基于學生經(jīng)驗的高中數(shù)學概念課教學實踐與研究

【摘 要】高中數(shù)學重要概念的教學可以借助學生已有學習經(jīng)驗，通過類比等方法化難為易，使得概念課的教學不再枯燥和突兀，讓概念的生成和抽象概括過程自然流暢。文章通過具體的數(shù)學概念課教學實踐，對生活經(jīng)驗、知識經(jīng)驗、探索經(jīng)驗、解題經(jīng)驗等學生經(jīng)驗進行總結(jié)，有利于學生對數(shù)學概念的深度學習。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學概念;生活經(jīng)驗;知識經(jīng)驗;探索經(jīng)驗;解題經(jīng)驗

【作者簡介】董強，新青年數(shù)學教師工作室副秘書長，一級教師，市級教學能手、優(yōu)秀教師，曾獲省級教學技能大賽一等獎，主要從事高中數(shù)學教學研究。

【基金項目】陜西省教育科學“十三五”規(guī)劃2020年度課題“基于學科核心素養(yǎng)的高中數(shù)學單元教學設計研究”資助項目（SGH20Y0157）

數(shù)學概念教學是數(shù)學教學的第一環(huán)節(jié)，是學生學習和深入探究的基礎(chǔ)[1]。高中數(shù)學課程標準強調(diào)，數(shù)學教學應加強對基本概念的理解與掌握。目前，高中數(shù)學教學中存在著一些直接給學生生硬呈現(xiàn)概念的現(xiàn)象，使得學生對數(shù)學概念的學習沒有生成性和過程性，嚴重影響了學生對數(shù)學概念的理解。因此，在高中數(shù)學教學中，教師如何恰當?shù)匾霐?shù)學概念、設計概念課的教學，讓學生深刻理解數(shù)學概念的內(nèi)涵和外延，就顯得非常重要。教師作為課堂教學的組織者和實施者，要精心設計概念的問題背景、引入情境、解決思路和呈現(xiàn)方式等，將概念的教學和學生已有的學習經(jīng)驗有機結(jié)合起來，不讓學生覺得概念顯得突兀和難理解。一般地，學生的經(jīng)驗有生活經(jīng)驗、知識經(jīng)驗、探索經(jīng)驗、解題經(jīng)驗等，利用學生已有經(jīng)驗通過類比等方法進行高中數(shù)學概念課的教學，往往能起到將抽象概念形象化、專業(yè)概念通俗化、復雜問題簡單化的作用，讓學生把握概念的本質(zhì)特征，有利于學生對數(shù)學概念的深度學習。

一、生活經(jīng)驗

生活經(jīng)驗一般是指學生在學習過程中將數(shù)學概念融入生活常識進行同化或順應，以達到對數(shù)學概念本質(zhì)的理解。在這個過程中將生活實例應用于數(shù)學概念的教學，并適時地進行類比，會對學生的數(shù)學理解力起到積極的作用。以下以函數(shù)和導數(shù)的概念教學為例進行分析。

（一）函數(shù)概念的教學

函數(shù)是高中數(shù)學的一條主線，是進一步學習數(shù)學的基礎(chǔ)。在初中階段，學生常借助路程隨時間的變化而變化等對函數(shù)概念進行理解，但是要判斷y=1是不是函數(shù)很多學生卻無法準確回答。在高中函數(shù)概念的教學中，教師可充分借助學生的生活經(jīng)驗，讓學生感悟到函數(shù)就像加工廠，把自變量x給對應關(guān)系f就可生成函數(shù)值f（x）。對于函數(shù)概念，可用學生打籃球來打比方：一名學生可以打一個籃球，兩名學生可以打一個籃球，多名學生也可以打一個籃球，但一般而言，一名學生不能同時打兩個籃球，更不能打兩個以上的籃球，就好比函數(shù)概念中的對應可以是一對一、二對一、多對一，但不能是一對多。同時，在上體育課時，學生都參與教學過程，教師用于教學的籃球可以有剩余（教學過程不使用），就好比函數(shù)概念（非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的對應關(guān)系）中，集合A中的數(shù)全部參與對應過程，而集合B中的數(shù)可以有剩余（允許不是函數(shù)值的數(shù)存在）。所以，集合A是函數(shù)的定義域，而值域應該是集合B的子集。

