在知識(shí)關(guān)聯(lián)中提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力

劉克群

數(shù)學(xué)學(xué)科是不可分割的有機(jī)整體，它的生命力正是在于各個(gè)部分之間的聯(lián)系。盡管數(shù)學(xué)知識(shí)千差萬(wàn)別，我們?nèi)匀磺宄卣J(rèn)識(shí)到，在作為整體的數(shù)學(xué)中，使用著相同的邏輯工具，存在著概念的親緣關(guān)系。

就教材編排而言，各類數(shù)學(xué)教材為了編寫的方便，往往突出了概念與命題之間的邏輯關(guān)系。教學(xué)中，教師應(yīng)注重將數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生尋找數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，用聯(lián)系的觀點(diǎn)進(jìn)行分析與思考，無(wú)論面對(duì)怎樣復(fù)雜的“未知”都能轉(zhuǎn)化為已學(xué)的“舊知”，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)創(chuàng)造。教師只有幫助學(xué)生建立起整體性的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從宏觀上整體把握數(shù)學(xué)內(nèi)容，才能讓學(xué)生比較清晰地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的邏輯鏈條，感受數(shù)學(xué)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的條理化、網(wǎng)絡(luò)化和系統(tǒng)化。如何幫助學(xué)生主動(dòng)關(guān)聯(lián)建構(gòu)知識(shí)，內(nèi)化為自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成學(xué)習(xí)力呢？筆者認(rèn)為可以從以下幾方面進(jìn)行思考。

一、縱向挖掘，整體建構(gòu)

數(shù)學(xué)本身就是一個(gè)知識(shí)系統(tǒng)，數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率等不同內(nèi)容之間有著相互聯(lián)系，同一部分內(nèi)容不同知識(shí)點(diǎn)也有內(nèi)在的邏輯關(guān)系。因而，在教學(xué)中，我們應(yīng)重視幫助學(xué)生很好地突破單一認(rèn)知結(jié)構(gòu)，縱向挖掘知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而從整體上建構(gòu)知識(shí)，形成穩(wěn)固的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

例如，以“整數(shù)的認(rèn)識(shí)”這一內(nèi)容為例（如圖1），小學(xué)階段整數(shù)的認(rèn)識(shí)共分為四個(gè)階段，分別為11～20各數(shù)的認(rèn)識(shí)、100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)、10000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)、大數(shù)的認(rèn)識(shí)。這四個(gè)階段都有共同的認(rèn)知點(diǎn)：數(shù)的組成、意義、讀寫法、大小比較、近似數(shù)。這樣一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)又可以推演至小數(shù)、分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)。無(wú)論是整數(shù)的認(rèn)識(shí)、小數(shù)的認(rèn)識(shí)還是分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，它們都在遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。而整數(shù)的認(rèn)識(shí)又是小數(shù)、分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，整數(shù)的意義、位值制思想，整數(shù)的讀寫法、大小比較、近似數(shù)等都與小數(shù)、分?jǐn)?shù)有著密切的聯(lián)系，存在著概念的親緣關(guān)系。

教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生按知識(shí)結(jié)構(gòu)來建構(gòu)知識(shí)，而這種建構(gòu)又始終是開放的，促使學(xué)生觸類旁通。而“11～20各數(shù)的認(rèn)識(shí)”中的位值制思想又是整個(gè)數(shù)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)。

同樣，數(shù)的運(yùn)算，無(wú)論是加、減、乘、除運(yùn)算法則還是混合運(yùn)算順序以及運(yùn)算定律，對(duì)于整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)同樣適用，其數(shù)學(xué)本質(zhì)是一樣的。

如圖2，在整數(shù)加減法中，最關(guān)鍵的是20以內(nèi)數(shù)的加減法，最基本的是10及10以內(nèi)數(shù)的加減法。幫助學(xué)生理解算理、掌握位值制思想，是掌握數(shù)的運(yùn)算的關(guān)鍵所在。因而，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有“整體的眼光”，把教學(xué)過程的每個(gè)環(huán)節(jié)看作這節(jié)課的一個(gè)局部，而每節(jié)課又是整個(gè)單元或者教學(xué)階段的一個(gè)局部;把每個(gè)教學(xué)單元或者教學(xué)階段看作整個(gè)小學(xué)階段的一個(gè)局部。教師只有從整體上把握知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，才能更好地幫助學(xué)生把握知識(shí)的本質(zhì)，為后續(xù)觸類旁通、靈活運(yùn)用知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、橫向串聯(lián)，主動(dòng)建構(gòu)

數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)結(jié)構(gòu)不僅是一個(gè)完整的縱向結(jié)構(gòu)，還是一個(gè)有著前后關(guān)聯(lián)的橫向結(jié)構(gòu)。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)主動(dòng)進(jìn)行橫向串聯(lián)，用聯(lián)系的眼光多維度審視、建構(gòu)，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)主動(dòng)形成。

