探析逆向思維在高中數(shù)列解題中的應(yīng)用

張俊

摘要：逆向思維屬于逆推法思維活動(dòng)，是對(duì)正常思維序列的反向思考。在高中數(shù)列習(xí)題解答中，逆向思維的運(yùn)用可以開闊解題思路，提升學(xué)生思維的發(fā)散性、敏銳性，從而提升學(xué)生數(shù)列解題能力與思維品質(zhì)。基于對(duì)逆向思維的理解，文章以高中數(shù)列習(xí)題教學(xué)為研究焦點(diǎn)，結(jié)合實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、具體的數(shù)列問題從定義、公式逆向運(yùn)用，數(shù)列與函數(shù)及不等式問題結(jié)合方面探究逆向思維在高中數(shù)列解題中的應(yīng)用方法。

關(guān)鍵詞：逆向思維;高中;數(shù)列解題;教學(xué)經(jīng)驗(yàn)

中圖分類號(hào)：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)核心概念之一，也是數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的重要組成部分。但在面對(duì)數(shù)列問時(shí)，部分學(xué)生會(huì)出現(xiàn)無從下手的現(xiàn)象，即難以找到解題的切入點(diǎn)。教師注重在數(shù)列教學(xué)中滲透反證與逆推逆向思維方法，指導(dǎo)學(xué)生突破正向及常規(guī)思維序列的桎梏，在審題時(shí)能夠主動(dòng)聯(lián)想到數(shù)列相關(guān)定義、公式及定理等，列出所需求證或求解的式子回溯題目逆向?qū)ふ铱捎玫臈l件、補(bǔ)充缺失條件等，能夠有效開闊學(xué)生解題思路、降低學(xué)生解題難度并提高學(xué)生解決數(shù)列問題的綜合思維能力。

一、定義的逆向運(yùn)用

例1：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（n為正整數(shù)）。令，求證是等差數(shù)列。

此題目較為簡(jiǎn)單，適用于初步提高學(xué)生逆向思維，可以使得逆向思維序列更加清晰。在講解該數(shù)列習(xí)題前，給予學(xué)生充足時(shí)間進(jìn)行思考與嘗試，教師采取課堂巡視方法觀察學(xué)生的解題思路與步驟[1]。在課堂巡視中會(huì)發(fā)現(xiàn)大部分基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生會(huì)采用由條件—結(jié)論的正向思維方法，解題效率較低且難以形成正向思路。此時(shí)教師指導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列的定義，即每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號(hào)表征即為（d為常數(shù)）。由該定義反推出若為等差數(shù)列所需的條件，再結(jié)合題干內(nèi)的已知條件：①;②。暗示從這兩個(gè)式子入手，構(gòu)造“當(dāng)n≧2時(shí)的”，與式①作差得出，做恒等變化后，將是等差數(shù)列的證明逆推為（d為常數(shù)）的證明。

當(dāng)解題完成后，指導(dǎo)學(xué)生回溯解題過程、解題結(jié)果與最后的結(jié)論，自主總結(jié)出逆向運(yùn)用定義的數(shù)列問題解決策略。完成后呈示等比數(shù)列問題或上述問題的變式，促成學(xué)生解決此類問題時(shí)的舉一反三。

二、公式的逆向運(yùn)用

例2：已知數(shù)列通項(xiàng)公式為①，求解該數(shù)列的前n項(xiàng)和②。

此數(shù)列問題難度較小，學(xué)生可以利用常規(guī)方式，即錯(cuò)位相間求得數(shù)列的前n項(xiàng)和。為提升學(xué)生逆向思維品質(zhì)，教師可以對(duì)上述例題進(jìn)行變化，請(qǐng)學(xué)生對(duì)比數(shù)列通項(xiàng)公式及所求的前n項(xiàng)和，得出新式子③：。以該結(jié)論為已知條件，請(qǐng)學(xué)生逆向運(yùn)用公式，思考增加哪些條件可以反向求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。當(dāng)學(xué)生提出“”這一條時(shí)，教師順勢(shì)請(qǐng)學(xué)生采用逆向思維自主解題。

因需求解數(shù)列通項(xiàng)公式，而式③中包含與兩個(gè)量，數(shù)量較為復(fù)雜，所以需要借助公式，即對(duì)式③進(jìn)行簡(jiǎn)化，得到只含有項(xiàng)的式子后再繼續(xù)推導(dǎo)數(shù)列通項(xiàng)公式。

學(xué)生掌握公式的逆向運(yùn)用方法后，對(duì)上述變式進(jìn)行再次變化，引導(dǎo)學(xué)生直接由式③，借助后補(bǔ)充的條件推導(dǎo)的通項(xiàng)公式，解決該問題時(shí)需要將式③簡(jiǎn)化為全部含有項(xiàng)之和的式子。

在上述例題的講解中，以常規(guī)性思維指導(dǎo)學(xué)生解答例題，當(dāng)學(xué)生通過例題解答掌握或強(qiáng)化鞏固數(shù)列相關(guān)概念與公式后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從求解的結(jié)論開始進(jìn)行逆向推導(dǎo)，思考如何補(bǔ)充條件推導(dǎo)出原題目之中的條件，如何將復(fù)雜的含有多個(gè)數(shù)量關(guān)系的式子簡(jiǎn)化為只含有項(xiàng)或項(xiàng)之和的式子，最后推導(dǎo)出所求，在解題中學(xué)生綜合運(yùn)用了逆推思維、恒等變化、轉(zhuǎn)化及劃歸思想，實(shí)現(xiàn)了由知識(shí)技能向數(shù)學(xué)思想方法的轉(zhuǎn)變，有助于進(jìn)一步提升學(xué)生數(shù)列解題能力[2]。

三、與不等式及函數(shù)結(jié)合的數(shù)列問題中的逆向思維

高考試題內(nèi)的數(shù)列問題，通常與函數(shù)、不等式等知識(shí)融合，對(duì)學(xué)生知識(shí)遷移應(yīng)用能力、思維品質(zhì)等提出了更高的要求 。當(dāng)學(xué)生以常規(guī)思維難以求解時(shí)，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生利用逆向思維進(jìn)行解題。

例3：已知數(shù)列，，數(shù)列滿足。

（1）若，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和。

（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，且對(duì)任意n，恒成立。

①當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，求證：數(shù)列，的公差相等;

②數(shù)列能否為等比數(shù)列？若能，請(qǐng)寫出所有滿足條件的數(shù)列;若不能，請(qǐng)說明理由。

上述問題（1）難度較小，常規(guī)思維即可解決。在解答問題（2）①時(shí)，學(xué)生往往無從下手，教師可以引導(dǎo)學(xué)生采用反證法，即假設(shè)數(shù)列，的公差分別為，，證明<時(shí)是否可滿足條件恒成立，若不能則一定為≧，以相同方法反證>，即可得出。問題③的解決同樣采用逆向思維，即假設(shè)可以為等比數(shù)列，反推是否滿足已知條件要求。

結(jié)束語

逆向思維在高中數(shù)列解題中的應(yīng)用可開拓解題思路，提升解題能力。為此，教師需精選例題進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練，逐步提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

參考文獻(xiàn)

[1]嚴(yán)敏娟.小議高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題的解題方法與技巧[J].文理導(dǎo)航（中旬），2021（10）：6-7.

[2]李峰.高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題解題技巧探索[J].試題與研究，2021（23）：33-34.