例1 下列可作為函數(shù)y=f（x）的圖像的是（? ）

A

B

C

D

在上述概念課教學中，教師注重知識的發(fā)生發(fā)展過程，用學生打籃球來描述函數(shù)的概念生動形象，便于學生理解。在解答本題時，學生只要檢查所給圖形中對于任意x，y是否滿足唯一確定性即可，易知答案選D。

事實上，初、高中函數(shù)的定義并不沖突，只不過敘述的出發(fā)點不同而已。在教學時，教師應利用函數(shù)概念的本質(zhì)引導學生從運動變化的視角轉(zhuǎn)移到x和y的對應關(guān)系上來，這種視角的轉(zhuǎn)變實際上帶動了思維活動向深刻的方向發(fā)展[2]。

（二）導數(shù)概念的教學

導數(shù)是高中數(shù)學中重要的概念之一，它在日常生活和科學研究中有著廣泛的應用。物體的瞬時速度、事物的瞬時變化率、曲線的切線、函數(shù)的瞬時變化率等，這些都屬于導數(shù)概念的范疇。下面以小球下落時的瞬時速度、高臺跳水運動員在跳水過程中的瞬時速度、吹氣球時氣球的瞬時膨脹率、密度不均勻物體在某一點的線密度等為例，將這些生活經(jīng)驗引入導數(shù)概念的教學中。

例2 小球從高空自由下落時路程s（單位：m）和時間t（單位：s）滿足s=12gt2，那么小球在t=t0時的瞬時速度可以用t0到t1的平均速度st=s（t1）-s（t0）t1-t0近似代替（當時間間隔t很小時），其極限就是t0時刻的瞬時速度。[3]27

例3 高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）滿足h（t）=-4.9t2+6.5t+10，運動員在t0到t1這段時間內(nèi)的平均速度h（t1）-h（t0）t1-t0可以刻畫其運動狀態(tài)，其極限就是t0時刻的瞬時速度。[4]3-4

例4 氣球的體積v（單位：L）和半徑r（單位：dm）近似滿足球的體積公式v=43πr3，所以r（v）=33v4π，氣球體積從v0到v1的變化過程中平均膨脹率為r（v1）-r（v0）v1-v0，體積變化不大時可以近似代替氣球的瞬時膨脹率，其極限就是氣球在體積為v0時的瞬時膨脹率。[4]2-3

例5 一根質(zhì)量分布不均勻的合金棒，其上某一段的質(zhì)量y（單位：kg）與長度x（單位：m）滿足函數(shù)y=f（x）。由此可以計算其上任意一段的平均線密度，即用一段合金棒的質(zhì)量除以這段合金棒的長度。也可以用x0到x1這段的平均線密度f（x1）-f（x0）x1-x0近似代替x0到x1這段上任意一點的線密度（當二者非常接近的時候），其極限就是x0處的線密度。[3]29

上述四個例子層層遞進，均屬于生活中很普通的現(xiàn)象。這些生活經(jīng)驗告訴我們，可以用平均變化率來近似代替變化量不大時的瞬時變化率，平均變化率的極限即為瞬時變化率，函數(shù)的瞬時變化率即為導數(shù)。函數(shù)f（x）在x=x0處的導數(shù)就是自變量從x0變到x0+x時，函數(shù)值的平均變化率f（x0+x）-f（x0）x的極限，即f′（x0）=limx→x0f（x）-f（x0）x-x0=limx→0f（x0+x）-f（x0）x。

高中數(shù)學課程標準十分重視數(shù)學概念和生活的聯(lián)系。在教學時，教師要從學生熟悉的生活情景和感興趣的事物出發(fā)，多角度、多層面分析，讓學生體驗數(shù)學概念的生成，將數(shù)學概念的學習和生活實例結(jié)合起來，找回屬于概念的“原型”，將數(shù)學概念強化為有靈魂精髓（數(shù)學抽象的概念本質(zhì)）又有生命力外形軀殼（數(shù)學概念對應的典型生活實例）的有機整體。通過上述具體的生活經(jīng)驗，學生對導數(shù)概念的理解不再覺得難理解，相反會感受到導數(shù)其實就在身邊，可以用導數(shù)解釋生活中的現(xiàn)象。

