聚焦概念意義，促進思維進階

摘 要：《有余數的除法》是蘇教版小學數學二年級下冊的初始內容，承接《表內除法》單元，是表內除法的有效拓展和適度延伸。教學時，要創生學材，喚醒學生活動經驗；明法悟理，重視自主構建；適度建模，促進思維生長。

關鍵詞：《有余數的除法》；概念本質；意義理解；思維進階

【教學內容】

蘇教版小學數學二年級下冊第1—3頁。

【教學目標】

1.通過直觀操作，初步理解有余數的除法及余數的含義，會用除法算式表示有余數的除法。

2.在自主探究中發現并理解余數和除數的關系，知道余數要比除數小。

3.初步體會借助直觀研究問題的方法，培養操作、觀察、比較、分析、發現等能力。

4.感受數學與生活的密切聯系，培養數學的眼光和思維，訓練數學表達能力，增強學好數學的自信心。

【教學重難點】

1.重點：理解有余數的除法的意義，感悟余數要比除數小的規律。

2.難點：初步體會直觀研究的方法，培養操作、分析、發現等能力。

【教學過程】

一、互動導入

師：今天，老師給大家帶來了一捆小棒，拆開數一數，你有幾根小棒？

（每個學生分得的小棒數量不同，分別是13根、14根、15根、16根。）

師：如果用它們來圍一個我們學過的平面圖形，你們能圍出哪些圖形？

生：三角形、正方形、長方形、圓、五邊形、六邊形……

師：能圍出圓嗎？

生：不能，用小棒圍出的平面圖形都有直直的邊。

師：對呀，圓是曲線圍成的圖形，用小棒圍不出。如果一條邊僅用1根小棒表示，一些同樣長的小棒可以圍出怎樣的圖形？

生：三角形、正方形、五邊形、六邊形……

師：（板書記錄）長方形呢？

生：一根小棒代表一條邊，小棒都是一樣長的，所以圍不成長方形。

師：（出示16根一捆的小棒）現在我們用這16根一捆的小棒圍圖形，小組內先商量好圍黑板上提到的哪一個圖形，再用這16根小棒圍一圍，數一數可以圍幾個這樣的圖形？看看哪個小組會商量、會動手！開始！

（學生小組內操作交流，然后全班交流。）

生：我們圍的是三角形，圍了5個三角形。

師：這組同學用16根小棒圍了5個三角形，還有剩余嗎？

生：剩余1根。

生：我們圍的是正方形，圍了4個正方形，一根不多，一根不少。

生：我們圍的是五邊形，圍了3個五邊形，剩余1根。

生：我們圍的是六邊形，圍了2個六邊形，剩余4根。

[評析：對二年級學生來說，課始“用小棒圍已學的平面圖形”的情境，一方面可以吸引他們積極參與學習和討論，另一方面，可以喚醒他們已有的學習經驗，關注小棒根數與圍成圖形個數之間的關系，從而主動思考“我用了多少根小棒？圍成了什么圖形？圍了幾個？還剩余幾根？”等一系列問題。學生通過動手操作表達他們對除法的初步理解，從而在“幾邊形”與“除數”之間、“剩余的根數”與“余數”之間自覺建立關聯。]

