基于多元表征理論的高中函數概念教學設計

楊興 唐雪敏 錢淑渠

【摘 要】概念表征是教育心理學的一個關注點。研究者從多元表征理論的角度探討概念教學，并以“函數概念”為例，構建函數概念的課堂教學模式，設計了以“建立表征，形成概念”和“轉換表征，深化概念”為核心的函數概念教學過程，幫助學生構建函數的多元表征系統，建立完整的函數概念。

【關鍵詞】多元表征理論;函數概念;教學設計

【作者簡介】楊興，貴州師范大學在讀碩士研究生，主要研究方向為中學數學教育;唐雪敏，貴州師范大學在讀碩士研究生，主要研究方向為中學數學教育;錢淑渠，安順學院教授，碩士研究生導師，主要研究方向為計算智能、數學教育。

【基金項目】安順學院研究生創新專項基金資助（asxyyjscx202106）;貴州省教育教學綜合改革項目基金資助（黔教合KY字2021139）

從數學本身的發展來看，數學概念的來源一般有兩個方面：一是直接從客觀事物的數量關系和空間形式反映而得，二是在抽象的數學理論基礎上經過多級抽象所獲[1]。數學概念的建構要經歷從外部表征到內部表征的深化。而從學生認知的角度看，數學概念的學習是人腦對數學多元表征信息進行加工與儲存的過程，由于學生認知方式存在差異，對數學概念的表征方式不同，因此單一的表征方式已經不能滿足學生認知發展的需求。然而，在實際教學中，很多教師往往忽視了學生認知方式的差異，很少關注到數學概念的多元表征。由于教師創設的問題情境單一，只注重函數解析式而忽視函數的其他表征形式，導致學生積累的函數背景不夠豐富，概念的抽象過程生硬，不能在不同形式函數之間靈活轉化。本文基于多元表征理論，重新審視函數概念的教學，根據函數多元表征的特點，構建函數概念的課堂教學模式，即教師從實際生活情景引入函數的解析式表征、圖像表征以及表格表征，引導學生借助集合語言由函數外部表征轉化到內部表征，從“變量說”過渡到“對應說”，從而建立完整的函數概念。

一、教學設計背景

（一）教科書和學情分析

課程標準規定高中階段函數概念教學的核心在于幫助學生建立完整的函數概念，包括“變量說”和“對應說”。數學概念的定義離不開數學對象的表示。因此，人教版教科書設置了“函數的概念”和“函數的表示法”兩個模塊，按照“三個生活中的函數—用集合語言刻畫函數—函數的定義域和值域—函數的三種表示方法”的路徑來呈現，指出要通過函數的不同表示法讓學生加深對函數概念的認識[2]。高一學生在初中依據變量之間的依賴關系學習了函數的概念，對函數的各種形式已有了初步的感知，但是缺乏對函數對應關系精確的刻畫。因此，本節課的難點在于：一是如何借助集合語言精確刻畫不同形式的函數，從而凸顯函數的對應關系;二是如何建立函數表征之間的聯系，從而能在實際應用中選擇恰當的表征方式。

（二）課堂教學模式

數學學習與思維的過程和結果，既有內隱心理層面的反應，也有外顯可視、可聽、可感的數學化表達，表現為數學多元表征學習[3]。前者可以稱為數學知識的心理表征，也叫內在表征，后者可以稱為數學知識的外在表征。外在表征的豐富性照顧到學生的認知差異，內外表征的相互轉化有助于學生對數學概念的理解。多元表征理論下的概念教學就是基于學生已有的知識經驗呈現不同的概念表征形式，通過表征間的轉換，從不同角度豐富概念的理解，建立新的概念表征系統。

在中學階段，函數本身就是一個豐富的表征系統，具體表現在：作為形式概念的函數符號（y=f（x））和操作程序的對象（輸入—輸出箱），既有代數的特征（函數解析式）和幾何的特征（函數圖像），又有數的特征（函數的列表表示）。根據數學教育心理學家萊什提出的數學概念的表征系統[4]，結合函數概念的特點，函數概念的課堂教學模式如圖1所示。

