數學文化素養話題之八：數的擴充

劉勁苓：今天我們一起來聊一聊數。

趙岳梅：數是數學學習的主要內容之一。據我所知，最早提出數的重要性的是古希臘畢達哥拉斯學派，他們認為數統治著宇宙，數學之美在于用有理數能解釋一切自然現象，即“萬物皆數”。

劉勁苓：這其實是把數神化了。考古研究表明，在有文字記載以前就有了數的概念。人類的祖先在漫長的生活實踐中，出于記事和分配等需要，逐漸抽象出了數。古希臘人用小石子記錄牲畜的頭數或部落的人數，比如，捕到一頭野牛，就用1塊石子表示；捕到3頭，就用3塊石子表示。現在使用的英語單詞“calculate（計算）”就是從希臘文的“calculus（石卵）”演變而來的。后來人們發現石子容易滾動，不易保存，于是逐漸發展為用繩結來記數，“結繩記事”是世界上許多地區使用過的記數方法。《周易·系辭下》中記載：“上古結繩而治，后世圣人，易之以書契”說的就是上古時期人們用繩打結記數或記事，后來讀書人才用符號記數去代替它。傳說，古代波斯王打仗時也是用繩子打結來記錄天數的。

趙岳梅：但結繩記數仍有很多不便之處，于是人們逐漸改為用刻痕記數，或是把小棍擺在地上記數。這些記數方法逐漸發展成用符號記數。同時，人們也逐漸認識到雖然能夠寫出來的數是有限的，但自然數是無限多的。

劉勁苓：漸漸地，隨著生產的發展和生活的需要，人們發現僅僅用自然數表示事物的多少已經不夠了。比如5個人分4件東西，每個人分得多少呢？用自然數就無法表示了，于是分數的產生就成了必然。人們將自然數（包括零）和分數，稱為算術數，非零自然數也稱為正整數。

趙岳梅：是啊！整數和分數的誕生標志著有理數體系的基本形成。我們知道，中國是世界上最早使用負數概念并建立負數運算法則的國家，那么負數到底是怎樣產生的呢？

劉勁苓：其實，很早之前，古人對相反意義的量就有了朦朧的意識，戰國時期就出現了使用負數的實例。隨著社會的發展，這種朦朧的意識越來越清晰。人們為了表示這樣的量，引進了負數，并將正整數、負整數和零統稱為整數。如果再加上正分數和負分數，就統稱為有理數。數的范圍被擴充了，在有理數范圍內加、減、乘、除（除數不為零）四則運算暢通無阻，計算更方便了。不過，數的擴充不是一帆風順的，無理數的發現過程就經歷了一些曲折，甚至導致了數學歷史上的第一次數學危機：邊長為1的正方形的對角線的長度是不是一個數？如果它是一個數，卻不能用兩個整數的比寫出來（“無理數”原本是“不可公度數”，這種數不能寫成兩個整數之比）；如果它不是一個數，卻客觀存在，那它究竟是什么？

趙岳梅：雖然后來的人們接受了無理數，但無理數的最初發現者，畢達哥拉斯的學生希帕索斯，為此付出了生命的代價。當時的危機狀況，從“無理數”這個名字中就已依稀可見。如果把有理數的個數比作米粒的大小，那無理數的個數甚至可以比作整個太陽系的大小，這樣對比或許還不夠呢！因為有理數是“可數的”，而無理數是“不可數的”。小學階段，我們已經認識了無限循環小數，而無理數則是“無限不循環小數”，我們熟悉的圓周率π就是其中之一。數還有進一步的擴充嗎？

