“逆向”設計，培養空間想象力

摘 要：平面圖形的面積教學往往從長方形、正方形的面積開始，推導其他圖形的面積公式。在復習平面圖形相關知識時，教師可以“逆向”設計——讓學生根據梯形面積公式倒推其他圖形的面積公式，發展學生的空間想象力。具體地，可以從梯形面積公式“逆向”回溯，為空間想象營造場域；溝通梯形與規則圖形的變化關系，促進有意義的空間想象；探索梯形與特殊圖形的聯系，強化空間想象；通過解決圖形綜合問題，不斷提升空間想象力。

關鍵詞：空間想象力；思維導圖；圖形面積；空間推理；解決問題

空間想象力是人們對客觀事物的空間形式（空間形體與位置）進行觀察、感知、分析的思維能力，是形象思維與邏輯思維結合形成的一種認識、理解圖形形狀、位置及其變化的能力。學生學習平面圖形面積相關知識時，是從長方形、正方形的面積公式開始，用長方形、正方形的面積公式推導其他圖形的面積公式。在六年級平面圖形總復習時，筆者“逆向”設計了《梯形面積公式的妙用》一課，讓學生運用梯形面積計算公式巧妙地計算其他幾種平面圖形以及一些特殊的平面圖形的面積，培養他們的空間想象力。具體教學過程分為如下幾個階段。

一、從梯形面積公式“逆向”回溯，為空間想象營造場域

復習課教學中，讓學生繪制思維導圖，可以把零散的知識點串成線、織成網，幫助學生深入理解知識之間的聯系，讓知識可視化、條理化、系統化、結構化。同時，借助思維導圖簡短精練的關鍵詞、清晰簡潔的知識脈絡，可以幫助學生回溯知識的學習過程，發散思維。實踐證明，繪制思維導圖是培養學生空間想象力的有效途徑之一。

筆者在課始引入環節，先讓學生回顧之前學習的平面圖形，寫出它們的面積計算公式，再展示兩個學生的思維導圖（如圖1），并請他們介紹這樣畫圖的原因。最后，筆者在肯定學生畫法的基礎上提出：“這兩幅思維導圖都是以長方形的面積計算公式為基礎，由易到難，推導出了其他5種平面圖形的面積計算公式。其實，我們也可以反過來，用另一個圖形的面積計算公式來表達其他5種平面圖形的面積計算公式，請大家根據這兩幅思維導圖，猜想一下，可能是哪種圖形的面積計算公式？”學生交流、思考后，教師揭示課題：梯形面積公式的妙用。

學生借助思維導圖不僅可以溝通已經學過的6種常見平面圖形面積計算公式之間的關系，還能夠回憶以長方形的面積計算公式為基礎，推導出其他5種平面圖形的面積計算公式的學習過程。在此基礎上，讓學生調用已有的知識、經驗，逆向思考“如何用另一個圖形的面積計算公式來表達其他5種平面圖形的面積計算公式”。

二、溝通梯形與規則圖形的變化關系，促進有意義的空間想象

空間想象力的提升不是一蹴而就的，需要教師以學生已有的知識基礎、學習經驗為基石，建立空間表象，遵循循序漸進的認知規律，由易到難、由淺入深，搭建學習支架，讓學生在解決問題中感受、理解圖形之間的關系，促進有意義的空間想象。

這一階段的教學分為三個環節：第一個環節，幫助學生溝通三角形、平行四邊形與梯形之間的聯系，讓學生調用已有學習經驗，發現把梯形的上底不斷縮短，長度變為0時，梯形就變成了三角形；把梯形的上底不斷延長，延長到和下底一樣長就變成了平行四邊形。第二個環節，幫助學生溝通正方形、長方形與梯形之間的聯系，先讓學生舉例說明并計算驗證，再著重強調“正方形和長方形都是特殊的平行四邊形”。第三個環節，幫助學生溝通圓與梯形之間的聯系。出示圓的圖像及相關數據（如圖2），讓學生以小組為單位，合作研究如何用梯形面積公式來求圓的面積。