該教學模式以實際生活情景為背景，通過三種不同的外部表征，使學生體會到函數的不同表示方式。遵循“由具體到一般，由一般到抽象”的函數概念發展過程，其核心在于以集合語言為載體，通過函數外部表征之間的轉化，由函數的“變量說”過渡到“對應說”，使學生進一步理解函數的定義域和對應關系的意義，從而實現思維質的飛躍。值得注意的是，該教學模式雖然沒有呈現語言表征與動作表征，但語言表征和動作表征是各種靜態表征轉化的“催化劑”，無論是外顯的活動還是內隱的心智操作，都應該貫穿于整個學習過程中。筆者將函數概念的教學過程分為兩個階段：一是建立表征，形成概念;二是轉換表征，深化概念。

二、教學過程設計

（一）建立表征，形成概念

1.語言表征和解析式表征——概念代數化

從函數概念的“變量說”出發創設問題情境，以學生熟悉的自然語言描述和解析式入手，引入集合語言，讓學生初步了解如何用集合語言精確刻畫函數。

問題1 某“復興號”高速列車加速到350 km/h后保持勻速運行半小時。這段時間內，列車行進的路程用S（單位：km）表示，運行時間用t（單位：h）表示。

（1）S是t的函數嗎？你是怎么想的？

（2）有人說：“按照對應關系M=350 t，這趟列車加速到350 km/h后，再運行1 h就前進了350 km。”你認為這個說法正確嗎？

對于該題的第（1）問，學生會先表示出列車行進路程的表達式M=350t，結合初中一次函數的解析式y=kx+b，很容易判斷出S是t的函數，不過此時學生的思維僅停留在解析式表征，接著教師引導學生回憶初中函數的定義，幫助學生初步建立語言表征與解析式表征之間的轉化，但學生的思維還只是停留在外部表征層面，需要向內轉化。對于第（2）問，教師要先引起學生的認知沖突，接著指出函數“變量說”定義的局限性，并示范給出S與t的對應關系的更精確化描述：t的變化范圍是數集A1=t0≤t≤0.5，S的變化范圍是數集B1=S0≤S≤175。對于數集A1中的任意時刻t，按照對應關系S=350 t，在數集B1中都有唯一確定的路程S和它對應。

2.圖像表征和表格表征——概念直觀化

教師創設無法用解析式表示函數的問題情境，引發學生的認知沖突。在用集合語言描述圖像函數和表格函數的過程中，學生體會到函數的本質特征——對應，建立了直觀化的表征。

問題2 圖2是北京市2016年11月23日的空氣質量指數（Air Quality Index，簡稱AQI）變化圖。

（1）如何根據該圖確定這一天任意時刻t h的空氣質量指數（AQI）的值I？你認為這里的I是t的函數嗎？

（2）你能仿照問題1給出這個函數精確化的描述嗎？

問題3 國際上常用恩格爾系數r（r=食物支出金額總支出金額）反映一個地區人民生活質量的高低，恩格爾系數越低，生活質量越高。表1是我國某省城鎮居民恩格爾系數變化情況，從中可以看出，該省城鎮居民的生活質量越來越高。你認為按表1給出的對應關系，恩格爾系數r是年份y的函數嗎？你能用集合語言描述嗎？

問題2和問題3分別以圖像表征和表格表征來呈現函數，沒有函數解析式作為函數概念的識別特征。這不僅要求學生理解“變量說”函數的定義，而且要求學生嘗試用集合語言來給函數下定義。教師可以適時啟發學生“按照圖2中曲線所給的對應關系”“按照表1給出的對應關系”來描述函數。在這一教學環節，學生知道函數不僅能用解析式、圖像和表格表示，還能用集合語言定義特殊函數。

3.集合語言表征——概念符號化

為引導學生用集合語言定義一般的函數，抽象概括出函數概念，教師可提出以下問題。

（1）問題1～3的3個函數有哪些共同點？有哪些不同點？

（2）你能用集合語言描述函數的概念了嗎？

對于第（1）問，學生能比較容易地使用“變量說”函數的定義區分3個函數相同點與不同點，如都是一個x對應一個y，函數形式不同等，但不容易注意到定義域和值域。此時可以回顧并展示上述問題1～3函數的集合語言描述，使學生注意到上述函數的描述都包含兩個非空數集A，B，都有一個對應關系，都是按照對于數集A中的任意一個數x，按照某種對應關系，在數集B中都有唯一確定的數y和它對應，接著教師進一步引導學生認識到，生活中還有很多諸如問題3那樣無法寫出解析式的函數，為了表示方便，我們引進符號統一表示對應關系，由此得到函數概念。

至此，學生借助集合語言，從函數的解析式表征、圖像表征和表格表征過渡到符號表征，實現了函數的外部表征到內部表征的轉換，但此時學生的表征系統還只是單向的，對概念的理解還不夠深刻。