二、探究新知

師：這些圍圖形的過程，哪個可以用算式來表示？

生：正方形，可以表示成16÷4=4（個）。

師：（板書：16÷4=4）像這樣把16根小棒4根4根地分，每份分得同樣多，叫作“平均分”，平均分通常可以用除法算式來表示。你能說一說除法各部分的名稱嗎？

生：16是被除數，4是除數，等號后面的4是商。

師：三角形時，將小棒分成3根3根的，圍了5個三角形還剩1根。你也能用算式來表示嗎？[教師根據學生回答依次板書：5×3+1=16（根）；16-1=15（根），15÷3=5（個）；16÷3=5（個），還剩1（根）；16÷3=5（個），多1（根）]我們先看第一位同學的算式，他的5個三角形還剩1根，是怎么得到的？（學生回答：分16根小棒）對呀，所以這個算式是不是這么寫更合適——[教師在原列式上添括號：（5）×3+（1）=16（根）]第二個算式中的“1”，是不是也是在分過后得到的？[教師在原列式上添括號：16-（1）=15（根），15÷3=5（個）]你們更喜歡用哪種算式表達？（學生各抒己見，最終較多人選擇了除法算式）你們的想法和數學家一樣，都選擇了除法算式，在數學上，我們這樣表達——[教師板書：16÷3=5（個）……1（根）]要給這個余下的“1”取個名字，你覺得它叫什么？

生：余數。

師：今天我們就來學習有余數的除法。（板書課題：有余數的除法）跟著老師來讀一遍這個算式：16除以5等于3個余1根。誰能完整地說一說算式的意思？

生：16根小棒，每3根圍一個三角形，可以圍5個，還剩1根。

師：圍五邊形、六邊形的小組，你們也能來交流一下嗎？想一想，你也能把分的過程和結果用除法算式表示嗎？

生：我們圍了五邊形，圍了3個還剩1根。

師：你們的算式是——

生：16÷5=3（個）……1（根）。

師：這個1表示什么？

生：剩下的1根。

生：我們圍了六邊形，圍出2個六邊形還多4根小棒，我們的算式是：16÷6=2（個）……4（根）。

師：這位同學說得真完整。我們把一些物體平均分，有時正好分完，有時還有剩余，剩下的部分就叫余數，這樣分的過程和結果可以用有余數的除法來表示。

[評析：學生在學習表內除法時，接觸的大多是正好分完的情形，而圍圖形的過程中，出現了小棒有剩余的現象，這就為學習“有余數的除法”埋下了伏筆。從圍圖形，到列出算式，教師把操作表征、語義表征有機結合，引導學生寫出算式，觀察算式，并以此為素材教學余數的概念和有余數的除法的意義，促進了抽象思維的發展。這一環節的教學，三個層次非常清晰，首先，教師充分利用活動情境，引出算式“16÷4=4”，聚焦“平均分”這一核心概念，明晰“平均分”的意義；其次，通過小組討論，相機引導學生理解被除數、除數、商和余數的意義；最后，讓學生把用16根小棒圍五邊形、六邊形的過程，用除法算式表示出來。三個層次拾級而上，學生經歷了圍圖形的過程，了解到平均分后有剩余的情況，從而豐富了平均分的內涵，進一步體會表內除法和有余數的除法的意義，也為進一步的數學抽象提供了一定的感性經驗和活動經驗。]

三、發現規律

師：同樣是把16根小棒平均分，有的時候沒有余數，有的時候有余數，余數的大小究竟與什么有關？讓我們帶著問題繼續來研究。剛才用小棒圍圖形，幾根小棒圍一個正方形？（學生回答：4根）那有8根小棒時，可以圍幾個這樣的正方形呢？同學們在頭腦里圍一圍。你能用一個算式表達結果嗎？

