用畫(huà)說(shuō)話，以畫(huà)促思

黃城紅 吳雪斐

“倍”是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)基礎(chǔ)概念，是各個(gè)版本教材的“種子課”。各版本教材雖然選取的素材不一樣，但編排思路類似，都是先用一個(gè)例題來(lái)教學(xué)“倍”的基本概念，再通過(guò)給定的練習(xí)來(lái)鞏固概念。在教學(xué)之前，我們有如下思考。

1.學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性如何發(fā)揮。在幾個(gè)版本教材的編排中，都是通過(guò)“例題+練習(xí)”的模式來(lái)進(jìn)行教學(xué)。這種固有的學(xué)習(xí)節(jié)奏，學(xué)生被牽著鼻子走，牽到哪里，學(xué)到哪里。學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性沒(méi)有得到發(fā)揮，原有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)無(wú)從利用，創(chuàng)造性被限制，處于一種被動(dòng)的學(xué)習(xí)狀態(tài)中。

2.學(xué)生的思維能力如何培養(yǎng)。數(shù)學(xué)是抽象的，如何在教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、建模能力？如何通過(guò)畫(huà)有意義的圖，讓學(xué)生在直觀與抽象之間進(jìn)行自然的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力？如何更好地把“倍”的學(xué)習(xí)納入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體結(jié)構(gòu)當(dāng)中？基于如上思考，我們進(jìn)行了如下教學(xué)實(shí)踐。

一、“倍”的初體驗(yàn)

師：同學(xué)們，今天我們來(lái)學(xué)習(xí)一個(gè)新的教學(xué)內(nèi)容。請(qǐng)看黑板，認(rèn)識(shí)這個(gè)字嗎？（板書(shū)：倍）

生：我知道，它的意思就是誰(shuí)是誰(shuí)的幾倍……

師：那我就來(lái)考考你們。請(qǐng)看，屏幕上有兩個(gè)三角形，你們能畫(huà)圓，使圓的個(gè)數(shù)是三角形的3倍嗎？

（學(xué)生趣味盎然地畫(huà)圓。教師請(qǐng)3個(gè)同學(xué)在黑板上展示畫(huà)法并介紹想法）

生：我是這樣想的，三角形有2個(gè)，它的3倍就是二三得六，所以我就畫(huà)了6個(gè)圓（如圖1所示）。

生：我也是這樣想的，三角形有2個(gè)，它的3倍就是3個(gè)2，也畫(huà)了6個(gè)圓（如圖2所示）。

生：我也是這樣想的（如圖3所示）。

師：他們畫(huà)的都是6個(gè)圓，但所畫(huà)的圖還是有區(qū)別的，看到這幾幅圖，你們有什么想說(shuō)的？

生：我最喜歡圖2，因?yàn)樵诿?個(gè)圓之間用一條虛線隔開(kāi)了。這樣就看得很清楚，圓有3份，就表示3倍。

生：我更喜歡圖3，用圈把每一份數(shù)都圈起來(lái)了，這樣就能很清楚地看出，圓的個(gè)數(shù)是三角形的3倍。而且我還發(fā)現(xiàn)，圖1、圖2只畫(huà)了圓的數(shù)量，圖3把三角形的數(shù)量也畫(huà)出來(lái)了，這樣就說(shuō)明圓的個(gè)數(shù)是三角形的3倍，而不是其他圖形的3倍，這樣表示的意思更準(zhǔn)確。

（學(xué)生鼓掌表示贊同）

師：從掌聲來(lái)看，同學(xué)們認(rèn)為既要把原有的三角形畫(huà)出來(lái)，又要把每?jī)蓚€(gè)圓為一份做標(biāo)記。從圖3就可以清楚地看出，2個(gè)三角形是一份數(shù)，圓形的個(gè)數(shù)有這樣的3份，就表示圓的個(gè)數(shù)是三角形的3倍。

【評(píng)析】在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師利用學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，“誘導(dǎo)”學(xué)生把“倍”的意思用圖表達(dá)出來(lái)。在學(xué)生把各自的想法用圖表示出來(lái)后，再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所畫(huà)的圖進(jìn)行比較、總結(jié)，讓學(xué)生初步、準(zhǔn)確地建立倍的概念：倍，要先明確一份數(shù)，再看有這樣的幾份，就是幾倍。通過(guò)學(xué)生主動(dòng)、直觀的表達(dá)，觀察和比較，初步理解和建構(gòu)“倍”的概念。

二、明確“倍”的概念

師：看來(lái)同學(xué)們會(huì)畫(huà)2個(gè)三角形的3倍了，你們還會(huì)畫(huà)正方形，使正方形的個(gè)數(shù)是這2個(gè)三角形的4倍嗎？

