差速齒輪傳動系統的動態嚙合力影響規律研究

胡東根，李政民卿，張健

(南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京 210016)

0 引言

差速齒輪傳動系統具有結構緊湊、差速傳動的特點，因此被廣泛應用于汽車、船舶等傳動領域。在準靜態傳遞誤差的內部激勵下，系統將產生復雜的振動特性，既增大了噪聲，也縮短了壽命。為此，開展差動齒輪傳動系統的動力學特性研究具有重要意義。

國內外學者對差動齒輪傳動系統動力學問題進行了研究。薛亮等[1]利用ADAMS軟件進行了差速齒輪傳動系統動力學仿真優化分析。肖澤艷等[2-3]設計了對稱式行星差速齒輪傳動系統，并對齒輪進行了靜態和動態接觸分析。VELEX P和MAATER M等[4]研究了齒輪制造和安裝誤差對差速齒輪傳動系統振動和噪聲的影響。

目前,對差動齒輪傳動系統的動力學研究主要集中在定軸狀態,對差動狀態下的動力學特性研究較少。本文以差速齒輪傳動系統為研究對象，建立了系統扭轉振動模型，分析了系統在準靜態傳遞誤差激勵下從定軸狀態到差動狀態的動力學響應，為差速齒輪傳動系統的研制提供了技術支持。

1 傳動系統結構及動力學模型

本文針對差速齒輪傳動系統設計了如圖1所示的構型方案。其主要包括兩個部分：固定齒輪箱和差速齒輪箱。原動機輸入經過錐齒輪1、錐齒輪2換向減速后，輸出至錐齒輪3，差動輸入直接作用在差動輪系中固定行星架的箱體上，最終動力輸出至中間錐齒輪4。

圖1 傳動系統構型方案示意圖

建立動力學模型如圖2所示[5-7]。在建立該模型時，采用集中質量法，將原動機、聯軸器、負載、齒輪、行星架等作為集中質量來處理，不考慮軸的質量，將其處理為扭轉彈簧，并在齒輪嚙合傳動的過程中考慮齒輪間的嚙合剛度和嚙合阻尼。

圖2 差速齒輪傳動系統動力學模型

2 系統的振動微分方程

對于圖2中的傳動系統扭轉振動動力學模型，以輸入轉矩作用下各個構件產生的運動方向為各自角位移運動的正方向。不考慮連接軸自身的質量，將原動機、齒輪、聯軸器以及負載分別簡化處理成具有轉動慣量的元件，并考慮齒輪4繞公轉軸線方向的自由度。所以該動力學模型是具有10個自由度的扭轉振動系統，其中9個自由度分別描述了系統中的9個轉動慣量元件(原動機、齒輪1、齒輪2、中間聯軸器、齒輪3、齒輪4、齒輪5、行星架、負載)的扭轉振動位移θM、θ1、θ2、θC、θ3、θ4、θ5、θH、θL，1個自由度描述了齒輪4繞公轉軸線方向的扭轉振動位移θr。

假設e為系統齒輪副間的準靜態傳遞誤差，并用不同的下標表示。由幾何分析可得系統齒輪副間沿嚙合線方向的位移如下：

(1)

式中：xij表示齒輪i、j間齒輪副沿嚙合線方向的位移；Ri表示齒輪i的基圓半徑；eij表示齒輪i、j間齒輪副的準靜態傳遞誤差。

根據上述嚙合線位移分析，易得各齒輪副間的動態嚙合力為

(2)

式中：Wij表示齒輪i、j間齒輪副的動態嚙合力；cij表示齒輪i、j間齒輪副的嚙合阻尼；kij表示齒輪i、j間齒輪副的嚙合剛度。

由此可推得系統動力學方程如下：

(3)

當差動輸入為0時，此時控制行星架運動的箱體固定不動，動力學方程變為

(4)