二、知識經(jīng)驗

知識經(jīng)驗一般是指學生在之前的學科學習過程中沉淀下來的已有知識儲備，在學習新的知識時將其潛移默化地加以應用或者推廣，使新知識系統(tǒng)和已有知識系統(tǒng)在學習方法與思想上達成知識的順延、類比、兼容等。數(shù)學概念的教學是環(huán)環(huán)相扣的，很多概念不僅有其產(chǎn)生的數(shù)學背景，也有具體的物理意義或現(xiàn)實意義，這些新的數(shù)學概念大多是從一些已有數(shù)學知識中抽象、概括、提煉出來的，它們往往能體現(xiàn)數(shù)學的本質(zhì)屬性。以下以等比數(shù)列和空間向量的概念教學為例進行分析。

（一）等比數(shù)列概念的教學

等比數(shù)列的教學可以借助已有知識經(jīng)驗幫助學生理解其概念。一方面，等比數(shù)列可看作是特殊的指數(shù)函數(shù)值，對正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的復習將有助于學生對等比數(shù)列概念的理解;另一方面，可將待學知識和已有知識進行類比，通過比較學習法，用等差數(shù)列的學習經(jīng)驗幫助學生學習和理解等比數(shù)列。

知識經(jīng)驗1：正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的概念

從細胞分裂等一些實例抽象概括出正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的概念，把形如y=ax（a>0，且a≠1，x∈N+）的函數(shù)稱為正整數(shù)指數(shù)函數(shù)。正整數(shù)指數(shù)函數(shù)中，除第一個函數(shù)值外，任意一個函數(shù)值都是它前一個函數(shù)值的a倍，這些函數(shù)值形成一個數(shù)列，且從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個正常數(shù)a。

知識經(jīng)驗2：等差數(shù)列的概念

等差數(shù)列和等比數(shù)列有許多相似的性質(zhì)。如在等差數(shù)列an中，有am+an=ap+aq=2at，在等比數(shù)列bn中，有bm·bn=bp·bq=bt2，其中m+n=p+q=2t;等差數(shù)列中每隔k項取出的項組成新的等差數(shù)列，等比數(shù)列中每隔k項取出的項組成新的等比數(shù)列等，這些都是在知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上進行的進一步學習。

另外，數(shù)學史上一些著名的史料也可以作為知識經(jīng)驗，例如教師可用高斯計算1+2+3+…+100這個知識經(jīng)驗引導學生思考一般等差數(shù)列前n項和公式的推導方法（倒序相加法）[5]15-16?？梢?，等差數(shù)列為等比數(shù)列的教學做好了知識經(jīng)驗的儲備，有了等差數(shù)列的學習經(jīng)歷，等比數(shù)列的學習將水到渠成，甚至還可以類比構(gòu)造“等和”“等商”等特殊數(shù)列。

（二）空間向量概念的教學

空間兩個向量都可以平移到同一平面內(nèi)，因此平面向量的加法、減法、數(shù)乘及其數(shù)量積運算等都可以推廣到空間。類比平面向量，空間向量的概念和性質(zhì)可以用平面向量這一知識經(jīng)驗作為基礎(chǔ)，通過類比教學法進行教學。

運算律是運算的靈魂，對于平面向量而言，其滿足以下運算律：

（1）加法交換律：a+b=b+a;（2）加法結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）;（3）數(shù)乘結(jié)合律：λ（μa）=（λμ）a;（4）數(shù)乘分配律1：（λ+μ）a=λa+μa;（5）數(shù)乘分配律2：λ（a+b）=λa+λb;（6）數(shù)量積交換律：a·b=b·a;（7）數(shù)量積結(jié)合律：（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）;（8）數(shù)量積分配律：a·（b+c）=a·b+a·c。[6]76-95對于空間向量上述運算律依然成立[7]29-30。

