單齒輪副面齒輪分扭傳動機構的接觸斑點分析研究

李科攀，劉李，葉佩佩，靳廣虎

(1.南京航空航天大學 直升機傳動技術試驗室，江蘇 南京 210016；2.中國航空發動機集團有限公司 湖南動力機械研究所，湖南 株洲 412002)

0 引言

面齒輪傳動具有傳動比大、可靠性高和結構緊湊等諸多優點，在航空、船舶等高速、重載機械傳動領域具有良好的應用前景。美國軍方已將面齒輪應用于直升機主減速器中。LITVIN F L等[1-2]研究了面齒輪的齒面方程、齒寬特征和接觸分析；譚武中等[3]分析了面齒輪在直升機傳動系統中的應用前景；汪中厚等[4]研究了正交面齒輪副的接觸斑點及傳遞誤差。

在面齒輪分扭傳動機構方面，BOSSLER R B[5]提出了一種具有兩個功率提取路徑傳遞轉矩的齒輪裝置。趙寧等[6]分析了同軸面齒輪傳動系統的靜態均載特性；在面齒輪制造方面，王延忠等[7]提出使用蝶形刀具通過磨削的方式來加工面齒輪；唐進元團隊[8]提出了面齒輪的插銑加工及刨削加工。

由上述分析可知，對于傳動系統中同時包含多個面齒輪副且考慮承載變形的接觸特性影響因素的研究尚且欠缺。因此，本文首先根據受力分析了機構中的承載變形；建立了包含承載變形的面齒輪副接觸軌跡方程；獲得了承載變形對接觸斑點在面齒輪齒面上位置的影響規律；并通過有限元分析對該理論方法進行了驗證。

1 傳動機構的承載變形分析

在圖1中，動力通常由圓柱齒輪輸入，并將功率分流至兩個面齒輪。然而，由圓柱齒輪流向兩個面齒輪的功率往往不均等，從而影響到面齒輪的接觸，并最終影響系統的壽命。為分析載荷分配對上下兩個面齒輪副接觸斑點的影響，需要對機構中的受力情況進行分析。

圖1 單齒輪副分扭傳動機構模型

如圖2所示，將嚙合力分解，獲得面齒輪的軸向力和切向力。對面齒輪2，兩個分別為Fz21和Fx21，面齒輪3則為Fz31和Fx31。面齒輪2和面齒輪3相應于圓柱齒輪的反作用力分別為Fy12、Fx12、Fy13和Fx13。

圖2 傳動機構的受力分析示意圖

根據理論力學中力的平移理論，作用在剛體上的力可以平移到任一點，但必須附加一個力偶，使力偶矩等于原力對新作用點之矩。如圖3所示，以圓柱齒輪為研究對象，當Fy12和Fy13不能在y1方向平衡時，圓柱齒輪1的支撐軸將在y1方向產生徑向變形ay1；同時，圓柱齒輪1的支撐軸受到(Fy12-Fy13)引起的彎矩My1作用，會在y1z1平面內產生彎曲變形by1。同樣，Fx12和Fx13不能在x1方向平衡時，圓柱齒輪1的支撐軸將在x1方向上產生徑向變形ax1，此時在(Fx12-Fx13)引起的彎矩Mx1的作用下，圓柱齒輪1的支撐軸會在x1z1平面內產生彎曲變形bx1。在驅動轉矩T1和反作用轉矩(Fx12+Fx13)r1的作用下，小齒輪的支撐軸會產生扭轉變形s1。

圖3 圓柱齒輪力的簡化示意圖

如圖4所示，以面齒輪2為研究對象，切向力Fx21使得面齒輪2的支撐軸在x2方向上產生徑向變形ax21；在切向力Fx21產生的彎矩Mx2的作用下，面齒輪2的支撐軸會在x2z2平面內產生扭轉變形bx21；在軸向力Fz21的作用下，面齒輪2的支撐軸會在z2方向上產生軸向變形az2，同時軸向力Fz21會在y2z2平面內產生彎矩Mz2，并在y2z2平面內使得面齒輪軸線產生傾轉角變形bz21。此外，支撐軸還存在扭轉變形s2。

圖4 面齒輪力的簡化示意圖

2 包含承載變形的齒面接觸軌跡方程

根據已有研究成果[9]，可將各項承載變形轉換為安裝誤差。如圖5和圖6所示，假設圓柱齒輪和面齒輪無承載變形時的坐標系分別為Sgc和Sfc，有承載變形發生的坐標系分別為Sgc′和Sfc′。那么通過坐標轉換可以得到對于兩個坐標系之間的轉換關系。

圖5 圓柱齒輪變形量的轉化

圖6 面齒輪變形量的轉化

在圓柱齒輪坐標系Sg中，圓柱齒輪的齒面∑g和面齒輪的齒面∑f在接觸點處應有相同的位置向量和法線向量，其在數學上的表達式為

(1)

(2)

