基于二次調(diào)頻小波變換的時變系統(tǒng)物理參數(shù)識別

趙宗爽，史治宇，張杰

(1.南京航空航天大學(xué) 航空學(xué)院，江蘇 南京 210016；2.中國航發(fā)商用航空發(fā)動機(jī)有限責(zé)任公司，上海 201100)

0 引言

過去幾十年中，針對傳統(tǒng)時不變系統(tǒng)的動力學(xué)參數(shù)識別方法研究已十分成熟并逐步形成了一系列理論體系，按照識別過程中是否采用激勵數(shù)據(jù)可將時不變參數(shù)識別方法分為試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析(experimental modal analysis,EMA)及運(yùn)行模態(tài)分析(operational modal analysis,OMA)兩大類[1]。然而隨著現(xiàn)代科技的突飛猛進(jìn)和新興領(lǐng)域的迅速崛起，實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)了越來越多的時變問題，譬如航天器中太陽能電池帆板和機(jī)械臂的展開問題；火箭和飛機(jī)高速飛行過程中，隨著質(zhì)量不斷減小結(jié)構(gòu)氣動剛度隨時間變化的問題；列車過橋時，隨著列車位置的移動，車-橋系統(tǒng)的剛度和阻尼隨時間變化的問題；隨時間變化能自動調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)的智能材料的使用問題等[2]。為了解決這類時變結(jié)構(gòu)的動力學(xué)問題，研究時變結(jié)構(gòu)的參數(shù)識別方法就顯得尤其重要。

目前國內(nèi)外學(xué)者對于時變系統(tǒng)參數(shù)識別問題的研究提出了一系列方法，主要可以歸為兩類：第一類方法主要基于短時時不變假設(shè)，應(yīng)用具有局部時頻分析能力的信號處理工具[3-4](短時傅里葉變換(STFT)、維納分布(WVD)、小波變換(WT))或基于子空間模型進(jìn)行參數(shù)識別，而此類方法在計(jì)算量和識別精度上難以兼顧，識別效率比較低。后有學(xué)者為解決此類問題引入了線調(diào)頻小波分析工具[5]，雖有效提高了算法的識別精度和效率，但其仍是基于短時線變假設(shè)，對于非線性變化情況的識別并不理想。第二類方法是從信號的整體分解出發(fā)，自適應(yīng)地將信號分解成多個本征模態(tài)函數(shù)，再對每個分量作參數(shù)識別，比較典型的就是希爾伯特黃變換(HHT)[6-8]。該類方法主要基于經(jīng)驗(yàn)分解，缺乏充分的理論依據(jù)，且存在模態(tài)混疊、邊界效應(yīng)問題。基于以上識別方法的研究內(nèi)容，結(jié)合時變系統(tǒng)的響應(yīng)特性，在短時時域區(qū)間內(nèi)通過二次多項(xiàng)式來擬合信號的頻率變化，這種非線性的擬合方式相比于短時時不變和短時線變，可進(jìn)一步增長分析時窗的寬度，降低迭代計(jì)算的次數(shù)提高計(jì)算效率。二次調(diào)頻小波作為一種廣義的小波函數(shù)能夠很好地實(shí)現(xiàn)信號的非線性擬合[9]，同時由于多個調(diào)頻參數(shù)的引入，對于信號在短區(qū)間內(nèi)快變、突變的情況也能夠精確刻畫并追蹤時變特性。

本文首先基于二次調(diào)頻小波變換(QCT)結(jié)合時域?yàn)V波方法將多分量信號進(jìn)行分解，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步推導(dǎo)了二次調(diào)頻小波基函數(shù)的積分運(yùn)算，通過測量結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)信號重構(gòu)得出速度及位移響應(yīng)信號，將時變系統(tǒng)微分方程轉(zhuǎn)化為線性方程。結(jié)合分?jǐn)?shù)階模糊函數(shù)的相關(guān)特性[10-12]得出了二次調(diào)幅調(diào)頻信號的相關(guān)性理論。在此基礎(chǔ)上對激勵和響應(yīng)作自相關(guān)得到系統(tǒng)時變參數(shù)和響應(yīng)相關(guān)系數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)時變物理參數(shù)的識別。最后通過仿真算例和相關(guān)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文算法的正確性及實(shí)用性。

1 QCT及其函數(shù)積分運(yùn)算

二次調(diào)頻小波變換是將信號s(t)投影到一族二次調(diào)頻小波基函數(shù)b(t0,a1,a2,a3)(t)上，b(t0,a1,a2,a3)(t)可定義為

b(t0,a1,a2,a3)(t)=w(t-t0)exp{j[a1(t-t0)+a2(t-t0)2+a3(t-t0)3]}

(1)