學生在第一個環節和第二個環節中，需要調動已有的學習經驗，開展空間想象，輔以動態演示，感受梯形與各個圖形之間的變化關系，并通過實例計算證明自己的推測。這兩個環節以想象為支架，幫助學生積累了初步的表象經驗。第三個環節的教學，學生原先學習圓的面積計算公式時，是通過切割轉化，把圓等分成若干等份，拼成近似的長方形來推導的，圖形的形狀實實在在地發生了變化，在動態演示的幫助下，不難想象。而“逆向”的推導過程需要學生把曲線平面圖形想象成直線平面圖形，這樣的空間想象過程對一些學生來說比較困難，因此，需要教師著力引領、同伴合作研究、列式計算驗證、畫圖推進想象，構建上底即圓心，下底為圓周長，高為圓半徑的模型。這既是極限思想與化歸思想的運用過程，也是提升學生空間想象能力的過程。

三、探索梯形與特殊圖形的聯系，強化空間想象

在研究幾何圖形知識的過程中，借助圖形表象，運用空間想象進行推理是培養學生空間想象力的重要手段之一。在復習平面圖形相關知識的過程中，應鼓勵學生大膽想象、仔細觀察、深入思考，透過現象找尋知識的本質聯系，以強化他們的空間想象。

這一階段的教學分為兩個環節：第一個環節，溝通扇形與梯形之間的聯系。出示一個圓心角、半徑、弧長已知的扇形（如圖3），讓學生求這個扇形的面積。學生發現，原本的做法需要先判斷它是圓的幾分之幾，再通過計算圓的面積來推算扇形的面積；而如果將這個扇形的圓心、半徑、弧長分別看成梯形的上底、下底和高，就可以直接用梯形的面積公式計算扇形的面積。在對比兩種計算方法的過程中，感受用梯形面積公式計算扇形面積的簡便與巧妙。

第二個環節，溝通圓環與梯形之間的聯系。出示一個圓環，給出其外圓周長、內圓周長和環寬（如圖4），讓學生求圓環的面積。學生通過小組合作，先用“外圓的面積減去內圓的面積”的方式，求出圓環的面積。再分別將內環周長、外環周長和環寬看成梯形的上底、下底和高，用梯形面積公式計算圓環的面積。最后比較兩種方法，感受梯形面積公式在計算圓環面積中的應用。

探索用梯形面積公式推導特殊幾何圖形面積的這一階段，教師需引導學生大膽想象、探究驗證，讓學生完整經歷從感知圖形表象到形成空間關系表象的全過程，讓直觀感知與空間推理在觀察、想象、比較、分析中不斷融合，強化空間想象。

四、在解決圖形綜合問題的過程中，不斷提升空間想象力

“聽到的，會忘記；看過的，能記住；運用的，才理解。”課的最后，教師要引領學生在理解平面圖形的內涵和相關聯系的基礎上，巧妙應用空間想象，重新構建幾何圖形，認清圖形結構，解決相關的圖形綜合問題，不斷提升學生的空間想象力。

這一階段，筆者設計了一個“闖三關”的游戲：第一關，已知環形的內圓周長與外圓周長的和是37.68米，環寬2米，求圓環的面積；第二關，用一個半徑是1分米的扇形做了一個圓錐形的帽子，帽子的底面周長是4分米，求做這個圓錐形帽子需要多大面積的紙；第三關，從大半圓中減去一個小半圓（如圖5），大的半圓的弧長20厘米，小的半圓的弧長是16.86厘米，BC的長為2厘米，求陰影部分的面積。

經歷了前幾個環節的學習，學生大多能夠融會貫通地將題中的各種規則或不規則的幾何圖形轉化成梯形，并運用梯形面積公式來計算。其間，學生自然而然地展開空間想象化難為易，輕松順利地解決問題，空間想象力得以提升。

總之，空間想象力需要在不斷的觀察感知、合理猜想、實踐體驗、解決問題中逐漸培養。作為教師，應積極開發有利于發展學生空間想象力的素材，讓學生在現實情境中加工、改造幾何表象，創造新圖形，更加有效地發展空間想象力。

參考文獻：

[1]賴麗華.利用思維可視化促進深度學習[J].小學數學教育，2021（9）.

[2]林秀英.利用信息技術培養小學生空間觀念[J].福建基礎教育研究，2021（9）.

（丁楊華，江蘇省南通市如東縣實驗小學，郵編：226400）