Popovic與Rado不等式的推廣

劉小寧

(武漢軟件工程職業(yè)學院 湖北 武漢： 430205)

設(shè)ai為正數(shù)，n為正整數(shù)，i=1，2，…，n，記

f(n)=n(An-Gn)

Popovic證明了F(n)是變量個數(shù)n的遞增函數(shù)[1]，即存在如下不等式

F(n)≥F(n-1)≥…≥F(2)≥F(1)

(1)

等號當且僅當an=An-1時成立。

Rado證明了f(n)是變量個數(shù)n的遞增函數(shù)[1]，即

f(n)≥f(n-1)≥…≥f(2)≥f(1)

(2)

等號當且僅當an=Gn-1時成立。

注意到F(1)=1與f(1)=0，由式(1)或式(2)可得到關(guān)于變量大小的算術(shù)—幾何平均值不等式

An≥Gn

(3)

等號當且僅當a1=a2=…=an時成立。

式(1)或式(2)是關(guān)于變量個數(shù)的單調(diào)函數(shù)(不等式)，式(3)是關(guān)于變量大小的不等式。

基于將變量大小與變量個數(shù)這兩個因素聯(lián)系起來構(gòu)建不等式的思路[1-3]，文中采用變量變換法，嘗試建立有關(guān)變量個數(shù)的幾個單調(diào)函數(shù)，并導出相應(yīng)不等式。

1 定理

為討論方便，設(shè)實函數(shù)R(x)變量x的定義域為(a，b)，βi為正數(shù)，i=1，2，…，n，記

定理若R(x)在定義域(a，b)內(nèi)為凸函數(shù)，則

Q(n)=Pn[R(Sn)-Tn]

是變量個數(shù)n的遞增函數(shù)。

證明：取xi和xi/分別為定義域(a，b)的兩組變量，且xi和xi/的大小分別與變量個數(shù)n無關(guān)，根據(jù)凸函數(shù)定理，有

(4)

其中

因為βnR(xn)=PnTn-Pn-1Tn-1

將其代入式(4)整理，可得到

Pn[R(Sn)-Tn]≥Pn-1[R(Sn-1)-Tn-1]

即Q(n)≥Q(n-1)

表明Q(n)為變量個數(shù)n的遞增函數(shù)，定理成立。

2 推廣

取定理中R(x)=lnx，若x的定義域為正數(shù)，因為R″(x)=-1/x2<0，故R(x)=lnx為凸函數(shù)，根據(jù)定理有

推廣1：若xi與βi為正數(shù)，且xi和βi的大小分別與變量個數(shù)n無關(guān)，函數(shù)

是關(guān)于變量個數(shù)n的遞增函數(shù)。

推廣1是單調(diào)函數(shù)(1)關(guān)于n個正數(shù)的算術(shù)與幾何加權(quán)平均值的推廣，若作變換xi→1/xi，可得

推廣2：若xi與βi為正數(shù)，且xi和βi的大小分別與變量個數(shù)n無關(guān)，函數(shù)

是關(guān)于變量個數(shù)n的遞增函數(shù)。

推廣2是單調(diào)函數(shù)(1)關(guān)于n個正數(shù)的幾何與調(diào)和加權(quán)平均值的推廣。

采用定理證明中作變換的方法，由推廣1可得

推廣3：若xi與βi為正數(shù)，且xi和βi的大小分別與變量個數(shù)n無關(guān)，記