順“問”而導(dǎo)，自主探究

摘 要：《多邊形的內(nèi)角和》是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)中的一規(guī)律探索課，若直接由教師提出探究問題、設(shè)置探究活動(dòng)，缺少了讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)問題的過程，對(duì)發(fā)展學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)能力不利。因此，教學(xué)時(shí)可鼓勵(lì)學(xué)生提出問題，并自主設(shè)計(jì)研究方案，探索規(guī)律并歸納結(jié)論。在真實(shí)的問題情境中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展高階思維能力。

關(guān)鍵詞：《多邊形的內(nèi)角和》；探索規(guī)律；核心問題；自主探究

【課前思考】

《多邊形的內(nèi)角和》是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“探索規(guī)律”的內(nèi)容。探索規(guī)律的教學(xué)不僅要讓學(xué)生探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，而且要讓學(xué)生在自主探究活動(dòng)中經(jīng)歷從特殊到一般、從一般到特殊的探索過程和驗(yàn)證過程，了解從特殊到一般、從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法。

以往，筆者往往依照教材的編排順序進(jìn)行教學(xué)，先基于“三角形的內(nèi)角和”這一知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，鼓勵(lì)學(xué)生自主探究四邊形、五邊形和六邊形的內(nèi)角和的規(guī)律，再延伸到其他多邊形中，最后經(jīng)驗(yàn)證、歸納得出“多邊形的內(nèi)角和=（多邊形的邊數(shù)-2）×180°”這一結(jié)論，學(xué)生只需要跟著教師提出的探究問題或設(shè)置的探究活動(dòng)參與研究。但我們是否忽略了：探究性學(xué)習(xí)應(yīng)以學(xué)生的自主探究為主，如果學(xué)生在活動(dòng)中沒有創(chuàng)造性的思考，是很難形成探究性學(xué)習(xí)能力的。基于對(duì)這些問題的思考，筆者按照順“問”而導(dǎo)的思路對(duì)《多邊形的內(nèi)角和》的教學(xué)重新進(jìn)行了設(shè)計(jì)。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過動(dòng)手操作探索多邊形的內(nèi)角和，發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和的規(guī)律。

2.經(jīng)歷猜想、探索、推理、驗(yàn)證、歸納等活動(dòng)過程，發(fā)展推理能力，體會(huì)將復(fù)雜問題化為簡(jiǎn)單問題，化未知為已知的數(shù)學(xué)思想方法。

3.經(jīng)歷自主設(shè)計(jì)活動(dòng)研究方案并展開探究的過程，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

【教學(xué)過程】

一、鼓勵(lì)提出問題，自主制訂研究方案

師：（出示三角形）之前我們研究了三角形的內(nèi)角和，關(guān)于內(nèi)角和，你們有什么問題想問嗎？

生：四邊形、五邊形的內(nèi)角和是多少？

生：三角形的內(nèi)角和是180°，那么六邊形的內(nèi)角和是不是2個(gè)180°，也就是360°？

生：三角形、四邊形、五邊形和六邊形的內(nèi)角和之間有沒有關(guān)系？

生：如果是八邊形、九邊形甚至邊數(shù)更多的其他多邊形的內(nèi)角和是多少？

（教師板書記錄學(xué)生問題。）

師：你們的問題還真不少，這些問題都非常有價(jià)值！但是這么多問題，我們要從哪個(gè)問題開始研究呢？可不可以先把問題分類？

（師生交流后，將問題分為兩類：一類是任意多邊形的內(nèi)角和，另一類是它們之間的關(guān)系。）

師：那這兩類問題，我們先研究哪一類呢？

生：先研究任意多邊形的內(nèi)角和是多少，再找它們之間的關(guān)系。

師：有道理！那接下來(lái)我們就一起踏上探索之旅吧！你們想從幾邊形開始研究呢？（學(xué)生意見不統(tǒng)一）能說(shuō)說(shuō)你們的想法嗎？

生：我們研究過了三角形，那接下來(lái)就應(yīng)該研究四邊形。

生：四邊形太簡(jiǎn)單了，長(zhǎng)方形和正方形的內(nèi)角和就是360°。

生：我想從六邊形開始研究，六邊形有6條邊，三角形有3條邊，總覺得它的內(nèi)角和與三角形內(nèi)角和有密切聯(lián)系。

師：你和剛才問“六邊形的內(nèi)角和是不是2個(gè)180°”的同學(xué)的想法有點(diǎn)像。

生：我也想從六邊形開始研究，把六邊形研究出來(lái)了，那么比它的邊數(shù)多的或者少的多邊形的內(nèi)角和就都好研究了。

師：看來(lái)大家對(duì)這個(gè)六邊形挺感興趣的，那我們今天就從它開始研究，好嗎？

生：可以！

師：那你們準(zhǔn)備怎樣開展研究呢？

生：我們之前研究數(shù)學(xué)問題都要先想一想研究的步驟。

生：可以小組里討論一下，想一個(gè)研究計(jì)劃。

師：好習(xí)慣！在研究問題之前，我們首先要制訂一個(gè)研究方案。

（出示要求：獨(dú)立思考，然后在小組內(nèi)討論，寫出研究方案，并說(shuō)明你這樣設(shè)計(jì)的理由。）

師：（出示圖1）仔細(xì)看看這些研究方案，你對(duì)哪一個(gè)方案有話想說(shuō)？

生：我想評(píng)價(jià)一下方案②，量的過程中會(huì)有誤差，不一定準(zhǔn)確。

生：我想補(bǔ)充一下，雖然方案②不一定準(zhǔn)確，但是有一點(diǎn)值得我們學(xué)習(xí)，就是“再畫幾個(gè)六邊形量一量”，這個(gè)做法很嚴(yán)謹(jǐn)。