QCTb(t0,a1,a2,a3)=〈z(t),b(t0,a1,a2,a3)(t)〉=

a3(t-t0)3]}dt

(2)

(3)

對上式分部積分，結(jié)合基函數(shù)滿足的兩個特性將上式化簡可得

(4)

由上式可以得出，對函數(shù)f(t)一階不定積分的二次調(diào)頻小波變換相當(dāng)于對f(t)使用基函數(shù)的一階原函數(shù)作為基函數(shù)進(jìn)行二次調(diào)頻小波變換，即

(5)

同理，函數(shù)f(t)二階不定積分的二次調(diào)頻小波變換可由f(t)使用基函數(shù)的二階原函數(shù)作為基函數(shù)進(jìn)行二次調(diào)頻小波變換得出，即

(6)

2 時變系統(tǒng)參數(shù)識別

對于一個K自由度的線性時變動力學(xué)系統(tǒng)，其受迫振動可用下列方程來表示：

(7)

其中：M(t)、C(t)、K(t)分別為K×K的時變質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；x(t)、u(t)分別為K×1的位移向量和激勵力向量。

結(jié)合上節(jié)積分推導(dǎo)，時變系統(tǒng)微分方程可轉(zhuǎn)化為線性方程：

(8)

通過上式便能對確定性激勵下的時變系統(tǒng)進(jìn)行物理參數(shù)識別，但對于隨機(jī)激勵仍需對其相關(guān)性做進(jìn)一步研究。分?jǐn)?shù)階傅里葉變換作為傅里葉變換的廣義形式定義為

(9)

Kp(u,t)=

(10)

其中：Fp(u)為信號f(t)的p階分?jǐn)?shù)階傅里葉變換；Kp(u,t)為核函數(shù)；p為分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的階數(shù)；α=pπ/2。結(jié)合其模糊函數(shù)的相關(guān)理論可得信號的自相關(guān)函數(shù)為

(11)

在得出以上二次調(diào)幅調(diào)頻信號相關(guān)性理論的基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步推導(dǎo)隨機(jī)環(huán)境激勵下時變系統(tǒng)的物理參數(shù)識別算法。

3 仿真算例

4自由度的彈簧阻尼時變結(jié)構(gòu)如圖1所示。系統(tǒng)的初始位移和初始速度均為0，結(jié)構(gòu)參數(shù)隨時間變化之前的設(shè)定如下：

圖1 4自由度系統(tǒng)示意圖

(12)

對4個自由度均施加高斯白噪聲激勵，均值為0，方差為100，響應(yīng)信號由Newmark-β計(jì)算，總的采樣時間為t=20 s，采樣頻率1 200 Hz。為充分考察識別方法的有效性和可靠性，設(shè)置時變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量系數(shù)和剛度系數(shù)隨時間同時變化，且時變情況為線性變化、周期變化、二次函數(shù)變化、快速突變的組合，具體變化情況設(shè)置如下：

應(yīng)用本文提出的算法對結(jié)構(gòu)的時變參數(shù)進(jìn)行識別，質(zhì)量、剛度識別結(jié)果如圖2、圖3所示，從識別結(jié)果可以看出本文算法對于數(shù)量級較小的質(zhì)量識別精度高、誤差小，有效避免了與數(shù)值較大的剛度一同識別時質(zhì)量識別誤差很大的情況，表明本文算法具有較好的工程應(yīng)用前景和實(shí)用價值。

圖2 質(zhì)量識別結(jié)果

圖3 剛度識別結(jié)果

4 結(jié)語

1)本文基于二次調(diào)頻小波理論，對時變結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號的頻率信息進(jìn)行短時非線性擬合，結(jié)合二次調(diào)頻小波變換將多分量信號分解為單分量的調(diào)幅調(diào)頻信號；

2)提出了函數(shù)積分運(yùn)算的二次調(diào)頻小波變換計(jì)算方法，通過測量得到的時變結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)，將時變系統(tǒng)微分方法轉(zhuǎn)化為線性方程；同時結(jié)合分?jǐn)?shù)階模糊函數(shù)的相關(guān)特性，推導(dǎo)了二次調(diào)頻信號的自相關(guān)理論，得出了隨機(jī)激勵下時變系統(tǒng)物理參數(shù)的識別方法。

3)仿真算例中4自由度時變結(jié)構(gòu)，質(zhì)量和剛度參數(shù)的變化為線性變化、周期變化、二次函數(shù)變化、快速突變4種的組合情況，有效驗(yàn)證了本文所提算法的正確性。