以“問”驅(qū)研，拓展思維空間

摘 要：《多邊形的內(nèi)角和》是學生學習《三角形的內(nèi)角和》后的一節(jié)數(shù)學實驗課，學生往往受三角形內(nèi)角和的探究方法影響，缺少創(chuàng)造性的思考。因此，教學時可以用問題驅(qū)動數(shù)學實驗的研究，讓學生在數(shù)學家故事的啟發(fā)下，形成個性化的研究思路，主動卷入數(shù)學實驗教學的“猜想—驗證—反思”過程中。

關(guān)鍵詞：《多邊形的內(nèi)角和》；問題驅(qū)動；數(shù)學實驗

【教學內(nèi)容】

蘇教版小學數(shù)學四年級下冊第96—97頁。

【前測分析】

對多邊形內(nèi)角和的研究基于學生對三角形內(nèi)角和的認識，后者不僅是前者知識維度上的基石，也是推導過程中的關(guān)鍵要素和方法遷移的重要載體。因此，設計前測問題時，一方面要關(guān)注三角形內(nèi)角和的研究過程能否對多邊形內(nèi)角和的研究產(chǎn)生積極影響，另一方面要關(guān)注研究的形式是否符合兒童認知，學生是否具備研究的基礎。

基于以上想法，筆者設計了這樣三個前測問題：（1）回憶我們研究三角形內(nèi)角和的過程，用到了哪些方法？是怎樣開展研究的？（2）（呈現(xiàn)數(shù)學家帕斯卡推導三角形內(nèi)角和的過程）帕斯卡的研究方法與我們的有什么不同？當圖形的邊數(shù)繼續(xù)增加，形成四邊形、五邊形、六邊形……猜一猜這些多邊形的內(nèi)角和會有規(guī)律嗎？帕斯卡的方法有沒有給你啟發(fā)？（3）關(guān)于你的猜想，你想怎樣研究？

通過對前測數(shù)據(jù)的整理與分析，筆者發(fā)現(xiàn)：76%的學生能夠清晰地回憶并描述三角形內(nèi)角和的推導過程。雖然有近一半（47%）的學生無法提供猜想的依據(jù)，但受帕斯卡的研究方法啟發(fā)，都能感覺到多邊形的內(nèi)角和與180°有關(guān)。對猜想的研究，大多數(shù)學生選擇了“量”和“拼”的方法，缺少其他個性化的方法；研究過程中能夠主動關(guān)注特殊素材，如長方形、正方形，但由特殊向一般推進的意識薄弱；研究的思路呈散點化，缺乏從靜態(tài)思路走向動態(tài)建構(gòu)的過程。

【課前思考】

《多邊形的內(nèi)角和》是蘇教版小學數(shù)學四年級下冊的教學內(nèi)容，既是學生了解了三角形、平行四邊形和梯形的相關(guān)特征后的一次綜合實踐活動，也是一節(jié)數(shù)學實驗課。從單元視角來看，此前的學習已經(jīng)幫助學生在整體感知圖形和研究圖形特征方面，積累了比較充足的經(jīng)驗。但若給學生足夠自主的空間，他們會怎樣展開數(shù)學研究？教師在課堂上總結(jié)出數(shù)學方法，學生真的能夠獨立運用這些方法并進行數(shù)學研究嗎？

基于前測分析發(fā)現(xiàn)的真實學情，筆者認為，學生需要更廣闊的實踐空間和思維空間，而數(shù)學實驗的每個階段相互獨立而又緊密依存，只有整體架構(gòu)實驗的思路，才能引導學生思維進階。因此，本節(jié)課以數(shù)學家故事為背景，以大問題驅(qū)動實驗過程的推進，緊扣內(nèi)角和的相關(guān)概念，還原學生幾何探究的路徑，讓學生在感知、思考、體悟的過程中經(jīng)歷數(shù)學推理的完整過程，在“提出問題—解決問題”的螺旋遞進中，拓展思維空間，感悟數(shù)學思想方法的美妙。

【教學過程】

一、以“問”引疑

（一）故事引入

師：今天這節(jié)課我們繼續(xù)“像數(shù)學家一樣思考”，圍繞“內(nèi)角和”展開研究。（出示圖1）課前大家跟隨帕斯卡一起思考了一些問題，誰先來說一說，帕斯卡是如何發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和是180°的？你認為他的研究過程哪里最獨特？

