似曾相識燕歸來

宋代詞人晏殊《浣溪沙·一曲新詞酒一杯》中“似曾相識燕歸來”一句，意思是指春天來了，燕又歸畫檐，但此燕已非彼燕，只是似曾相識而已，而不是逝去的再來。詩句蘊含著深刻的生活哲理。

數學題目也可以通過對一些熟悉的“場景”，采用相似、關聯、變化等手段做些改編，給學生提供既感到熟悉，又有了變化的新的問題情境，以激發學生的好奇心和求知欲，通過想象、比較、分析，提升思維水平和解題能力。

【題目】

第1題 小老鼠“啃”題目

想一想，小老鼠啃掉的一塊可能是哪些字？先補好，再算一算“洞有多長”。

第2題 一塊魚粉餅

小饞貓把媽媽做的一塊圓形魚粉餅吃掉一角，要知道這塊魚粉餅可是貓媽媽做的“樣餅”哦！她要按照著“樣餅”的規格再做50個魚粉餅，然后給福利院的流浪貓送去。如何補出咬去一角的形狀，成為擺在小饞貓面前的一個難題。

同學們，你們能幫小饞貓出出主意嗎？實際操作中可以有哪些方法？

第3題 變形的尺

小兔灰灰和小兔白白各拉住尺的一端互不相讓，它們使出拔蘿卜的力氣用力拔。糟了！尺的3厘米～4厘米中間的1厘米，被拉伸為3厘米（均勻變化）了。灰灰、白白都覺得對不起媽媽。兔媽媽對小兔說：“沒關系，這尺我還能用。”

想一想，聰明的兔媽媽會怎么使用這把“特殊的尺”？試著填一填表1：

第4題 一只老式掛鐘

陪伴烏龜120年的一只老式掛鐘損壞了，原來比時針稍長一點的分針掉了一截，看上去與時針一樣長，分不清誰是時針誰是分針了。不過烏龜還是能讀懂它，畢竟相處了這么多年嘛！

同學們，你們能不能讀懂這只鐘？猜猜圖1中的四個鐘面分別表示什么時間？

第5題 新“雞兔同籠”

“20個頭、58只腳……”這“雞兔同籠”問題難不倒聰明的小山羊。不過，小山羊這次遇上新問題了。環境變化導致兔的基因突變，這不，這“雞兔同籠”的“籠”中據說有3只腳的兔若干只。這樣一來，“雞兔同籠”問題就發生了變化。還是“20個頭、58只腳……”請問有幾只雞，幾只三腳兔，幾只正常兔？若是20個頭、59只腳，又會是怎樣的情況呢？

【解析】

第1題，這是“行程問題”，但與常規行程問題相比，這道題缺了一個條件，需要先補出條件，再計算結果。實際填寫的時候條件可以是多樣的，如“每分鐘鉆了20厘米”“每分鐘鉆了30厘米”。還可以不是“平均”的，如“每一分鐘比前一分鐘多鉆10厘米”，前6分鐘共鉆了10+20+30+40+50+60=210厘米，再加上離洞口的40厘米，共250厘米。當然也可以是無規律的，每一分鐘給出一個長度數據，計算方法同上。

第2題，先把該題目轉化為“依據一段弧線（如圖2），畫出整個圓”的數學問題。通常可以這樣思考：依據圓上可見的部分，補出無形的部分，需要具備圓心和半徑兩個條件。如圖3，在弧線上取兩個點，連接成線段，取其中點，過中點畫線段的垂線。再用同樣的方法畫出另一條垂線，兩條垂線的交點就是圓心，而圓心到弧上任意一點的距離就是半徑。有了圓心、半徑這兩個條件，就可以畫出圓上缺少的部分。但這種幾何作圖方法對小學生要求過高。在實際操作中還有多種辦法，如“延伸法”：如圖4，把已知弧線復制一份，然后讓它的一部分與原有圓弧重疊，另一部分向空白處延伸，直至把空白部分補好。這種解法可與直線延長類比，既有意思，又有新鮮感和創意。再如“對稱法”或“折紙法”：如圖5，把弧線對折到另一面，使完整的一半與殘缺的部分（部分地）重合，這樣就能把未知部分補出來了。當然必須是“已知部分大于半個圓”的情況，所用方法與給定圓紙片折出直徑和圓心類似。還有“割補法”：如圖6，把豁口兩端連起來，以此弦為長度在圓弧上取一塊，把這塊補到缺的地方。

第3題，使用這把變了形的特殊尺測量，需要把測得的長度折換成實際（正常尺測量）長度，可以按實際長度“小于3厘米”“在3厘米到4厘米之間（含3厘米、4厘米）”“大于4厘米”三種情況分類討論，結果如表2：