生：8根小棒，每4根圍一個正方形，可以圍2個， 算式是8÷4=2（個）。

師：如果有9根小棒，可以圍幾個正方形？

生：還是2個，剩余1根。

師：9根小棒比8根多了1根，8根可以圍2個正方形，用9根小棒圍2個正方形多出1根。用算式怎么表達？

生：9÷4=2（個）……1（根）。

師：如果有10根、11根、12根……甚至更多小棒呢？各能圍出幾個正方形？

（出示：____根小棒，圍了____個正方形，余下____根，算式是____。）

師：請同學們試著圍一圍，再填一填。

（學生填寫后，全班交流。）

師：（出示表1）同學們，請仔細觀察這些算式，你有什么發現呢？

生：除數都是4。

師：除數為什么都是4？

生：搭1個正方形需要4根小棒，所以除數都是4。

生：被除數每次加1；余數都是1，2，3，然后沒有余數。

師：余數會是4嗎？為什么？

生：余數不會是4，因為如果剩余4根小棒，就可以再搭一個正方形了。

師：原來是這樣啊！那余數會不會比4大呢？

生：不會，4根都可以搭一個正方形了，比4根多肯定能繼續搭正方形。

師：（出示：□÷4=）看來，用小棒搭正方形，如果有剩余，（出示：□……□）只能是1根，2根，3根。

[評析：在學生初步理解被除數、除數、商和余數的意義后，教師繼續以“用小棒圍正方形”為突破口，幫助學生用算式表征“分后有剩余”這一現象。學生通過合作探究，從疑慮處出發，把“正好分完小棒”的生活經驗自覺遷移到新的問題情境中；教師再通過師生對話、生生對話，引導學生在思維的碰撞中初步感悟“用小棒搭正方形，余數只能是1，2，3”這一規律，發現余數的特點；通過提煉“□÷4=□……□（1，2，3）”這一數學模型，促進學生抽象思維的發展和自主學習能力的提升。]

四、經驗遷移

師：（出示五邊形）下面，我們用剛才圍正方形的方法繼續探究圍五邊形的情況，你會想到哪個算式？（學生回答：□÷5=□……□）如果有余數，余數可能是幾呢？（學生回答：1，2，3，4）為什么只能是1，2，3，4？（學生回答：如果余數等于5或者比5大可以繼續搭五邊形）你表達得真清楚！如果是搭六邊形呢？剩余的小棒根數可以是多少？（學生回答：1，2，3，4，5）同學們，搭正方形時，如果有剩余，剩余的小棒根數是1，2，3；搭五邊形時，如果有剩余，剩余的小棒根數是1，2，3，4；搭六邊形時，如果有剩余，剩余的小棒根數是1，2，3，4，5。剩余的情況各不相同，這是為什么呢？

生：因為搭的圖形不一樣。

師：這說明余數的大小和誰有關？

生：和除數有關。

生：余數都比除數小。

（板書：余數都比除數小。）

師：你們也是這樣想的嗎？一個算式如果有余數，余數最小是多少？最大是多少？

生：余數最小是1，最大要比除數小1。

[評析：師生共同探究“一個數除以4的余數的特點”后，本環節引導學生深度思考用小棒圍五邊形、六邊形時除法算式中余數的特點，從而引出“為什么余數的情況各不相同”這一核心問題。通過關注學生學習后的思維增量，及時追問，從不同維度引導學生聚焦“有余數的除法”的本質內涵，進一步理解除法算式中，余數與除數的大小關系，培養學生的思維能力。]

五、總結回顧

師：同學們，今天我們一起認識了有余數的除法，想一想，我們是怎么學到的？

生：先分了小棒，認識了余數。

生：余數要比除數小。

……

師：新知識就是在我們思維不斷的碰撞中產生的。

[評析：總結環節，教師引導學生對全課的學習內容及時進行回顧和梳理。清晰的教學流程為學生提供了學習的線索，形成了知識的脈絡，幫助學生了解“有余數的除法”相關概念產生的來龍去脈，讓學生學會通過回顧學習的過程與結論進行小結，促進了思維的生長。]