（學(xué)生很快畫(huà)出圖，如圖4）

生：把這2個(gè)三角形圈起來(lái)，就是一份。畫(huà)4個(gè)圈，每個(gè)圈里有2個(gè)正方形，就表示有4個(gè)2，正方形的個(gè)數(shù)就是三角形的4倍。

師：這2個(gè)三角形的3倍、4倍會(huì)畫(huà)了，那你們還會(huì)畫(huà)這2個(gè)三角形的多少倍？

生：我還會(huì)畫(huà)這2個(gè)三角形的5倍、6倍、7倍……

（學(xué)生說(shuō)完很快地畫(huà)出圖，如圖5所示，并解釋道：2個(gè)三角形圈成一份?，F(xiàn)在畫(huà)了5個(gè)圈，每個(gè)圈里有2個(gè)涂陰影的圓，涂陰影的圓的個(gè)數(shù)就是三角形的5倍）

師：這個(gè)時(shí)候你們對(duì)“倍”有什么樣的認(rèn)識(shí)？

生：我覺(jué)得“倍”跟我們以前學(xué)的乘法是有聯(lián)系的。請(qǐng)看，3倍就是3個(gè)2，4倍就是4個(gè)2，5倍就是5個(gè)2……

師：這個(gè)同學(xué)總結(jié)得非常好！從這些圖中我們確實(shí)可以看出，一個(gè)數(shù)的幾倍就是幾個(gè)幾。

【評(píng)析】在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師順應(yīng)了學(xué)生的思路，一份數(shù)的量“2個(gè)”保持不變，引導(dǎo)學(xué)生依次畫(huà)出2個(gè)三角形的4倍、5倍……通過(guò)畫(huà)直觀圖，學(xué)生就容易自主地概括出倍的本質(zhì)含義：在保持一份數(shù)不變的情況下，有幾份就是幾倍。這個(gè)教學(xué)過(guò)程，沒(méi)有教師的強(qiáng)加，而是學(xué)生自主體驗(yàn)后的自然概括，讓“倍”的概念教學(xué)水到渠成。

三、升華“倍”的認(rèn)識(shí)

師：對(duì)于“倍”的認(rèn)識(shí)，你們還有什么問(wèn)題嗎？

生：剛才我們畫(huà)的圖里，都是每個(gè)圈里只有2個(gè)三角形。每個(gè)圈里可不可以是3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)……三角形呢？

師：這個(gè)同學(xué)提的問(wèn)題非常好！如果現(xiàn)在一個(gè)圈里畫(huà)了3個(gè)三角形，那它的3倍怎么表示？

生：那就在下面一行畫(huà)3個(gè)圈，每個(gè)圈里要畫(huà)3個(gè)圓。

（學(xué)生畫(huà)出圖，如圖6）

生：通過(guò)畫(huà)圖我明白了，圖6中下面一行，每個(gè)圈里圓的個(gè)數(shù)，都要和原來(lái)一份數(shù)的個(gè)數(shù)一樣多。下面每個(gè)圈里圓的個(gè)數(shù)，是由上面圈里三角形的個(gè)數(shù)決定的。如果上面那個(gè)圈里三角形有4個(gè)，那下面一行中每個(gè)圈里的圓也有4個(gè);如果上面那個(gè)圈里三角形有5個(gè)，那下面一行中每個(gè)圈里的圓也有5個(gè)，以此類推。

師：這個(gè)圈里可以放幾個(gè)三角形或者幾個(gè)圓？

生：可以是1個(gè)，也可以是2個(gè)，還可以是3個(gè)……甚至是無(wú)數(shù)個(gè)，但不管是幾個(gè)，用圈圈一下，就表示一份數(shù)。

師：看來(lái)這個(gè)圈的本領(lǐng)真不小啊，還能圈無(wú)數(shù)個(gè)三角形！

生：我現(xiàn)在明白“倍”的意思了。先圈出一份數(shù)，這個(gè)一份數(shù)可以是1個(gè)，可以是2個(gè)，也可以是3個(gè)……不管是幾個(gè)，圈起來(lái)了就表示一份數(shù)，再看幾個(gè)這樣的圈，就是幾倍。

師：這個(gè)時(shí)候，你們還有什么問(wèn)題嗎？

生：是啊，這個(gè)圈的本領(lǐng)可真大，能表示1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)……咦，假如這個(gè)圈里有100個(gè)三角形，畫(huà)不下呢？這可怎么辦呀？