式中：IM、I1、I2、IC、I3、I4、I5、IH、Ir、IL分別為10個集中轉動慣量；c1、c2、c3、c4分別為各傳動軸的扭轉阻尼；c5表示軸承的支撐阻尼；k1、k2、k3、k4分別為各傳動軸的扭轉剛度；k5表示軸承的支撐剛度;c12、c34、c45分別為各齒輪副的嚙合阻尼；k12、k34、k45分別為各齒輪副的嚙合剛度；TM和TL分別為作用在原動機與負載上的轉矩；TH表示差動輸入的力矩；r表示中間錐齒輪4到公轉軸線的半徑；W12、W34、W45分別為各輪齒嚙合的動態嚙合力。

3 傳動系統的準靜態傳遞誤差分析

在齒輪嚙合傳動的過程中，準靜態傳遞誤差(static transmission error,STE)是齒輪傳動系統中動力學關鍵激勵，在做傳動系統動力學特性分析前，求得系統準靜態傳遞誤差是必不可少的。準靜態傳遞誤差定義為：“從動輪實際位置與理想位置之間的差值”，理想位置指的是主、從動輪均為理想漸開線齒廓且無彈性變形時從動輪的位置。準靜態傳遞誤差可表示為

STE=δ2-δ1+Δf∑

(5)

式中：δ表示輪齒沿嚙合線方向的變形量，下標1和2分別表示主動輪和從動輪；Δf∑表示系統等效誤差，主要由齒形誤差ff、中心距安裝誤差fa、基節誤差fpb以及齒向誤差fb組成。將上述4種誤差沿嚙合線方向擬合，有

(6)

針對本文研究的差速齒輪傳動系統，計算其準靜態傳遞誤差，其中定軸狀態下傳動系統的準靜態傳遞誤差曲線如圖3所示。為方便后傳動系統動力學特性分析，對準靜態傳遞誤差曲線進行傅里葉擬合，得到傅里葉擬合的曲線如圖4所示。

圖3 穩態下準靜態傳遞誤差

圖4 傅里葉擬合曲線

4 動態嚙合力分析

在原動機正常工作時，主輸入的功率為15 kW，轉速為6 000 r/min。針對振動微分方程式(4)采用四階龍格-庫塔方法求解，然后將求解出的結果作為振動微分方程式(3)中各變量的初始狀態，并采用四階龍格-庫塔方法求解，然后根據式(2)求解齒輪3、齒輪4間齒輪副從定軸狀態到差動狀態下的動態嚙合力。動態嚙合力幅值先快速衰減，后保持不變，動態嚙合力隨時間周期變化，如圖5所示。

圖5 動態嚙合力變化圖

改變差動輸入轉速，分別求解系統在不同差動輸入轉速下快速衰減階段和周期變化階段的最大動態嚙合力。結果表明：當差動輸入正向時，快速衰減階段的最大動態嚙合力隨著轉速增大而減?。环聪驎r，隨著轉速增大而增大，如圖6所示。當差動輸入正向時，周期變化階段的最大動態嚙合力隨轉速增大而增大；反向時，隨著轉速增大而減小，如圖7所示。

圖6 快速衰減階段最大動態嚙合力變化趨勢圖

圖7 周期變化階段最大動態嚙合力變化趨勢圖

5 結語

本文根據設計的傳動系統結構，建立傳動系統的動力學模型和系統振動微分方程，計算齒輪副的準靜態傳遞誤差，并將其作為傳動系統的動態激勵。通過Matlab/Simulink求解系統振動微分方程，改變差動輸入轉速的大小和方向，進行動態嚙合力分析。結論如下：

1)差速齒輪傳動系統從定軸狀態到差動狀態時，動態嚙合力的幅值先快速衰減，之后保持不變，動態嚙合力隨時間周期變化。

2)傳動系統從定軸狀態到差動狀態下，動態嚙合力振幅在快速衰減階段的最大值會隨著差動輸入轉速大小和方向的變化而變化；正向時，最大動態嚙合力隨著轉速增大而減??；反向時，隨著轉速增大而增大。

3)不同差動輸入下，進入周期變化階段的動態嚙合力相較于定軸狀態會發生變化，差動輸入正向時，最大動態嚙合力增大，反之減小，且正向時，隨著轉速增大，最大動態嚙合力增大，反向時，隨著轉速增大而減小。