（二）轉換表征，深化概念

經過上述教學環節，學生初步建構起函數概念，但還需要在多元表征之間互相轉換，深化對概念的理解。從函數概念的課堂教學運行模式來看，教師應引導學生根據函數的概念理解函數解析式、圖像和表格，并將三者關聯起來，與生活情境建立聯系。

1.根據函數概念理解函數解析式

要深入理解函數三要素，教師應引導學生理解以下內容：（1）發展函數概念的必要性;（2）定義域和值域都是非空數集;（3）理解函數的“一對一”和“多對一”;（4）定義域和對應關系決定函數的本質。以下通過一些例題幫助學生深化函數的概念。

例1 y=1與y=x-3+1-x的定義域和值域分別是多少？它們是函數嗎？

教師引導學生認識到“變量說”函數的定義方式不僅不精確而且無法解釋一些數學事實，使學生了解引入函數概念的必要性，理解函數的定義域和值域都是非空數集。

例2 判斷下列對應是否為函數：

（1）x→y，這里y2=x，x∈N，y∈R;（2）當x為有理數時，x→1;當x為無理數時，x→0。

通過反例（1）和正例（2），學生加深了對函數“一對一”和“多對一”的認識。

例3 下列各組中的兩個函數是否為同一個函數？

（1）f（x）=x2，g（x）=（x）2;（2）f（x）=x+1x，g（t）=t+1t。

以上例題讓學生領悟到定義域和對應關系決定了函數的本質，同時也幫助學生掌握判斷兩個函數相等的方法。

2.根據函數概念創設生活情境

建立完整的函數概念，不僅能從生活情境中抽象出函數，還能根據函數的概念創設真實的生活情境，實現從數學的世界走向現實世界。

例4 試構造一個問題情境，使其中的變量可以用解析式y=x（10-x）來描述。

構造真實可信的問題情境需要分析該函數的定義域、值域、對應關系等，有利于綜合函數各表征，培養學生逆向思維。

3.函數表征間的靈活轉化

單一表征間的轉化能鞏固學生對函數的理解，而各表征間的靈活轉化有助于學生全方位理解函數，建立函數的表征系統。

例5 給定函數f（x）=x+1，g（x）=（x+1）2，x∈R。

（1）在同一直角坐標系中畫出函數f（x），g（x）的圖像;（2）x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的較大者，記為M（x）=maxf（x），g（x）。

該題將函數解析式、圖像、抽象函數符號f（x）等函數表征綜合在一起，不僅需要根據解析式畫出函數圖像，由函數圖像想到對應關系，還要將函數符號f（x）看成可操作對象，根據對應關系構造新函數，幫助學生深化函數各表征間的轉化，理解函數概念，掌握函數的不同表示方法。

三、結語

基于對學生表征差異和概念教學現狀的認識，以多元表征理論為基礎設計函數概念的教學過程，通過“建立表征，形成概念”“轉換表征，深化概念”兩個階段，學生不僅理解了函數的本質，還知道了f（x）不僅是一個函數符號，還可以作為操作程序的對象，能展開表達式畫出圖像，建立比較完整的函數表征系統，對今后概念的運用，根據不同的需要選擇恰當的函數表示起到一定幫助。但表征系統的流暢轉化和數學概念意象的建立是一個不斷深化的過程，本教學中“轉化表征，深化概念”的設計只是拋磚引玉，表征間的轉化、概念的深化還有拓展的空間。例如“根據圖像求解析式”“根據表格求解析式”“根據圖像構造生活情境”“根據表格構造生活情境”等表征間的轉化問題應該在后續教學中有層次地呈現，循環往復，逐步深化。

因此，多元表征理論下的數學教學模式是以學習對象的多元表征特點為前提，以建立數學多元表征系統為目標，從學生已有的知識表征出發，教師呈現多元表征形式，引導學生建立表征、轉化表征。這是一種以知識元出發來設計教學的觀點，與當前提倡的單元教學理念相契合，這也給教師今后的數學概念、原理教學提供了一種新的思路。

參考文獻：

[1]鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]人民教育出版社課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書 數學 必修 第一冊 A版[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]姚建法.數學多元表征研究綜述[J].江蘇教育研究，2020（13）：53-59.

[4]理查德·萊什，瑪莎·蘭多.數學概念和程序的獲得[M].孫昌識，苗丹民，等譯.濟南：山東教育出版社，1991.

（責任編輯：陸順演）