師：你們還考慮到了研究的嚴(yán)謹(jǐn)性，非常好！

生：方案③操作起來(lái)好像有點(diǎn)困難，把6個(gè)角剪下來(lái)再拼，再量，我覺得有點(diǎn)費(fèi)事。

生：我覺得方案①比方案②和方案③操作起來(lái)要簡(jiǎn)單一些。

師：你們說(shuō)的都挺有道理的，那方案④呢？

生：為什么要用“（6-2）×180°”計(jì)算？

生：他是用公式來(lái)計(jì)算的。

師：你們覺得這算是一個(gè)研究方案嗎？

生：不是，我們得知道為什么要這樣算，不然我們都云里霧里的。

師：說(shuō)得對(duì)！研究數(shù)學(xué)問題，我們不能只記住公式，關(guān)鍵是要知道它是怎么來(lái)的。通過剛剛的交流，你們能修改或完善你們的研究方案并自主探索六邊形的內(nèi)角和嗎？

[思考：真正的學(xué)習(xí)是從思考和質(zhì)疑開始的，所以，提出問題是學(xué)生思維進(jìn)階的起點(diǎn)。教學(xué)中，需要根據(jù)學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想、提出問題，并用問題引導(dǎo)學(xué)生思考，激發(fā)他們探究的內(nèi)驅(qū)力。將提出的問題分類，可以自然地引導(dǎo)學(xué)生思考問題之間的聯(lián)系與區(qū)別，有效地提煉核心問題。學(xué)生圍繞核心問題獨(dú)立思考，自主設(shè)計(jì)探究方案，并在交流的過程中完善方案，不僅能使探索活動(dòng)更具有目的性，增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，而且讓探索活動(dòng)更加真實(shí)自然。]

二、引導(dǎo)深入思考，自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律

（一）展示研究成果

師：剛才大家研究了六邊形的內(nèi)角和，老師選取了一些作品，我們一起來(lái)欣賞一下。（出示圖2）先看看這個(gè)小組的想法，你對(duì)此有什么評(píng)價(jià)？

生：他這樣想沒有錯(cuò)，但是并不是每個(gè)六邊形都這么標(biāo)準(zhǔn)，中間正好是一個(gè)長(zhǎng)方形。

師：你的意思就是這個(gè)六邊形是個(gè)特殊的六邊形，不能代表所有的六邊形，是嗎？

生：是的。

師：其他同學(xué)有補(bǔ)充嗎？

生：（出示圖3）普通六邊形也可以這樣分，因?yàn)橹虚g那個(gè)四邊形不管長(zhǎng)什么樣，內(nèi)角和都是360°。（邊說(shuō)邊在黑板上畫）把中間的四邊形沿對(duì)角線分開，其實(shí)這個(gè)四邊形的內(nèi)角和就是兩個(gè)三角形的內(nèi)角和加起來(lái)，也就是180°×2=360°。

師：他這條線一連可不得了，不僅把六邊形的內(nèi)角和問題解決了，還把四邊形的內(nèi)角和問題都解決了，四邊形內(nèi)角和是多少？

生：（齊）360°。

師：任意四邊形的內(nèi)角和都是360°嗎？

生：是的。任意四邊形都可以沿對(duì)角線分成兩個(gè)三角形，內(nèi)角和就是2個(gè)180°，也就是360°。

師：將新知轉(zhuǎn)化成舊知來(lái)解決，會(huì)思考！這里還有其他幾個(gè)小組的作品。（出示圖4）先仔細(xì)看一看，都能看懂嗎？這幾種想法中有哪些相同的地方？又有哪些不一樣的地方呢？

（學(xué)生小組討論，全班分享匯報(bào)。）

生：這3個(gè)作品都是把六邊形轉(zhuǎn)化成三角形來(lái)計(jì)算內(nèi)角和的，但是計(jì)算的過程不一樣。

師：為什么計(jì)算過程不一樣呢？

生：因?yàn)榉殖傻娜切蔚膫€(gè)數(shù)不一樣。

師：分別分出來(lái)幾個(gè)三角形？

生：4個(gè)三角形，5個(gè)三角形，6個(gè)三角形。

師：為什么第2個(gè)作品計(jì)算時(shí)要減180°，第3個(gè)作品計(jì)算時(shí)要減360°呢？

生：因?yàn)榈?個(gè)作品在計(jì)算時(shí)多算了邊上新出現(xiàn)的角，所以要減180°。第3個(gè)作品把六邊形分成了6個(gè)三角形，多算了一個(gè)周角，所以要減去360°。