生：我們知道長方形的內(nèi)角和是360°，帕斯卡把長方形分割成2個（直角）三角形，發(fā)現(xiàn)（直角）三角形的內(nèi)角和是長方形的一半，所以是180°。我們在研究三角形內(nèi)角和時，都是直接用三角形進行研究的，而帕斯卡從熟悉的長方形開始研究，這個想法很新穎。

生：帕斯卡先發(fā)現(xiàn)了直角三角形的內(nèi)角和是180°，但是他沒有停下，繼續(xù)研究，發(fā)現(xiàn)銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和也是180°。

師：帕斯卡由特殊的例子開始研究，再從這個特殊的例子發(fā)散到普遍情況，這個思路確實很特別，可以啟發(fā)我們的思考。

（二）明確問題

師：大家由帕斯卡的故事產(chǎn)生了哪些猜想？

生：帕斯卡說長方形的內(nèi)角和是360°，我想知道，其他的四邊形內(nèi)角和是否都是360°？

生：我猜想多邊形的邊數(shù)越多，內(nèi)角和越大。

生：相同邊數(shù)的多邊形內(nèi)角和是不是一定的呢？我猜想多邊形的“造型”會影響其內(nèi)角和，比如，“胖”的多邊形和“瘦”的多邊形，內(nèi)角和不一樣。

師：（匯總學生想法，明確實驗探究主題）今天我們就通過實驗來探究兩個猜想，一是，四邊形的內(nèi)角和都是360°嗎？二是，五邊形、六邊形……有固定的內(nèi)角和嗎？是否也有規(guī)律？

[思考：本節(jié)課以數(shù)學家帕斯卡的研究作為引入，讓學生在對比與關(guān)聯(lián)思考中發(fā)現(xiàn)更多的探究角度。借助問題“你認為他的研究過程哪里最獨特？”搭建多維度思考的支架，促使學生深入思考研究方法背后的數(shù)學思想。借助問題“你由帕斯卡的故事產(chǎn)生了哪些猜想？”收集學生的多種猜想，快速聚焦本節(jié)課的兩個實驗主題，初步培養(yǎng)和發(fā)展學生的論證意識和推理能力。]

二、以“問”引研

（一）明確研究思路

（出示活動“四邊形的內(nèi)角和都是360°嗎？”合作要求：先說說你的猜想，再在小組內(nèi)交流研究的過程及結(jié)論，可以舉例說明。學生小組交流后，全班反饋。）

生：我認為四邊形的內(nèi)角和都是360°，因為長方形和正方形的四個角都是直角，所以4×90°=360°。

師：他的例子很特別哦！你們怎么想？

生：我覺得不能只研究這種特殊的四邊形。（出示圖2）雖然長方形和正方形的內(nèi)角和是360°，但是為了說明猜想是正確的，我們組還任意畫了2個四邊形，分別量了4個角的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)加起來大約是360°。

師：為什么得到的結(jié)果是大約，而不是準確的360°？

生：我覺得是因為有些角不是整度數(shù)，就四舍五入了，結(jié)果出現(xiàn)了一點誤差。

師：你們是用量角器度量驗證的，還有別的同學是這樣做的嗎？你們同意他對“大約”的解釋嗎？

（學生表達理解。）

生：（出示圖3）我們組也畫了一些四邊形，但我們不是用量角器驗證的，而是把4個角撕下來拼在一起，發(fā)現(xiàn)正好拼成一圈，一圈就是360°，所以四邊形的內(nèi)角和是360°。

師：你是怎么想到用撕拼的方式來驗證的？

生：因為我們研究三角形的內(nèi)角和時，就是把三個角撕下來，拼成了180°。

師：你把我們研究三角形內(nèi)角和的方法巧妙地遷移過來了，很會聯(lián)系著思考問題，真棒！除了“量”和“拼”的方法外，還有別的方法嗎？

生：我們組還想到了一種辦法，是看帕斯卡的故事想到的。帕斯卡把長方形分割成2個三角形，那四邊形也可以分割成三角形，看能分成幾個三角形，內(nèi)角和就是幾個180°。

師：你也“像數(shù)學家一樣思考”了！剛才我看到還有幾組也想到了這種“分”的方法，（出示圖4）看一看，這幾種分法有什么區(qū)別？你認為怎樣分更好？

生：像第一個那樣從頂點開始分，形成的三角形的頂點都是四邊形的頂點，第二種、第三種分法都出現(xiàn)了不需要的角，最后還要減去，比較麻煩，所以我覺得從頂點分更好。

