不同邊界條件矩形薄板受力分析的解析解法

孟陽君

(湖南文理學(xué)院， 湖南 常德 415000)

0 薄板理論研究現(xiàn)狀

大量橋梁結(jié)構(gòu)的行車道板為矩形薄板結(jié)構(gòu)，研究矩形薄板的受力情況可為橋梁行車道板的設(shè)計提供依據(jù)。

綜上所述，采用數(shù)值分析或有限元的方法分析研究薄板已經(jīng)比較成熟，但是研究任意荷載作用下任意邊界條件的矩形薄板的解析解仍然具有一定意義。

1 不同邊界矩形薄板的受力分析

1.1 四邊簡支

圖1為四邊形簡支矩形薄板，在均布荷載q作用下，其受力方程見式(1)。

圖1 四邊簡支矩形薄板受力分析計算圖示

(1)

四邊簡支矩形薄板的邊界條件見式(2)。

(2)

假設(shè)：

(3)

式(3)求導(dǎo)代入式(1)：

(4)

將荷載q也按重三角級數(shù)展開：

(5)

(6)

承受荷載q的四邊簡支矩形薄板的撓度：

(7)

1.2 兩邊簡支、兩邊自由

圖2為兩邊簡支、兩邊自由的矩形薄板。在均布荷載q作用下，其受力方程見式(1)，邊界條件見式(8)。

圖2 兩邊簡支、兩邊自由矩形薄板受力分析計算圖示

(8)

以：

(9)

求導(dǎo)整理代入式(1)得：

(10)

將q也展為傅立葉級數(shù)：

(11)

整理比較可得:

(12)

式(9)的一般解為：

(13)

(14)

(15)

結(jié)合邊界條件式(14)，且q0作用下w應(yīng)為ym偶函數(shù)，即Bm=Cm=0，

(16)

(m=1，3，5,…)

(17)

計算分析可得：

(18)

(μ-1)。

1.3 四邊固支

圖3為四邊固支的矩形薄板，在均布荷載q作用下，其受力方程見式(1)，邊界條件見式(19)。

圖3 四邊固支矩形薄板受力分析計算圖示

(19)

承受均布荷載q，四邊簡支矩形板在圖3所示的新坐標(biāo)系中的撓度見式(20)。

(20)

在邊緣y=b/2上，板的轉(zhuǎn)角見式(21)。

(21)

(22)

(23)

將式(22)對x求導(dǎo)，并令x=a/2，得式(24)。

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

結(jié)合邊界條件，可得：

(29)

(30)

式(29)對任意x都成立，分析整理可得包含Ei和Fi的方程組，見式(31)；式(30)對任意的y都成立，分析整理可得式(32)。……