由簡入繁、由易到難、分層推進

江泉龍

關鍵詞：初中 數學 變式教學

中圖分類號：A 文獻標識碼：A 文章編號：（2022）-3-

一、何為“變式教學”？

變式教學，指的是以培養學生獨立思考、靈活應用能力為目的，在教學過程中由教師精心設計一些不斷變換問題情景或改變思維角度，由簡到繁，由易到難的數學問題，使事物的非本質屬性時隱時現，而事物的本質屬性卻始終保持不變的教學形式。變式教學的精髓就是由淺入深，多角度思考，分層推進，使不同層次的學生都能得到最大的發展。這實際上是教師有目的地通過變式教學為學生組織思維引導的過程。

二、如何進行變式訓練

在教學中，利用變式來改變題目的條件或結論，揭示條件、目標間的聯系，解題思路中的方法之間的聯系與規律，從而培養學生聯想、轉化、推理的思維能力。

（一）一題多解，觸類旁通，培養學生發散思維能力，培養學生思維的靈活性。

一題多解的實質是以不同的論證方式，反映條件和結論的必然本質聯系。在教學中教師應積極地引導學生從各種途徑，用多種方法思考問題。

【例】已知：如圖1，AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直線DC過點E交AD于D，交BC于點C.求證：AD+BC=AB。

證法一：【分析】如圖2，在AB上截取AF，使AF=AD，再證FB=BC即可，此為截長法。

證法二：【分析】如圖2，作∠AEF使∠AEF=∠DEA，EF交AB于F，則AF=AD，再證FB=BC即可。

證法三：【分析】如圖3，由AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，得∠BAE=90°，AE⊥BE。可延長AD、BE交于點F，再證DF=BC，此為補短法。

證法四：【分析】如圖4，因點E是∠DAB和∠CBA的平分線的交點，過E點作EF⊥AB交AB于F、EG⊥BC交BC于G、EH⊥AD交AD的延長線于H，則EF=EG=EH從而， S_（⊿BDA）+S_（⊿EBC）=S_（⊿EAB），利用三角形面積公式再證AD+BC=AB即可，此為面積法。

通過本例，挖掘了“截長或補短法”、“面積法”“等量代換法”等解決平面幾何問題的四種數學思想和方法，這也是平面幾何中解決線段間關系問題最常用的幾種方法。

（二）多題一解，適當變式，培養學生求同存異的思維能力。

許多數學習題看似不同，但它們的內在本質是一樣，這就要求教師在教學中重視對這類題目的收集、比較，引導學生尋求通法通解，形成數學思想方法。

（三）一題多變，總結規律，培養學生思維的探索性和深刻性。

通過變式教學，不是解決一個問題，而是解決一類問題，遏制“題海戰術”，開拓學生解題思路，培養學生的探索意識，實現“以少勝多”。

例如，書本上有這樣一道題，求證：順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。教師可以不失時機地進行變式，調動起學生的思維興趣。

變式（1）順次連接矩形各邊中點所得四邊形是什么圖形？

變式（2）順次連接菱形各邊中點所得四邊形是什么圖形？

變式（3）順次連接正方形各邊中點所得四邊形是什么圖形？

做完這四個練習，教師還可以進一步引導學生概括影響組成圖形形狀的本質的東西是原來四邊形的對角線所具有的特征。

又如應用題教學是初中教學中的一個難點，在教學中就可以把同類型的題目通過變式的方式展現給學生，把學生的思維逐步引向深刻。

例如在講解一元一次方程的實踐和探究這節課時，教師編了一題關于追及問題的應用題，一膄快艇與皮艇在同一起點，快艇以每秒5米的速度先行了20米，為了追上快艇，皮艇必須奮力前劃，同學們，請你想一想皮艇如果以每秒6米的速度劃行，多少秒才能追上快艇？然后教師可對本例作以下變式。

變式1：一膄快艇與皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20秒，皮艇為了追上快艇，必須奮力前劃，同學們，請你想一想皮艇如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？（從先行20米改為先行了20秒）

變式2：我們學校有一塊300米的跑道在比賽跑步時經常會涉及到相遇問題和追及問題：現有甲、乙兩人比賽跑步，甲的速度是10米/秒，乙的速度是8米/秒，他們兩人同地出發，

（1）兩人同時相向而行經過幾秒兩人相遇。

（2）兩人同時同向而行經過幾秒兩第一次相遇。

（3）乙先出發5秒，然后甲開始出發，問甲經過幾秒兩人第一次相遇。

這題該為平時學生熟悉的操場環形跑道，這里三題也是一組變式題，（1）、（2）是同時同地出發的相遇和追及問題，（3）是不同時出發相遇和追及問題，這題還蘊涵著分類討論的思想。

變式3：一膄快艇與皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了10秒，教練要求他用45秒追上快艇，皮艇為了追上快艇，必須奮力前劃，他以每秒6米的速度劃行，劃了5秒后他發現用這樣的速度不能在規定的時間內追上，請問他的想法用45秒不能追上快艇對不對？如果他要追上請你算一算皮艇后來要用多少速度才能在規定的時間內追上快艇？

這樣的變式覆蓋了同時出發相遇問題、不同時出發相遇問題、同時出發和不同時出發的追及問題等行程問題的基本類型。

總之，在數學課堂教學中，遵循學生認知發展規律，根據教學內容和目標加強變式訓練，對鞏固基礎、提高能力有著重要的作用。當然，課堂教學中的變式題最好以教材為源，以學生為本，體現出“源于課本，高于課本”，并能在日常教學中滲透到學生的學習中去。讓學生也學會“變題”，使學生自己去探索、分析、綜合，以提高學生的數學素質。