結構更為完善。

參考文獻：

[1]教育部關于加強新時代教育科學研究工作的意見[J].中國高等教育評估，2019，30（4）：70-73.

[2]周光禮，馬海泉.科教融合：高等教育理念的變革與創新[J].中國高教研究，2012（8）：15-23.

[3]陳安.淺談分數階微積分在高等數學教學中的應用[J].高教學刊，2019（17）：116-119.

[4]余江濤，王文起，徐晏清.專業教師實踐“課程思政”的邏輯及其要領——以理工科課程為例[J].學校黨建與思想教育，2018（1）：64-66.

[5]孫志忠，高廣花.分數階微分方程的有限差分方法[M].北京：科學出版社，2015.