平面向量中單位向量、零向量、共線向量、相反向量等概念和空間向量中相應概念保持一致。在平面內(nèi)，設a=（x1，y1），b=（x2，y2），則有（1）a+b=（x1+x2，y1+y2）;（2）a-b=（x1-x2，y1-y2）;（3）λa=（λx1，λy1）;（4）a·b=abcosθ;（5）a·b≤ab;（6）a·b=x1x2+y1y2;（7）a=x21+y21;（8）a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0;（9）AB=（x2-x1，y2-y1）[其中A（x1，y1），B（x2，y2）];（10）若b≠0，則a∥ba=λbx1=λx2，y1=λy2（λ∈R）。[6]88-99

類比平面向量，空間向量也有上述相應的性質(zhì)。在空間中，設a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），則有（1）a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）;（2）a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2）;（3）λa=（λx1，λy1，λz1）;（4）a·b=abcos;（5）a·b≤ab;（6）a·b=x1x2+y1y2+z1z2;（7）a=x21+y21+z21;（8）a⊥ba·b=0x1x2+y1y2+z1z2=0;（9）AB=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）[其中A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）];（10）若b≠0，則a∥ba=λbx1=λx2，y1=λy2，z1=λz2（λ∈R）。[7]36-38

平面向量有共線向量定理，空間向量有共線向量定理和共面向量定理（平面向量基本定理），以上空間向量的運算律和相關(guān)性質(zhì)都是在平面向量學習的基礎(chǔ)上進行的，有了平面向量這一知識經(jīng)驗作為基礎(chǔ)，學生對空間向量的學習才會游刃有余。

三、探索經(jīng)驗

高中數(shù)學中的探索經(jīng)驗主要是指通過對特殊情況和個別事實的求解過程進行分析，歸納問題解決的方法步驟，從而在對一般性問題展開探究的過程中有意識地沿用特殊情況下的經(jīng)驗方法，最終使一般性問題得以解決。如高中數(shù)學中指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)、對勾函數(shù)圖像的生成等，都是在探索的過程中抽象概括形成的。

（一）基本初等函數(shù)概念的教學

例6 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及其圖像[8-9]

把形如y=ax（a>0，且a≠1）的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，對其性質(zhì)的研究可以通過其圖像進行歸納總結(jié)，但因為底數(shù)a不確定，所以不能畫出其圖像。這時應對參數(shù)a進行賦值，將指數(shù)函數(shù)具體化、特殊化，比如取a=2、a=3、a=10，對指數(shù)函數(shù)y=2x的定義域進行分析，通過列表、描點、連線得到圖像，如圖1（1）;對于指數(shù)函數(shù)y=3x和y=10x，也可以通過同樣的方法畫出圖像，如圖1（2）和圖1（3）;將三個函數(shù)圖像置于同一坐標系中，如圖1（4）。通過觀察比較發(fā)現(xiàn)，三個函數(shù)圖像走勢一致，定義域、值域、圖像所過定點、單調(diào)性、圖像分布區(qū)域等完全相同，這時就可以抽象出它們的性質(zhì)：定義域是R，值域是（0，+SymboleB@），過定點（0，1），在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，當x>0時，y>1，當x<0時，0<y<1，對于不同的底數(shù)a，其圖像在彎曲程度上不盡相同，但是圖像走勢大體一樣，且都過定點（0，1），于是可以抽象概括出一般指數(shù)函數(shù)y=ax（a>1）的圖像如圖2所示。圖2中坐標系不標注具體刻度，此處曲線代表了無數(shù)個指數(shù)函數(shù)y=ax（a>1）的圖像。

有了上述探索的經(jīng)驗，對于指數(shù)函數(shù)y=ax（0<a<1），也可以按照同樣的方法畫出其圖像，進而可將所有指數(shù)函數(shù)的圖像進行抽象概括與總結(jié)。同樣的道理，對于對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1）及其圖像的研究，也可以利用研究指數(shù)函數(shù)的經(jīng)驗，先賦值使其具體化，再通過列表、描點、連線畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖像，最后進行抽象概括，總結(jié)出一般的對數(shù)函數(shù)的圖像。

（二）其他常用函數(shù)概念的教學

例7 對勾函數(shù)及其圖像[10]