生：我也認為從頂點分比較快，這里最少能切成2個三角形，內(nèi)角和就是2個180°。

師：同樣是把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，思考的角度不同，分的過程就不同，解決問題的方向也不一樣。大家用“算、拼、分”的方法，自己發(fā)現(xiàn)了四邊形的內(nèi)角和是360°，掌聲送給自己。

（二）開展研究活動

（出示研究問題：五邊形、六邊形……有固定的內(nèi)角和嗎？存在怎樣的規(guī)律？合作要求：挑選一類多邊形，舉例研究內(nèi)角和是否存在規(guī)律，將研究過程表達清楚。教師個別指導，關(guān)注學生舉例的特殊性和一般性，呈現(xiàn)不同組的研究反饋，學生交流。）

師：從大家的反饋可以看出，分的方法得到了你們的青睞。（出示圖5）這里的幾種分法之間有聯(lián)系嗎？

生：3種方法都是從頂點處開始分，比較方便，但①和③是從同一個頂點分的，更容易看出分的三角形個數(shù)，②是從不同頂點分的。

師：還有的小組研究了七邊形、八邊形等邊數(shù)更多的多邊形的內(nèi)角和情況，（出示圖6）對比觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)這些多邊形都可以轉(zhuǎn)化為一些三角形，最少分成幾個三角形，多邊形的內(nèi)角和就是幾個180°。

生：我發(fā)現(xiàn)雖然多邊形變得越來越復雜了，但研究的方法是一樣的。

師：回顧整個研究過程，我們形成了哪些重要的發(fā)現(xiàn)？聯(lián)系剛剛的對比，你還能知道幾邊形的內(nèi)角和？

（學生獨立思考后，在小組內(nèi)交流規(guī)律。）

生：我發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和等于180°乘“邊數(shù)-2”。

生：我補充一下為什么是180°乘“邊數(shù)-2”，因為分割多邊形時，從一個頂點向其他頂點連線，只有相鄰兩個頂點不能連線，和其他頂點連線都會產(chǎn)生一個三角形，所以三角形的數(shù)量是“邊數(shù)-2”。

師：真棒！這節(jié)課你們做到了“像數(shù)學家一樣思考”，從特殊的例子出發(fā)，尋找更普遍的例子支撐自己的猜想，經(jīng)過不斷地轉(zhuǎn)化和對比，發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，在調(diào)整自己想法的過程中感受了數(shù)學研究的魅力。

[思考：明確研究思路階段，通過問題“除了‘量’和‘拼’的方法外，還有別的方法嗎？”促使學生跳出三角形內(nèi)角和的研究方法，從帕斯卡的故事得到啟發(fā)，打開了思路，發(fā)現(xiàn)并開始探究“分”的方法。研究活動階段，緊緊圍繞問題“多邊形的內(nèi)角和是否存在規(guī)律”，讓學生在“猜想—驗證—反思與改進”的過程中，主動進行對比與遷移，將多邊形轉(zhuǎn)化成三角形，并由特殊走向一般，形成個性化的推理路徑，促進創(chuàng)造性思考。]

三、以“問”引思

師：多邊形的內(nèi)角和在生活中有哪些用處呢？舉例說一說。

（學生交流，教師相機出示問題：工程師在某廣場上正在建造一個如圖7所示的五角星形巨大花圃，由于∠1處被撞壞了，需要用一些裝飾遮擋，你能在無法直接測量∠1的情況下，告訴工程師∠1的度數(shù)嗎？）

師：你能用不同的方法解決這個問題嗎？

生：可以先用量角器測量∠2的度數(shù)，再用三角形內(nèi)角和的知識計算∠1的度數(shù)。

生：可以先測量外面的∠3，再用“∠1+∠3=180°”計算。

生：測量都會產(chǎn)生誤差，我不需要測量。中間是一個正五邊形，根據(jù)五邊形的內(nèi)角和，可以算出內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)平角計算就可以了。

師：圍繞多邊形，數(shù)學家還產(chǎn)生了哪些新的猜想？多邊形外角和是否存在規(guī)律？外角和與邊的數(shù)量有關(guān)嗎？課后請你組建學習團隊，設計一個實驗方案，共同開展數(shù)學實驗。

[思考：以開放的問題“你能從不同角度思考問題的解決方案嗎？”引導學生從多角度進行思考，通過角與角之間的數(shù)量關(guān)系探求未知角。再以課后研究的方式，讓學生提出更多的猜想和問題，培養(yǎng)思維的發(fā)散性，最終實現(xiàn)數(shù)學思維能力的提升。]

（武捷，江蘇省南京市游府西街小學，郵編：210002）