基于概率密度演化方法的裝配式箱涵構件可靠度研究

康玉梅, 李佳其, 劉子傲, 于佳月

(東北大學 資源與土木工程學院, 遼寧 沈陽 110819)

裝配式箱涵是一種常見的工程結構,具有良好的場地適應能力和整體受力性能,現已被廣泛應用于公路和鐵路工程中[1-2].如何精確高效地分析裝配式箱涵各個構件在設計和使用過程中的可靠性[3]是一個非常值得研究的問題.國內外學者多采用蒙特卡羅方法[4]、隨機攝動方法[5]和正交多項式展開理論[6]等可靠度求解方法分析地下結構[7]和邊坡[8]的可靠度.蒙特卡羅法基于大數定律,在求解過程中需要多次迭代,計算量極大,花費時間較長,且計算結果具有隨機收斂性,難以適用于實際工程.驗算點法則存在計算精度不足的問題,學者們為了提高驗算點法的精度,提出了基于驗算點法的改進方法,例如,Chen等[9]依據在驗算點處相似概率密度函數導數相等的原則,提出了三參數正態尾區近似的原則;Guo等[10]給出了結構功能函數的三階與四階可靠指標.雖然已經在改進驗算點法方面取得了一些進展,但是改進后的驗算點法在分析實際工程可靠度時的精度尚有待提高.Li等[11]提出了概率密度演化方法,該方法基于概率守恒原理,能夠充分考慮參數隨機性和樣本點之間的概率聯系,彌補了傳統可靠度分析方法中存在的不足[12].目前,概率密度演化方法已經被應用于部分地上和地下結構的可靠度分析[13].

本文依托“雙遼至洮南高速公路 03A 設計段”裝配式箱型涵洞工程項目,基于概率密度演化方法分析裝配式箱涵構件的可靠度,并與蒙特卡羅法的計算結果進行對比,驗證概率密度演化方法的計算效率和精度,以期為裝配式箱涵構件可靠度研究提供一種新的途徑和方法.

1 概率密度演化理論

在隨機物理系統中,概率密度演化理論可以描述任意狀態量的概率分布和演化過程.其為分析結構受力的物理過程和考察隨機性的傳播規律,從概率角度求解結構可靠度提供了理論依據.概率密度守恒原理是概率密度演化理論的基礎,具有兩種描述方式,分別為狀態空間描述和隨機事件描述[14].

狀態空間描述可表示為

ΔPD=ΔPS.

(1)

式中:ΔPD為確定時間內系統中的概率增加量;ΔPS為確定時間內流入系統中的概率總量.

隨機事件描述可表示為

(2)

式中：D(·)為物質導數;Ωt為在給定時刻的狀態域.

隨機動力系統可表示為

(3)

式中:X為狀態向量,X(t0)=X0為系統的初始狀態向量;Θ為隨機向量;t為時間;f為微分函數.

根據概率守恒原理:

(4)

特別地,對于靜力系統分析,需要構造虛擬隨機過程:

Z(τ)=φ(Θ,τ) .

(5)

式中，φ(·)為虛擬過程函數，一般可取為φ(τ)=z·τ，其中虛擬時間τ∈[0,1]，z為靜力系統響應.此時，由式(5)可得其演化速度：

(6)

進而可得(Z,Θ)的聯合概率密度函數，且滿足：

(7)

確定初始條件,采用數值求解算法對式(7)進行求解.在給定的條件下求解式(4),即可獲得物理量Z的概率密度函數:

(8)

取τ=1并對概率密度函數pZ(·)進行求解，即可得到相應的靜力可靠指標.

2 基于概率密度演化方法的裝配式箱涵構件可靠度研究

2.1 功能函數

根據裝配式箱涵的受力情況來確定箱涵構件的功能函數.對于箱涵頂板、側墻及底板組成的整體需要重點關注其抗彎可靠度,對于鉸縫構造處(上下各取0.5 m作為研究對象)需要重點關注其抗剪可靠度,實際的結構受力形式如圖1所示.其中:g1為頂板自重力(kN)；q1為上部填土體重力(kN)；p為車輛荷載(kN)；q2,q3,q4分別為不同位置側向土壓力(kN)；q5為撐腳土體重力(kN)；g2為結構整體自重力(kN).

圖1 結構受力示意簡圖

裝配式箱涵構件有兩種極限狀態方程[15]:

1) 箱涵構件抗彎承載能力極限狀態設計式為

(9)

(10)

(11)

2) 箱涵鉸縫構造處抗剪極限狀態設計式為

Vu=0.6Asdfsd≥V.

(12)

式中:Asd為抗剪鋼筋截面面積(m2);fsd為抗剪鋼筋的抗拉強度設計值(kN/m2);V為單位長度鉸縫剪力設計值(kN);Vu為混凝土鉸縫構造處的抗剪承載力(kN).鉸縫構造處的功能函數為

Z3=0.6Asdfsd-q3.