對勾函數(shù)f（x）=ax+bx（a>0，b>0）的應用廣泛，它的圖像是雙曲線，新人教A版數(shù)學必修一在92頁“探究與發(fā)現(xiàn)”中就特殊情形f（x）=x+1x進行了探究。

我們注意到該函數(shù)的定義域是xx≠0，關(guān)于原點對稱，又因為f（-x）=-x+1-x=-f（x），所以函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于原點對稱。因此，我們只需要研究其在第一象限的圖像然后按原點對稱即可得到整個定義域上的圖像。對f（x）求導可得f′（x）=1-1x2，令f′（x）=0，x>0時，得x=1，且f（1）=2。當0<x<1時，f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減;當x>1時，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增。于是可以證明，f（x）=x+1x的圖像是雙曲線，根據(jù)以上性質(zhì)就可快速畫出函數(shù)f（x）=x+1x的圖像（如圖3）。有了這一探索經(jīng)驗，即可研究函數(shù)f（x）=ax+bx（a>0，b>0）的圖像及性質(zhì)。

實際上，探索經(jīng)驗是化歸思想的具體體現(xiàn)，探索經(jīng)驗可以有效促進數(shù)學新命題和數(shù)學猜想的形成，費馬猜想、哥德巴赫猜想等都是探索經(jīng)驗的直接成果。在有限集合子集個數(shù)問題的探究中，教師可先讓學生探索元素個數(shù)比較少的情形，逐步積累探索的經(jīng)驗后，便可以推廣結(jié)論，進而對一般有限集合子集個數(shù)的問題進行深刻理解。

四、解題經(jīng)驗

解題經(jīng)驗一般是指在求解一類試題的過程中總結(jié)出的規(guī)律和經(jīng)驗，通過提煉試題的共性，將其升華成數(shù)學中的概念、結(jié)論和思想等。解題教學的重要作用是引導學生有條理地思考，讓學生學會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，積累數(shù)學活動經(jīng)驗[11]。對一些特殊問題和多個相似問題的求解等，可以充分挖掘問題的本質(zhì)屬性，將其推廣形成數(shù)學概念。因此，解題的過程既是經(jīng)驗的總結(jié)、方法的提煉，又是概念醞釀和產(chǎn)生的重要途徑。以下以圓錐曲線和定積分的概念教學為例進行分析。

（一）圓錐曲線概念的教學

例8 圓錐曲線的統(tǒng)一定義

（1）動點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和它到定直線l：x=254的距離的比是常數(shù)45，則易求得點M的軌跡是長軸、短軸長分別為10、6的橢圓，方程為x225+y29=1。[12]47

（2）動點M（x，y）與定點F（5，0）的距離和它到定直線l：x=165的距離的比是常數(shù)54，則易求得點M的軌跡是實軸、虛軸長分別為8、6的雙曲線，方程為x216-y29=1。[12]59-60

（3）動點M（x，y）到定點F（p2，0）（p>0）的距離和它到定直線l：x=-p2的距離的比是常數(shù)1，則易求得點M的軌跡是拋物線，方程為y2=2px（p>0）。[7]71-72

對上述三種不同的圓錐曲線進行本質(zhì)挖掘可以發(fā)現(xiàn)，它們都是到定點的距離和到定直線的距離的比等于常數(shù)的動點軌跡，區(qū)別只是比值不同而已。于是就可以對圓錐曲線進行統(tǒng)一定義。

平面上到一個定點F的距離和到一條定直線l的距離之比是一個常數(shù)e的點的軌跡是圓錐曲線，其中點F是焦點，定直線l是準線，比值e是離心率[12]76。

（二）定積分概念的教學

（1）由拋物線f（x）=x2，直線x=1及x軸所圍成平面圖形的面積S，可以采用以直代曲的思想，按照分割、近似代替、求和、取極限的步驟進行求解[3]75-76。

（2）汽車在剎車后滑行的距離s也可以按照分割（滑行時間）、近似代替（速度）、求和、取極限的步驟進行求解[3]76-77 。

（3）彈簧在其彈性系數(shù)范圍內(nèi)拉力對物體所做的功也可以按照分割、近似代替、求和、取極限的步驟進行求解[3]78 。

可以看出，面積、路程及做功問題具有一定的共性：它們都有相同的求解步驟，解決的思路和方法完全相同，都是對自變量進行分割，利用函數(shù)值的不足近似和過剩近似值代替所對應的函數(shù)值，通過求和，最后取極限所得。這一求解問題的程序經(jīng)過數(shù)學抽象概括就生成了定積分的概念。