六、鞏固提升

師：（出示圖1）說一說你的列式，你是怎么想的？

（全班交流討論。）

師：（出示算式：13÷4=3……1）你想到了怎樣的情景？（出示圖2）你覺得這個算式可能表示的是哪張圖？

生：①號圖。

師：那在①號圖中，這個算式表示什么意思呢？

生：13朵花平均插在4個瓶中，每瓶有3朵，還剩1朵。

師：如果我們把算式中的單位寫完整的話就是——

生：13÷4=3（朵）……1（朵）。

生：②號圖也能表示，13塊蛋糕平均放在3盆中，每盆有4個，還剩1塊。列式是13÷4=3（盆）……1（塊）。

師：看來同一個算式，表示的含義也有可能不同。

師：為什么不選擇③號圖？③號圖應怎樣列算式？自己在學習單上寫一寫。

生：13÷6=2（盒）……1（個）。

師：你能說說這個算式表示什么意思嗎？

生：一共有13個球，每6個球放在一個盒子里，放了2盒，還剩1個。

師：你還寫了一個算式“13÷2=6（個）……1（個）”，有誰知道它的意思嗎？

生：一共有13個球，平均放在2個盒子里，每個盒子放了6個，還剩下1個。

[評析：練習結合了具體的情境圖，旨在讓學生弄清楚除法算式中被除數、除數、商和余數的具體意義：從基礎題的一圖兩式，到不同的情境圖都可以用算式“13÷4=3……1”表示，逐步建模，最后讓學生看圖列式，思考算式表示的意義，始終圍繞除法算式中各部分的關系展開，從知識教學走向能力培養。]

【課后總評】

蘇教版小學數學二年級下冊《有余數的除法》單元承接二年級上冊的表內除法，對其進行了有效拓展和適度延伸，學習這部分內容，有助于深化學生對平均分的理解。關于如何在教學中讓學生理解“正好分完”和“分后還有剩余”都可以用除法算式來表示，以及如何讓學生了解余數的意義和特點，本節課從三個方面進行了大膽的嘗試和思考，為廣大一線教師提供了教學參考。

一、創生學材，喚醒活動經驗

皮亞杰認為，“兒童思維從動作開始。切斷動作與思維的聯系，思維就不能得到發展”。朱老師深諳此理，他根據二年級學生以具體形象為主的思維特點，在了解學情、學力的基礎上，依據教材，創生學材，以“用小棒圍圖形”為切入點，創設了生動的問題情境，為學生創建了探究的場域，讓學生自覺關聯“小棒根數（被除數）”“每一個圖形的邊數（除數）”“圍成了幾個這樣的圖形（商）”“小棒是否正好分完（余數）”這些元素，自覺喚醒數學活動經驗。

二、明法悟理，重視意義建構

波利亞指出，“學習任何知識的最佳途徑是自己去發現，因為這種發現，理解最深刻，也最容易掌握其中的規律、性質和聯系。”因此，深度學習應是一個再探索、再發現的過程。朱老師充分借助“用小棒圍正方形”的情境，讓學生的思維外顯，再通過引出的算式“16÷4=4”，聚焦平均分的意義，通過小組討論、展示分享，在具體問題探究中引導學生初步體驗平均分后有剩余的情況，從而豐富平均分概念的內涵。同時，以“用小棒圍正方形”為突破口，強化了學生對“分后有剩余”這一現象的理解，引導學生自主建構余數的意義。通過多元表征方式，把操作與語言、操作與思維等有機結合，幫助學生明法悟理，引發個性化的思考，從而提高解決問題的能力和水平。

三、適度建模，促進思維生長

教學中，朱老師不僅關注學生對于被除數、除數、商、余數等知識點的學習，培養學生的數學思維，還重視引導學生找出問題背后蘊含的規律和方法，培育學生的理性精神。當學生初步感悟“用小棒搭正方形，如果有余數，余數只能是1，2，3”時，啟發學生提煉其數學模型；當學生用小棒擺出不同的圖形，剩余的小棒根數發生變化時，啟發學生整體觀察、發現規律，進一步感受分類思考的價值。本節課中，學生的操作活動是有結構的，學生通過把操作活動中獲得的直接體驗上升為對余數的具體認識，才能真正理解有余數除法的意義，這個過程促進了學生深度學習的發生和數學思維的進階。

（朱紅偉，特級教師，正高級教師，江蘇省蘇州工業園區東延路實驗學校，郵編：215127；陳惠芳，特級教師，江蘇省張家港市梁豐小學，郵編：215600）