以小學(xué)階段圖形與幾何中的內(nèi)容為例，圖形幾何一維、二維、三維空間三種度量單位的認(rèn)識(shí)如圖3所示。

在長(zhǎng)度單位教學(xué)中，要體會(huì)統(tǒng)一長(zhǎng)度單位的必要性，認(rèn)識(shí)長(zhǎng)度單位，用單位度量，解決問題;在面積單位教學(xué)中，要體會(huì)引入面積單位的必要性，認(rèn)識(shí)面積單位，用單位度量，相關(guān)圖形的面積計(jì)算;在體積單位的教學(xué)中，要體會(huì)引入體積單位的必要性，認(rèn)識(shí)體積單位，用單位度量，相關(guān)圖形的體積計(jì)算。度量的單位不同，但都會(huì)讓學(xué)生經(jīng)歷體會(huì)統(tǒng)一單位的必要性，體驗(yàn)感悟理解單位價(jià)值與意義，并且利用單位進(jìn)行度量。因此，在教學(xué)中，教師要橫向串聯(lián)知識(shí)體系，區(qū)分單位之間的特征不同（度量的對(duì)象不同），通過遷移、對(duì)比，真正把握單位的概念本質(zhì)，從而主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)，加強(qiáng)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，打通知識(shí)之間的脈絡(luò)，形成穩(wěn)定知識(shí)系統(tǒng)與網(wǎng)絡(luò)，有助于學(xué)生將數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)相互關(guān)聯(lián)。

同樣，不同的圖形在不同年段讓學(xué)生認(rèn)識(shí)，三年級(jí)認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、正方形，四年級(jí)認(rèn)識(shí)平行四邊形、三角形。在教學(xué)中，教師應(yīng)注意突破這種由教學(xué)先后次序所形成的邏輯線索的束縛，而應(yīng)從更為廣泛的角度揭示這些概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而真正建立起整體性的概念體系。

三、靈活變通，激活知識(shí)

在理解知識(shí)的基礎(chǔ)上掌握運(yùn)用思想方法，有利于保持長(zhǎng)久記憶以及技能和方法的遷移，建立穩(wěn)固的知識(shí)體系。只有懂得靈活變通，激發(fā)主動(dòng)建構(gòu)的“元認(rèn)知”，才能真正讓學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)變成知識(shí)源泉，從而實(shí)現(xiàn)真正意義上的學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)運(yùn)用、學(xué)會(huì)創(chuàng)造。

例如，在古代應(yīng)用極其廣泛的建筑、器具、錢幣等都體現(xiàn)了“外方內(nèi)圓”“外圓內(nèi)方”，教材中提及要求外方內(nèi)圓或外圓內(nèi)方之間部分的面積。教學(xué)中，教師讓學(xué)生類比圓的面積、正方形的面積計(jì)算公式就能解決這個(gè)問題。教師先出示圓，提問：“圓的面積你會(huì)求嗎？”（剛學(xué)完圓的面積）緊接著在圓外面出示一個(gè)正方形（外切），提問：“正方形的面積能求嗎？”（學(xué)生三年級(jí)學(xué)過的知識(shí)）接著教師不是按照教材內(nèi)容問學(xué)生圓與正方形之間陰影部分面積怎樣求，而是追問：“會(huì)求圓的面積，也會(huì)求這個(gè)正方形的面積，那你還能求到什么嗎？”“你還能求到什么嗎？”一個(gè)看似簡(jiǎn)單的問題，卻讓安靜的課堂活躍起來。學(xué)生思考片刻之后，馬上舉手回答，思維的火花在碰撞：“我能求到它們之間那四個(gè)不規(guī)則圖形的面積（陰影部分面積）”“我能求到一個(gè)那樣的圖形面積”“我還能求到圓面積與正方形面積的比”。而這個(gè)關(guān)于“比”的問題有很大研究?jī)r(jià)值，這個(gè)“比”能讓半徑不同的圓的面積與正方形的面積計(jì)算變得簡(jiǎn)單，只要求到其中一個(gè)量，馬上利用它們之間比的關(guān)系，無(wú)論數(shù)量是多少，都能快速得到另一個(gè)量。此時(shí)圓的面積和正方形的面積比都是一定的，不斷地添加圓、添加正方形，它們都是按照一定的規(guī)律在變化的。這個(gè)“比”的出現(xiàn)，又讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“我還可以求到正方形面積與圓面積的比。”“我還可以求到陰影部分面積與圓面積的比。”……

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)生只有在自己原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)和探索新知識(shí)，并將新知識(shí)與已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系，形成知識(shí)的結(jié)構(gòu)化，才能形成對(duì)知識(shí)的深刻理解。著名哲學(xué)家、兒童心理學(xué)家皮亞杰曾明確指出：“全部數(shù)學(xué)都可以按照結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來考慮，而這種建構(gòu)始終是完全開放的……這種結(jié)構(gòu)或正在形成‘更強(qiáng)’的結(jié)構(gòu)，或者在由‘更強(qiáng)’的結(jié)構(gòu)來予以結(jié)構(gòu)化。”新時(shí)代的教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生打通知識(shí)間的縱、橫聯(lián)系，學(xué)習(xí)知識(shí)，把握聯(lián)系，靈活變通，讓學(xué)生在已有知識(shí)結(jié)構(gòu)上形成更強(qiáng)的、開放的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而真正促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)力的發(fā)展。

（作者單位：江西省南昌市育新學(xué)校紅谷灘分校）