師：這個(gè)同學(xué)的問(wèn)題問(wèn)得太好了！是啊，如果要在圈里畫(huà)100個(gè)三角形，會(huì)畫(huà)得很累的！怎么解決這個(gè)問(wèn)題？

生（興奮地）：我想到了！可以用數(shù)來(lái)代替，就在每個(gè)圈里寫(xiě)數(shù)100。

師：你太棒了，你的想法真好！

師：除了畫(huà)一個(gè)圈，在圈里寫(xiě)上數(shù)100表示一份數(shù)。還可以怎么畫(huà)圖，表示一份數(shù)是100？

生：可以畫(huà)線段圖，在每條線段上寫(xiě)上數(shù)100。

師：那就用你們喜歡的方法來(lái)表示：紅花有100朵，黃花的朵數(shù)是紅花的3倍。

（學(xué)生畫(huà)圖展示，如圖7）

師：你們畫(huà)得都非常好，都正確地表達(dá)了黃花的朵數(shù)是紅花的3倍。當(dāng)然，畫(huà)線段圖時(shí)，可以仿照這個(gè)同學(xué)的畫(huà)法，把表示黃花的3段連在一起，這就是我們常用的線段圖。

【評(píng)析】數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是抽象。在本教學(xué)環(huán)節(jié)中，在前面通過(guò)直觀圖表達(dá)倍的概念的基礎(chǔ)上，又進(jìn)一步抽象，還可以直接用數(shù)來(lái)表示物體的個(gè)數(shù)，讓學(xué)生很自然地體會(huì)到，一份數(shù)不僅可以是一個(gè)物體，還可以是多個(gè)物體形成的一個(gè)整體，這樣就準(zhǔn)確、完整地建立了“倍”的概念，也為今后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)，建立“單位1”的概念進(jìn)行了鋪墊和滲透。這個(gè)教學(xué)過(guò)程由學(xué)生自己的問(wèn)題開(kāi)始，順著學(xué)生的思路順藤摸瓜，逐步抽象、建模，一步一步地觸摸“倍”的本質(zhì)。這個(gè)過(guò)程，學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性得以激發(fā)，創(chuàng)造性得以發(fā)揮，思維能力得以培養(yǎng)。

四、“倍”的整體結(jié)構(gòu)

師：請(qǐng)同學(xué)們看下面這一幅圖（如圖8）。從圖8中，我們很容易地看出有2個(gè)三角形、3個(gè)圓和6個(gè)正方形。根據(jù)這種3種圖形的個(gè)數(shù)，你們能求解什么數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？

（學(xué)生先獨(dú)立思考，討論交流后進(jìn)行匯報(bào)）

生：我知道，正方形的個(gè)數(shù)是三角形的3倍。

（學(xué)生說(shuō)完就把兩個(gè)三角形圈起來(lái)，還把6個(gè)正方形每2個(gè)為一份圈起來(lái)）

生：我知道，正方形的個(gè)數(shù)是圓的2倍。

（學(xué)生說(shuō)完后同樣用畫(huà)圈的方法來(lái)表示他的想法）

師：咦，為什么一會(huì)兒說(shuō)是2倍，一會(huì)兒說(shuō)是3倍呢？

生：就是因?yàn)楸稊?shù)不同。跟三角形相比時(shí)，一份數(shù)是2個(gè)，就畫(huà)了3個(gè)圈，所以是3倍;跟圓相比時(shí)，一份數(shù)是3個(gè)，只能畫(huà)2個(gè)圈，所以是2倍。

師：除了能說(shuō)相互之間“倍”的關(guān)系外，還能說(shuō)說(shuō)它們之間的其他關(guān)系嗎？

生：我還知道，圓比三角形多1個(gè);反過(guò)來(lái)，三角形比圓少1個(gè)。

生：同樣地，我還知道，圓比正方形少3個(gè)，正方形比圓多3個(gè)。

生：我還知道，圓的個(gè)數(shù)是正方形的一半。

師：這個(gè)同學(xué)的想法太不一樣了！你說(shuō)的圓的個(gè)數(shù)是正方形的一半，也是它們之間的一種關(guān)系。你知道“一半”怎么表示嗎？

生：用[1/2]來(lái)表示。（說(shuō)完就寫(xiě)出了分?jǐn)?shù)[1/2]）

師：你的知識(shí)太豐富了，這是我們以后要學(xué)習(xí)到的知識(shí)。隨著學(xué)習(xí)的繼續(xù)深入，我們將學(xué)到更多表示它們之間關(guān)系的方法。