劉勁苓：由于數的范圍擴大，各種數學理論的研究得以深化。19世紀，許多人認為數學的發展已經達到登峰造極的境地，數的范圍不會再擴充了。但事實并非如此，人們在解方程時常常需要開平方，如果被開方數是負數，這道題還有解嗎？如果沒有解，數學運算就像進入了死胡同。數學家發現，只要規定-1存在平方根，那么，一切運算就可以順利進行了。于是規定用符號“i”表示“-1”的一個平方根，即i2=-1，虛數就這樣誕生了。“i”成了虛數單位，將實數和虛數i結合起來，寫成a+bi的形式（a、b均為實數），這就是復數，數的范圍再一次擴大。并且，數學家把復數在平面直角坐標系中表示出來，成為直觀可見的，促進了復數的發展。但在很長一段時間里，人們在實際生活中找不到可用虛數表示的量，導致許多數學家不承認虛數，而隨著科學的發展，虛數在流體力學、電磁學、地圖學和航空學上逐漸有了廣泛的應用，科學家眼中的虛數變得一點也不“虛”了。有理數和無理數統稱為實數，雖然無理數的出現擴大了數的范圍，但是實數的加、減、乘、除（除數不為零）四則運算的封閉性在實數范圍內仍然保持。實數和虛數統稱為復數，數的范圍擴充到復數域，它對加、減、乘、除、乘方、開方這“六則”運算依然是封閉的，但是一般來說，兩個復數不能比較大小。

趙岳梅：這么說來，數的概念發展到復數域，是不是所有的數都已經被我們發現了呢？

劉勁苓：在很長一段時間內，不少數學家認為數的家族成員已經都到齊了。然而，1843年10月16日，英國數學家哈密爾頓又提出了“四元數”的概念——復數僅有兩個單位1與i，而四元數有四個單位1，i，j，k，滿足i2=j2=k2=-1，i·j=k，j·k=i，k·i=j，j·i=-k，k·j=-i，i·k=-j。一般的四元數的形式是a+bi+cj+dk，其中a，b，c， d是實數，稱為四元數的系數，j、k類似于虛數單位i。人們將復數域擴充后得到的數系稱為超復數系，四元數系是其中一個超復數系。不過，四元數的乘法運算不再滿足交換律，因而有“左乘”和“右乘”，“左除”和“右除”的區別，如i·j=k，但j·i=-k。這個體系丟失了許多數的運算性質，因此人們通常不把它當成一般意義的數。也許，你會想到是否還有“三元數”“五元數”？

趙岳梅：這些數真是深奧又有趣！“四元數”在哪些方面有應用呢？

劉勁苓：四元數理論在數論、群論、量子理論以及相對論等領域都有應用。由于科學技術發展的需要，向量、張量、矩陣以及抽象的群、環、域中的元素等新的數學對象不斷產生，它們也都可以運算。這些新的數學對象可列入數的范疇，但若歸入超復數中則不合適，所以，有些人將復數和超復數統稱為“狹義數”，把向量、張量、矩陣等稱為“廣義數”。盡管人們對數的歸類還有一些分歧，但對于“數的概念還會不斷擴充”的認識是一致的。

趙岳梅：數，簡單地說是數學最基礎的組成部分，深入地看才能發現其中蘊含的數學之美。數最初從生活中誕生，隨著生活的變化和數學自身的發展又不斷得到擴充。如何讓學生從文化層面了解數、喜歡數、運用數，溝通數的關系，構建數的網絡呢？如何把數的產生和發展的內容滲透到課堂教學中？還請劉老師講講您的看法。

劉勁苓：數的概念是在人認識和改造自然、社會的過程中自然產生的。教學中要讓學生認識到數源于生活，是從人的需要中產生的。人教版小學數學六年級下冊《數的認識總復習》一課，就給學生提供了了解數的概念形成和發展的好機會。

趙岳梅：您說得對。我在教學這節課前，先讓學生把學過的數梳理出來。學生根據教材中提示的方法，大多從“有什么”“是什么”和“數之間的聯系”進行了總結。了解了學生的學習起點，我們就可以讓學生從數學文化的層面去了解數，也可以讓學生從數的產生的角度去了解數，通過讓學生匯報他們的整理結果，嘗試在課堂上滲透數學文化。