實際上，解題經(jīng)驗往往能給學生必要的提示和方法指引，比如圓錐曲線的一些典型試題往往可以進行適當?shù)耐茝V，產(chǎn)生有趣而又重要的二級結(jié)論。羅增儒教授曾說，在解題過程中，應廣泛了解各種解題觀點、解題方法和解題技巧……抽象出一些規(guī)律性的結(jié)論，這些結(jié)論不是也不應是點石成金的魔杖，不是也不會是“無題不解”的萬能鑰匙，但應有一般性的指導意義[13]。羅增儒教授把解題經(jīng)驗比喻為打仗時的“兵法”，為解題學理論打開了大門，有了解題經(jīng)驗，學生對數(shù)學概念的理解才會上升到一個更高的境界。

五、實踐總結(jié)

學生對于新的數(shù)學概念的理解和掌握與其已有的學習經(jīng)驗是息息相關(guān)的，學習經(jīng)驗多而好的學生對新的數(shù)學概念的學習就好比是囊中取物，認為一切新的數(shù)學概念的學習都是那么自然而輕松，不會覺得別扭或者難理解，這是經(jīng)驗的積極作用[14]。數(shù)學概念是數(shù)學內(nèi)容的核心，是數(shù)學的“根”，是導出數(shù)學公式、性質(zhì)的出發(fā)點，數(shù)學的理論大廈是以概念為支柱構(gòu)建起來的[15]，數(shù)學概念蘊含著豐富的數(shù)學思想，但教材中有的概念的呈現(xiàn)方式專業(yè)性和科學性較強[16]，可能會給學生理解數(shù)學概念帶來一定的困難。因此，教師只有不斷實踐并大量閱讀相關(guān)文獻，才能對數(shù)學概念的教學做到準確無誤，可對每個概念配以適當?shù)膶嵗赃_到“看見實例想到概念，提到概念聯(lián)想實例”的效果。

在實際教學中，生活經(jīng)驗、知識經(jīng)驗、探索經(jīng)驗和解題經(jīng)驗并沒有明確的界限，各種學習經(jīng)驗往往是相互交融而又相互促進的，新課程改革下的高中數(shù)學教學不僅要求教師應具備扎實的教學基本功，還要求教師以學生作為學習的主體，以“立德樹人”為教學目標，力求引導學生弄明白數(shù)學知識尤其是重要數(shù)學概念的來龍去脈，讓學生倘佯在數(shù)學的海洋里，了解其歷史、現(xiàn)狀和未來，培養(yǎng)學生的探索精神和數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)。

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[4]人民教育出版社課程教材研究所中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標準實驗教科書 數(shù)學 選修2-2 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.

[5]人民教育出版社課程教材研究所中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標準實驗教科書 數(shù)學5 必修 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.

[6]北京師范大學出版社.普通高中課程標準實驗教科書 數(shù)學4 必修[M].北京：北京師范大學出版社，2014.

[7]北京師范大學出版社.普通高中課程標準實驗教科書 數(shù)學 選修2-1[M].北京：北京師范大學出版社，2014.

[8]人民教育出版社課程教材研究所中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標準實驗教科書 數(shù)學1 必修 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.

[9]北京師范大學出版社.普通高中課程標準實驗教科書 數(shù)學1 必修[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[10]人民教育出版社課程教材研究所中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書 數(shù)學 必修 第一冊 A版[M].北京：人民教育出版社，2019.

[11]張樹華.借助信息技術(shù) 優(yōu)化解題教學[J].中學數(shù)學教學參考，2021（23）：68-70.

[12]人民教育出版社課程教材研究所中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標準實驗教科書 數(shù)學 選修2-1 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.

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（責任編輯：陸順演）