(13)

式中,q3為鉸縫構造處的荷載.

2.2 概率密度演化方程

箱涵構件的抗力與荷載效應可以分別表示為

Mr=G1(φ1,σ1) ,

(14)

Ms=G1(φ1,φ2,σ1,σ2) .

(15)

式中:φ1為箱涵構件的確定性參數;σ1為箱涵構件的隨機參數;φ2為其他確定性參數;σ2為其他隨機參數.

箱涵構件的功能函數可以表示為

Z=Mr-Ms.

(16)

由式(16)的結果,可以分析出構件的真實狀態.當Z=0時,表示構件處于極限狀態;當Z>0時,表示構件為可靠狀態;當Z<0時,表示構件為失效狀態.結合式(14)和(15)可得

Z=G(φ,σ) .

(17)

引入虛擬時間t,構造虛擬隨機過程H=φ(Z,t)=φ(φ,σ,t),其中,Z=φ(z,t|t=t0).

當σ取某一特定值μ時,隨機變量H的概率為φ(φ,σ,t),可得

fH|σ(h|μ,t)=η[h-φ(φ,σ,t)] .

(18)

式中:fH|σ表示條件概率密度函數；η為Dirac函數.對式(18)兩端關于時間t求導,可得

(19)

fH|σ(h,μ,t)=fH|σ(h|μ,t)·fσ(μ) .

(20)

進一步地,由式(19)和(20)可得

(21)

式(21)即為箱涵構件的概率密度演化方程,其初始條件為

fH|σ(h,μ,t|t=0)=fσ(μ)·η(h) ,

(22)

fZ(z)=fH(h)|t=t0.

(23)

箱涵構件可靠概率的數學表達為

(24)

2.3 構件可靠度分析步驟

1) 確定功能函數Z1,Z2,Z3中隨機變量的分布類型.結合給定的初始條件,采用數論選點法[16]對隨機變量在概率空間Ωθ中選取代表點,記剖分域為Ωq,可得

(25)

式中,Pr{·}表示對于?q≠r條件下的隨機事件概率.由此,可以確定相對應的代表點θ=θq,q=1,2,…,n,以及每組點的賦得概率:

(26)

2) 構造虛擬隨機過程.根據概率密度演化理論可知,對于虛擬隨機過程的刻畫有許多途徑,因此,虛擬隨機過程函數的選擇只需要滿足式(6)要求即可.本文所分析的箱涵構件屬于靜力結構,構造的虛擬隨機過程為

φ(Θ,τ)=W(Θ,τ)cos(ωτ) .

(27)

式中:ω=2π;τ∈[0,1].

5) 以Z>0為積分區間,對概率密度函數積分求得可靠概率:

(28)

求解步驟流程如圖2所示.

圖2 構件可靠度分析步驟流程

3 概率密度演化方法在裝配式箱涵構件可靠度分析中的應用

3.1 工程概況

“雙遼至洮南高速公路 03A 設計段”路線全長25.702 km,周圍土體主要是泥巖和粉質黏土,具體的土層參數如表1所示,其中涵洞共有22道,均采用預制裝配式鋼筋混凝土箱涵,其結構形式分為三種,標準節段均為3 m.以四構件組合結構箱涵為例,頂板和側墻為鉸接,側墻采用混凝土現澆的方式和底板連接(見圖3和圖4).

表1 土層基本參數

圖3 裝配式箱涵結構示意圖

圖4 鉸縫構造處示意圖

3.2 有限元模型

通過現場勘察資料得到箱涵構件鋼筋和混凝土的材料參數,采用等效彈性模量和容重來代替鋼筋混凝土的彈性模量和容重.利用ABAQUS軟件建立箱涵構件三維模型,如圖5所示.箱涵頂板、側墻和底板組成的整體采用鉸接形式,對于鉸縫構造處, 取其上下0.5 m范圍的計算單元作為研究對象,上下兩端均采用固接形式.網格劃分采用四邊形單元,在易破壞區域細密劃分,其余區域

圖5 構件三維模型圖

的網格劃分可以較為稀疏,這樣有利于提高計算效率.箱涵各構件均采用8節點實體單元,進行力學性能分析,得到箱涵頂板、側墻及底板整體的跨中彎矩和鉸縫構造處的剪力值,為后續的可靠度分析提供確定性的依據.當所有參數均作為確定性值考慮的時候,數值分析和采用截面法計算得到的內力響應結果相近,誤差在允許的范圍內,驗證了本模型的正確性.

3.3 隨機變量的確定及特性統計

定義箱涵構件的鋼筋抗拉強度設計值、構件鋼筋直徑、混凝土保護層厚度、截面寬度、計算跨度、回填土重力密度、鋼筋混凝土結構重力密度、內摩擦角、車輛荷載、鉸縫鋼筋直徑和鋼筋抗拉強度設計值為隨機變量,通過參考現場實測資料與相關文獻[17]可知,各個隨機變量均服從正態分布[18],隨機變量的具體分布參數如表2所示.