劉勁苓：這一段的教學很有價值，因為數的產生源于生活需要，讓小學生從生活經驗中感受數域拓展的必要性，教學就更順理成章。數從產生起就不是孤立靜止的，它反映了客觀事物量的發展變化及聯系，運算由此產生。運算賦予數新的內容，運算中的矛盾往往孕育著新的數，甚至成為產生新數的起點。在教學中是怎么體現的呢？

趙岳梅：我從學生認知出發，讓學生感受數的擴充不僅出于“生活需要”，也出于數學自身發展的需要，即“運算需要”，是這樣教學的：

師：“數源于數”，從“數”這個字的發音，也能體現這個意思——既念四聲，又念三聲。剛才同學們介紹數的歷史時，各種各樣的數是不是都是在計算中產生的？所以，數不僅是從生活中產生的，也是從運算中產生的。想想看，什么樣的運算會產生新的數呢？誰能舉個例子來說明？

生：比如計算3+2和3×2，得出的5和6都是整數。到計算3÷2，得出的1.5就是小數了。

師：看來運算真的能夠推動新數的產生，這個同學舉的例子對你有啟發嗎？還有什么樣的運算產生了新的數呢？

生：還有計算2÷3，得出了分數。2-3=-1又出現了負數。

生：3-3=0。數數的時候是從1開始數起的，沒有0，我覺得0就是在減法中產生的。

這個環節之后，我引用德國數學家克隆內克的話：“上帝創造了自然數，其余的數都是人造的”，引導學生闡述對這句話的理解，從而認識“科學理論與實踐辯證的統一推動了數的發展”。

劉勁苓：運算需要是推動數的擴充的重要因素，但直接對六年級的學生這樣說，他們肯定是難以理解的，所以這一段的處理可從“挖掘數學之根”的角度，讓學生全面認識“數的擴充”。

趙岳梅：學生對“數”是有認知基礎的，但是數域擴充后，一談到分類，就有不少問題讓人糾結。比如說，整數和分數是不是同一種數？小數和分數有什么關系？正數和負數中又有整數和分數，怎樣分類才好？等。如何讓學生正確地進行分類呢？

劉勁苓：這部分可以采用“講授法”和“生成法”相結合的教學方式，依據學生的討論情況，直接將分類標準提出來；或者當有學生提出一種分類，就順勢引導他們“按形式分”還是“按大小分”即可。總之，形成初級分類網絡是教學的重點。

趙岳梅：我根據數的不同表示，設計了一個“猜數游戲”環節，一方面可以讓學生復習前面學習的內容，另一方面可以引導學生發現，數的同樣表達在不同理解之下，有著不同的含義。

（出示猜數游戲：一個三位數，個位數是最小的正整數，十位數是在0.5到1.5之間的整數，百位數比既不是正數又不是負數的數大1）

師：這個數是多少？

生：一百一十一。

師：（板書111，指板書）你確定這個數就是一百一十一嗎？它可能表達別的意思嗎？

（學生討論。）

師：有沒有人認為這個數是七？

（學生驚奇地感嘆，小聲討論。）

師：這個數在十進制的情況下表示一百一十一，但是在二進制的情況下……

生：二進制（的情況下）表示七。

師：有的同學學過二進制數，111這個數也可以表示七，不同的是，它是二進制的表示方法了。這個小游戲告訴我們什么呢？

生：一個數從不同的角度看可以代表不同的意義。

劉勁苓：學生對數的認識應該是多元的，盡管小學階段重點學習的是“十進位值制”，但是后續的學習中會接觸到數的其他進位制。所以這個設計承上啟下，很有價值。

趙岳梅：在數學教學中滲透數學文化，能讓學生進一步理解數學，喜歡數學，體會到數學之美。感謝劉老師的分享，我們還要繼續挖掘教材內容的數學文化內涵，使數學課堂更加精彩！

劉勁苓：謝謝，再見！

（劉勁苓，特級教師，北京市西城區教育研修學院，郵編：100031；趙岳梅，北京市西城區進步小學，郵編：100044）

*本文系北京市教育科學“十三五”規劃2018年度一般課題“小學數學教學中‘文以化人’的育人研究”（課題批準號：CDDB18182）成果之一。