給定各邊長的空間四面體的二面角計算的探索

周作雄

【摘要】從教材給定邊長計算四面體的二面角出發，對解法進行進一步的探索，其中就包括任意棱長與圖形計算二面角、三面體的余弦定理求二面角，以及通過體積進行二面角求解，以此化解因四面體不能建系及難找二面角的平面角的難點，同時提供學生解決四面體的新解題思路，拓寬思維，提升數學運算、直觀想象等核心素養。

【關鍵詞】空間四面體;二面角;三面體余弦定理;核心素養

一、引語

二面角問題的一個常見背景是空間四面體。如今，數學教學解決二面角的方法無非兩種：幾何法和向量法。然而，新高考形勢下，二面角的求解面臨新的問題，即“非體非易”——不是規范的幾何體和二面角的平面角不易作出。在此情形下，教師要幫助學生提供解題新思路、新思維、新方法。下面以新教材課后習題為例，以此為出發點，對其進行進一步探索。具體過程如下：

普通高中課程標準A版教科書數學第二冊第164頁第18題，有這樣一個綜合運用題：

（第18題）

如圖，在三棱錐V-ABC中，VA=VB=AB=AC=BC=2，VC=1作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值。

二、教材解法

取AB的中點M，連接VM，CM.由已知條件，可得VM=，CM=，又VC=1，通過解三角形，可得二面角V-AB-C的平面角的余弦值為。（如圖1）

三、解法推廣

（1）由已知圖形與邊長推廣到任意四面體與棱長進行求解

劉永新在其《由四面體的棱長計算二面角》論文中指出：要解決通過棱長求解二面角的題目，首先需要引進陳金輝《四面體的求積公式》文章的結論：已知四面體的六條棱長，求四面體的體積公式（如圖2）：

由海倫公式推導出三角形面積公式：

過點P作底面ABC上的高PH=h，則h=，記HB=R2，HC=R3，則 根據上面的三角形面積公式，得△HBC的面積：

過點P作底面ABC上的垂線，垂足為H。同時過點P作PM⊥BC，連接MH，則∠PMH即為平面PBC與平面ABC所成二面角（如圖3）。

其中，

海倫公式：

根據此方法，將第18題數據代入得：

（2）由棱長推廣到向量工具，用三面角余弦定理進行求解

用三面體的余弦定理求解二面角的大小，適用于定義法不易作出二面角的平面角的情形，關鍵在于構造出求解的二面角所在的一個四面體，尋找四面體中其余側面所成的二面角的平面角，再用幾何知識求出四個面的面積，問題迎刃而解。

①潘朝毅，馬玉雯在《向量在二面角等相關問題中的應用》中提出，用三面體余弦定理來進行二面角的計算，過程如下：

引理1

引理2

定理1：（三面角余弦定理）四面體V-ABC中，記二面角則（如圖4）

證明：記的單位向量為a，b，c，則注意到若取平面AVC的法向量為，平面BVC的法向量為，這兩個方向對于二面角? 一定為“一進一出”，由于

故

根據此方法， 的余弦值：

②張東則在《用四面體的余弦定理求解二面角大小》中將三面體的余弦定理進行了進一步的拓展，得到：

定理2： 四面體任意一個面的面積的平方等于其它三個面的面積的平方和減去這三個面中每兩個面面積及其所夾二面角余弦之積的兩倍之和。

具體過程如下：（如圖5）在四面體中V-BCD，設二面角V-BC-D，V-CD-B，V-BD-C，C-VB-D，B-VC-D，B-VD-C的大小依次為記四個三角形的面積分別為則有：

根據此方法，V-AB-C的余弦值：

③薛大慶在《關于四面體的幾個定理》中，對上述公式進行了進一步變形后得出：

公理3：四面體任意兩個面面積的平方和減去這兩個面的面積及其所夾二面角余弦之積的兩倍等于其它兩個面面積的平方和減去這兩個面的面積及其所夾二面角余弦之積的兩倍。

根據此方法，V-AB-C的余弦值：

（3）由棱長推廣到體積，用四面體的體積進行二面角的求解

王太東、趙興鳳在《余弦、正弦定理在四面體中的推廣》中提出，二面角的計算同時可以通過體積來進行求解。

在四面體ABCD中，設頂點A，B，C，D所對的面的面積為S1，S2，S3，S4設面S1，S2，S3，S4每兩面所夾的二面角為過頂點A作AO⊥面BCD于O，在面BCD中作OE⊥BC于E，連接AE，則AE⊥BC（三垂線定理），∠AEO為二面角A-BC-D的平面角，簡記為，有∠AEO=a14（如圖6）.

同理可證：

根據此方法，V-AB-C的余弦值：其中，V'為三棱錐的體積，S1為△ABC的面積，S4為△VBC的面積。

四、結束語

如今的數學課堂教學，用向量法求解二面角的大小是一種趨勢，但當向量法無法求解時，學生會出現無法可用的尷尬現象。所以，本文提供了除向量法、幾何法外，通過棱長求解、三面體余弦定理以及體積等方法來解決此問題。雖看似繁瑣復雜，但旨在給學生提供一種新的解題思路，拓寬思維，提升數學運算、直觀想象等核心素養，讓學生更好地用數學眼光去觀察世界。

參考文獻：

[1]劉永新.由四面體的棱長計算二面角[J].安順師專學報（自然科學版），1998（4）：39-42.

[2]陳金輝.四面體的求積公式[J].數學通報，1985（3）：2.

[3]潘朝毅，馬玉雯.向量在二面角等相關問題中的應用[J].四川職業技術學院學報，2020，30（6）：138-141.

[4]張東.用四面體的余弦定理求解二面角大小[J].高中數學教與學，2020（5）：23-25，16.

[5]薛大慶.關于四面體的幾個定理[J].中學數學教學，1984（2）：9-11.

[6]王太東，趙興鳳.余弦、正弦定理在四面體中的推廣[J].數學通訊，2001（9）：16-17.

責任編輯? 楊? 杰