【評(píng)析】這節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)了倍的知識(shí)，知道了“倍”的含義，還理解了它是表示兩個(gè)量之間的一種關(guān)系。但我們的教學(xué)不能停留于此，還有必要把“倍的關(guān)系”納入“比較兩個(gè)量之間關(guān)系”的整體結(jié)構(gòu)中，幫助學(xué)生構(gòu)建起系統(tǒng)性的知識(shí)體系。學(xué)生的能力是無(wú)窮的。當(dāng)有學(xué)生說(shuō)出“一半”的關(guān)系時(shí)，教師很自然地抓住了這個(gè)精彩的課堂生成，引出了分?jǐn)?shù)的概念，這樣，又把“兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系”延伸到了一個(gè)更廣的范圍，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的知識(shí)埋下伏筆，也初步感知了“2倍”和“一半”的互逆關(guān)系。這個(gè)教學(xué)過(guò)程，教師的開(kāi)放性提問(wèn)，給了學(xué)生充分表現(xiàn)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生能夠站在整體和全局的角度，來(lái)理解和掌握倍的知識(shí)，做到“既見(jiàn)樹(shù)木，又見(jiàn)森林”，這對(duì)于學(xué)生的整體認(rèn)知是非常有好處的。

【課后總評(píng)】

這節(jié)課，學(xué)生學(xué)得主動(dòng)、生動(dòng)、靈動(dòng)。在教師的大環(huán)節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)下，教學(xué)的資源都來(lái)自學(xué)生的自主畫(huà)圖。而在學(xué)生畫(huà)圖的過(guò)程中，做到了以下幾個(gè)方面。

一、用畫(huà)說(shuō)話，由抽象到具體

“倍”是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中表示數(shù)量關(guān)系中的一個(gè)基本概念，它表示的是兩個(gè)數(shù)量之間的一種關(guān)系，所以各個(gè)版本教材中都有這個(gè)概念的教學(xué)。但它又是一個(gè)比較抽象的概念，僅靠語(yǔ)言是很難描述的。因此，在本課中，教師始終讓學(xué)生把這個(gè)抽象的概念用圖表示出來(lái)，通過(guò)直觀圖，學(xué)生就很容易地感知：一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍，就是以前學(xué)過(guò)的乘法中的幾個(gè)幾。通過(guò)學(xué)生自主畫(huà)圖，可以有效地讓學(xué)生把原有的經(jīng)驗(yàn)順暢地表達(dá)出來(lái)。學(xué)生在看到圖后，也能更方便地進(jìn)行總結(jié)，這是一個(gè)學(xué)生自我表達(dá)、自主建構(gòu)的過(guò)程。總之，用畫(huà)來(lái)說(shuō)話，把抽象的概念直觀化、具體化，便于學(xué)生理解和掌握抽象的倍的概念。

二、以畫(huà)促思，由具體到抽象

學(xué)生通過(guò)畫(huà)具體、直觀的圖形，理解和掌握了倍的概念，但學(xué)生的思維不能僅僅停留在直觀的層次上，還必須進(jìn)行深化和提升。為了讓學(xué)生更深刻地理解倍的概念的本質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力，教師又給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了提問(wèn)的機(jī)會(huì)，學(xué)生自然地順勢(shì)提出：“一份數(shù)可以是1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)……甚至是無(wú)數(shù)個(gè)，畫(huà)不完怎么辦？”在這種矛盾的認(rèn)知沖突中，充分地激發(fā)了學(xué)生的思維，發(fā)揮了想象能力。學(xué)生就想到可以不用畫(huà)具體的物體了，而是用數(shù)來(lái)代替，并可以繼續(xù)用圈圖、線段圖來(lái)表示。這樣的教學(xué)過(guò)程，就讓學(xué)生非常清晰地體驗(yàn)到數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維能力，學(xué)生的思維水平達(dá)到一個(gè)新的層次。這個(gè)過(guò)程也讓學(xué)生充分地認(rèn)識(shí)到，這里的一份數(shù)可以是一個(gè)，也可以是多個(gè)，甚至是無(wú)數(shù)個(gè)，這就為今后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)，更準(zhǔn)確地建立“單位1”的概念做了很好的鋪墊。

由此，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)，要在抽象和直觀之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。當(dāng)學(xué)生理解有困難時(shí)，就要把抽象的概念直觀化，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)。而當(dāng)學(xué)生掌握了基本的概念之后，又必須對(duì)直觀進(jìn)行適度的抽象，提升思維層次，感受數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這才是有意義的教學(xué)。

（作者單位：江西省南昌市鐵路第一小學(xué) 廣東省河源市源城區(qū)公園東小學(xué)）