第4題，在這特殊的鐘面上，“分針、時針一樣長”，需要學生在原有鐘面知識基礎上，針對實際情況考慮多種可能性：兩針重疊的情況除12：00以外，在每個小時之間都可出現。不重疊的情況，要假定一根是時針，看另一根作為分針是否成立；若不成立；再反過來作假設。（為行文方便，圖上兩針按從12：00開始的順時針方向，走在前面的叫“前針”，走在后面的叫“后針”）按照這“假設”的方法分析，第一只鐘面，假定前針是時針，此時剛好六點，不成立，因此后針是時針，時間是5：30。第二只、第三只、第四只鐘面，類似地可知時間分別是3：04，4：55，1：35。

第5題，先看常規的“雞兔同籠”問題，“20個頭、58只腳……”可以假設20只全是雞，則共有40只腳，那么58-40=18。每只兔比每只雞多出（4-2=）2只腳，18÷2=9，就是9只兔。20-9=11，雞是11只。但現在情況發生了變化，有幾只兔是三只腳，不過依然可用“假設”的方法：假設20只全是雞，多出來的18只腳是怎么回事呢？可再作假設。既然里面有三腳兔，假設有1只，出現了單數，不行；假設有2只三腳兔，還多16只腳，是因為有8只四腳兔，于是雞為10只；假設有3只三腳兔，出現了單數，也不行；假設有4只三腳兔，還多14只腳，是因為有7只四腳兔，于是雞是9只……可見有多種答案，需要枚舉討論，再把各種情況用列表的形式整理出來，從中還可發現一些規律。“若是20個頭、59只腳，又會是怎樣的情況呢？”同樣可用上述方法求解，即分別假設有1只三腳兔、3只三腳兔、5只三腳兔……再轉化為常規的“雞兔同籠”問題去解決。

【設計意圖】

一、抽象與形象相聯系

數學具有抽象性，數學題目因其具有一定的思維活動強度而讓一些學生望而生畏。可以將抽象問題形象化、具體化，聯系兒童生活（兒童的生活世界里充滿游戲），面向兒童世界，提供符合學生年齡特點的帶有“畫面感”的數學問題，引起學生的興趣。上述各題都是有“內容”的題目，都給出了富有趣味的問題情境，抽象的數學問題因這樣的背景而有了形象的畫面、具體的內容，充滿了生活的氣息。當然，這些問題情境里也隱含了很多數學的知識和思想方法，如“一塊魚粉餅”問題中圓的知識，“變形的尺”問題中度量的知識，“新‘雞兔同籠’”問題中的假設法、枚舉法、轉化思想等，把種種知識、思想方法融入問題情境，如同把鹽放入湯中一樣讓人感到好“喝”，抽象的數學問題也因小老鼠、小山羊、小兔等動物的加盟，有了生動鮮活的可愛面孔，讓學生覺得可以親近，愿意與之對話和交流。況且，這些題目中的問題情境本身也有其獨立的價值，是滋生興趣的源頭，是“兒童數學”應有的部分。要知道，兒童關于數學的認知常常借助于他們喜愛的形象建構起來的。

二、常態與變式相融通

對傳統的、常態的、學生熟識的題目做小小改變，如尺被拉長了、兔長三只腳了、鐘的針斷了、字模糊了等情況，在此“基本形”上創造出一些“變式”。種種情況“似曾相識”，又與以往情況有所不同——“此尺”已非“彼尺”，“此兔”已非“彼兔”，“此鐘”已非“彼鐘”。解題時需要原有知識、思路做支撐，“變”中也常有“不變”，但又不能生搬硬套，一成不變，而需要思維活動的靈動、進階，針對變化了的情況作出相應的變化處理，才能有效地找到解題思路，獲得正確的答案。小小的“變化”，常常會引起題目的復雜化程度陡增，但需要細心去辨析、比較、思考，繼而形成自己的“再認識”，在此過程中看出問題的本質，深化對一些概念、原理、規律的理解，也讓思維活動走向更為開闊的地帶。另外，有些題目也可讓學生給出更多的“變化”，從而獲得更豐富的學習體驗。

三、想象與邏輯相結合

數學教學要著力培養學生的邏輯思維能力。邏輯思維是借助概念、判斷、推理等思維形式反映客觀現實的理性認識過程，其中的演繹推理尤為嚴密、嚴謹，環環相扣，滴水不漏，是一步一步有理有據的推演和推理。但嚴密、嚴謹不等于固化和僵化，邏輯思維也可以帶有想象的色彩，用想象來打開思路，獲得各種創新性的思維成果。上述題目的思考既有理性的部分，也有想象的部分，具有多元、開放的特點，答案并不是固定唯一的，如“小老鼠‘啃’題目”“一塊魚粉餅”“新‘雞兔同籠’”等題目。只有多方拓展思路，天馬行空地展開想象，才能求得各種可能的答案。學生做這些題，就好像在玩游戲。然而游戲也可以是學習，游戲中也常含有數學，游戲也需要開動腦筋，用數學的方法去“玩”，去推理和想象。想象而又有邊界，推理而又能靈活。需要把“想象”與“邏輯”結合起來，才能“玩”出數學的味道，“玩”出應有的精彩。

（周振芳，江蘇省常熟市教師發展中心，郵編：215500）