式中：Mgc,f為面齒輪與圓柱齒輪之間的坐標轉換矩陣；Agc,f為Mgc,f前三行、前三列所組成的子矩陣。將式(2)代入式(1)中可獲得包含變形量的面齒輪副嚙合點應滿足的方程，即

(3)

式中：rgx(1)、rgy(1)、rgz(1)和rgx(2)、rgy(2)、rgz(2)分別表示rg(1)和rg(2)的分量；ngx(1)、ngy(1)、ngz(1)和ngx(2)、ngy(2)、ngz(2)分別表示ng(1)和ng(2)的分量。求解式(3)可獲得面齒輪齒面方程中的參數θs和φs，帶入到面齒輪齒面方程即可獲得面齒輪齒面上的接觸點。

3 承載變形對接觸斑點的影響

根據彈性體的接觸理論以及點接觸面齒輪副中的齒面幾何特性，可獲得圓柱齒輪與面齒輪嚙合副齒面接觸點處的接觸橢圓的長、短半軸的計算公式為

(4)

式中：μ1、E1和μ2、E2分別為圓柱齒輪和面齒輪材料的泊松比、彈性模量；K11、K12和K21、K22分別為圓柱齒輪和面齒輪在嚙合點處的主曲率；u和v為橢圓積分函數，可根據求得的τ數值查橢圓積分系數表[10]獲得。參數τ為

(5)

根據以上理論，對系統中的接觸橢圓進行計算，本文所使用的參數如表1所示。

表1 系統的結構參數

定義面齒輪2處和面齒輪3處的面齒輪副分別為面齒輪副2和齒輪副3。為研究承載變形對機構中每個面齒輪副接觸斑點的影響，分別計算了圓柱齒輪承載變形(包括ax1、ay1、bx1、by1和s1)和面齒輪承載變形(包括ax21、az2、bz21、bx21和s2)對各面齒輪副接觸橢圓的影響。計算結果如圖7-圖9所示；數據統計結果如表2-表4所示。表中最后一行表示無變形時接觸斑點中心在面齒輪齒面上的原始位置。

圖7 圓柱齒輪變形對面齒輪副2接觸斑點的影響

圖8 圓柱齒輪變形對面齒輪副3接觸斑點的影響

圖9 面齒輪2變形bz21對面齒輪副2接觸斑點的影響

表2 圓柱齒輪變形對面齒輪副2接觸斑點位置的影響

表3 圓柱齒輪變形對面齒輪副3接觸斑點位置的影響

表4 面齒輪2變形對面齒輪副2接觸斑點位置的影響

根據圖7-圖9和表2-表4可知：

1)面齒輪齒面上接觸斑點的長軸遠大于短軸，接觸斑點近似為沿長軸方向的線段，接觸斑點的方向為由內半徑的齒頂指向外半徑的齒根。

2)圓柱齒輪和面齒輪的承載變形使接觸斑點在齒面上的位置發生改變。對于面齒輪副2，使接觸斑點沿面齒輪2齒面向內半徑方向移動的有ax1、az2和bz21，使接觸斑點向外徑方向移動的有ay1、by1和ax21；對于面齒輪副3，使接觸斑點沿面齒輪3齒面向內半徑方向移動的有ay1、by1、az2和bz21；使接觸斑點向外徑方向移動的有ax1和ax21；其他變形量對接觸橢圓的位置基本無影響。

4 有限元驗證

為驗證接觸斑點理論分析的有效性，通過Ansys分析軟件對系統的接觸進行仿真。有限元模型如圖10所示。對圓柱齒輪施加轉矩2 500 Nm。

圖10 分扭傳動系統網格劃分結果

圖11為有限元分析結果。由圖可見，接觸域中心的連線為斜線(接觸橢圓的長軸)指向內徑的齒頂；接觸橢圓的長軸遠大于短軸。這與理論分析獲得的接觸橢圓分布趨勢以及接觸橢圓長、短半軸尺寸之間的關系一致，間接驗證了理論分析的有效性。

圖11 圓柱齒輪與面齒輪嚙合齒面的接觸應力云圖

5 結語

1)單齒輪副面齒輪分扭傳動機構兩支路的嚙合力會使圓柱齒輪與面齒輪的空間相對位置發生改變，使接觸斑點偏離理想接觸位置；

2)由于兩個面齒輪的空間位置以及面齒輪副間的承載力差異，相對于兩個面齒輪來說，圓柱齒輪的承載變形分為正值和負值，因此對兩面齒輪齒面接觸橢圓位置的影響正好相反；圓柱齒輪與面齒輪副齒面接觸橢圓對兩齒輪軸線夾角的變化最敏感；

3)為降低承載變形對接觸斑點位置造成的影響，使機構中的各個面齒輪副都具有良好的接觸效果，應采取調整措施使兩支路載荷盡量均等，使接觸斑點位于面齒輪齒面中部，以延長機構的使用壽命。