師：你發(fā)現(xiàn)了不同，而且還解釋得非常清楚！了不起！其實(shí)這3個(gè)作品都在把六邊形轉(zhuǎn)化成——（學(xué)生回答：三角形）只是分法不同，角的變化情況就不同，那你覺得哪一種分法在算六邊形內(nèi)角和時(shí)更方便？

生：第一種更方便，從一個(gè)頂點(diǎn)分，不容易遺漏。

師：看來(lái)研究數(shù)學(xué)問題有時(shí)候是需要技巧的，那有了研究六邊形內(nèi)角和的經(jīng)驗(yàn)，其他多邊形的內(nèi)角和呢？你能自己試著開展研究嗎？

（二）探究其他多邊形的內(nèi)角和

（出示活動(dòng)要求和表格，學(xué)生獨(dú)立思考后組內(nèi)討論。）

師：哪一組愿意分享你們的結(jié)果和發(fā)現(xiàn)？

生：（出示圖5）五邊形可以分成3個(gè)三角形，內(nèi)角和是540°；七邊形可以分成5個(gè)三角形，內(nèi)角和是900°；八邊形可以分成6個(gè)三角形，內(nèi)角和是1080°。我們組發(fā)現(xiàn)，多邊形可以分出的三角形個(gè)數(shù)比它的邊數(shù)少2。

生：我要提醒你們小組，多邊形內(nèi)部可以分出很多個(gè)三角形，所以應(yīng)該加上“至少”兩個(gè)字。

師：越來(lái)越嚴(yán)謹(jǐn)了！

生：我們組有其他想法。（出示圖6）剛才我們探究出六邊形的內(nèi)角和是720°，那么七邊形可以分成一個(gè)六邊形和一個(gè)三角形，所以內(nèi)角和是720°+180°=900°；八邊形可以分成一個(gè)七邊形和一個(gè)三角形，所以內(nèi)角和是900°+180°=1080°。多邊形每多一條邊，內(nèi)角和就增加180°。

（三）聯(lián)系對(duì)比，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：剛才我們一起研究了五邊形、六邊形、七邊形、八邊形的內(nèi)角和，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生：不管要計(jì)算哪一個(gè)多邊形的內(nèi)角和，我們只要用多邊形的邊數(shù)減去2算出至少能分成幾個(gè)三角形，然后乘三角形的內(nèi)角和180°就可以了。

師：課前提問“九邊形甚至邊數(shù)更多的其他多邊形，它的內(nèi)角和是多少？”的同學(xué)，你現(xiàn)在想說(shuō)什么？

生：九邊形的內(nèi)角和就是（9-2）×180°= 1260°，n邊形的內(nèi)角和就是（n-2）×180°。

[思考：學(xué)生對(duì)核心問題的探索，是一個(gè)不斷深入的過程。本環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生沿著“六邊形的內(nèi)角和—多邊形的內(nèi)角和—多邊形內(nèi)角和的規(guī)律”這一研究路徑互相對(duì)話、質(zhì)疑思辨、深入剖析，將知識(shí)變“散”為“連”。讓學(xué)生充分展現(xiàn)他們的探究性學(xué)習(xí)能力，自主發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)和規(guī)律，增進(jìn)數(shù)學(xué)理解，促進(jìn)抽象思維、邏輯思維的發(fā)展，有助于培養(yǎng)批判性思維和創(chuàng)新思維等高階思維。]

三、回顧活動(dòng)過程，自主總結(jié)研究方法

師：回顧我們的活動(dòng)過程，今天研究了什么？想一想我們是怎么研究的？

生：先提出問題，然后設(shè)計(jì)研究方案，選擇合適的研究方案后，和同伴一起研究得出了結(jié)論。

生：我們今天研究了多邊形的內(nèi)角和，是把未知轉(zhuǎn)化成已知來(lái)研究的。

師：以后遇到復(fù)雜的問題，你會(huì)怎么研究？

生：可以想辦法把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問題去研究。

師：（出示“古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯對(duì)多邊形內(nèi)角和的探索歷程”）看看前人是如何發(fā)現(xiàn)并探索多邊形內(nèi)角和的，對(duì)你有什么啟發(fā)？

[思考：探索規(guī)律的數(shù)學(xué)活動(dòng)，除了要關(guān)注“探索什么”“用什么探索”，更要重視“如何探索”和“為什么探索”，以幫助學(xué)生形成“能帶得走”的能力。因此，課堂的最后組織學(xué)生回顧、反思活動(dòng)過程，提取、總結(jié)研究方法，帶領(lǐng)學(xué)生觀看前人的探索過程，并將其與本節(jié)課的探索過程進(jìn)行對(duì)比，促進(jìn)研究方法的內(nèi)化和遷移。]

（趙薇，江蘇省南京市游府西街小學(xué)，郵編：210002）