表2 箱涵隨機參數特性統計[17-18]

3.4 隨機變量的敏感性分析

隨機變量的敏感性會對箱涵構件的可靠度分析產生影響,因此在進行箱涵構件可靠性研究之前,需要對隨機變量進行敏感性分析.將對可靠度分析影響程度較大的隨機變量繼續作為隨機變量考慮,影響程度較小的隨機變量作為確定性值考慮,敏感性系數如表3所示.

由表3可知:在進行箱涵頂板、側墻和底板構成的整體的可靠度研究時,鋼筋的抗拉強度設計值、內摩擦角、鋼筋直徑、土的重力密度以及計算跨度的敏感程度較大,需要作為隨機變量考慮.對于鉸縫構造處的可靠度分析,計算跨度的敏感程度較小,因此僅將鋼筋的抗拉強度設計值、內摩擦角、鋼筋直徑、土的重力密度這四個參數作為隨機變量,其他參數均作為確定性值考慮.

表3 隨機變量的敏感性系數

3.5 構件可靠度分析

結合隨機變量敏感性的分析結果,利用數論選點法對各構件的隨機變量選取2 000組代表點進行確定性分析,得到構件的荷載效應如圖6所示,頂板荷載效應的均值為130.029 kN·m,標準差為7.967 1,變異系數為0.061 3;側墻及底板組成的整體均值為87.161 8 kN·m,標準差為9.437 3,變異系數為0.108 3;鉸縫構造處的均值為43.161 1 kN,標準差為3.015 7,變異系數為0.069 9.

圖6 構件荷載效應概率密度函數

當構件的隨機參數均服從正態分布時,其荷載效應也基本服從正態分布,且荷載效應的變異系數要大于單個隨機變量的變異系數,因此,在構件可靠度的研究過程中,需要充分考慮參數的隨機性.將有限元軟件中確定性分析得到的效應值以及相應的抗力值代入式(27),構造虛擬隨機過程,各構件的虛擬隨機過程如圖7所示.

圖7 各構件的虛擬隨機過程

構造虛擬隨機過程需要引入時間向量,將結構受到的靜力轉化為動態過程.在虛擬隨機過程中,箱涵構件響應的概率密度演化過程如圖8所示.在構件可靠度的分析過程中,經過概率密度演化,構件響應的變異性會增大,需要充分考慮參數的隨機性和樣本點之間的概率聯系.

采用MATLAB編程的方法,依次得到頂板、側墻及底板組成的整體和鉸縫構造處的最后時刻響應截口概率密度函數的圖像,如圖9所示.對最后時刻截口概率密度函數在失效域上積分,即可得到構件的失效概率,進而求得可靠指標.其中,頂板的可靠指標為4.281 4,側墻及底板構成的整體的可靠指標為4.328 2,鉸縫構造處的可靠指標為4.399 9,均符合規范要求.

圖8 構件響應的概率密度演化曲面圖

圖9 構件響應最后時刻的截口概率密度函數

3.6 兩種方法對比分析

采用蒙特卡羅法對不同抽樣次數下箱涵構件可靠度進行計算,計算結果均滿足規范要求.當給定抽樣次數為800萬次時,求得箱涵頂板的可靠指標為4.307 6,側墻及底板構成的整體的可靠指標為4.428 3,鉸縫構造處的可靠指標為4.391 6.隨著抽樣次數的增加,構件可靠度的計算結果出現了明顯的隨機收斂性.800萬次到2 000萬次抽樣下失效概率的變化情況如圖10所示.

圖10 構件失效概率隨抽樣次數變化趨勢圖

將兩種方法求得的箱涵構件可靠指標進行對比,其結果如表4所示,可以看出:兩種方法的計算結果基本一致,均能較為精確地求出箱涵構件的可靠指標.表5給出了兩種方法的計算效率,可見,同樣的計算精度,蒙特卡羅法的選點次數是概率密度演化方法的4 000倍,所需要的計算時間為概率密度演化方法的5倍,且無法避免隨機收斂性.

表4 可靠指標計算結果

表5 計算效率對比

綜上所述,蒙特卡羅法以抽樣理論為基礎,其結果的準確性受到抽取樣本數量的影響,且求解過程耗時較長,結果具有明顯的隨機收斂性.概率密度演化方法則充分考慮了構件參數的隨機性,所需選取的代表點集數量較小,計算速度較快,具有較高的準確性,可以有效避免蒙特卡羅法在求解過程中的弊端.

4 結 語

1) 對裝配式箱涵構件可靠度分析的概率密度演化方法進行了研究,確定了裝配式箱涵構件的功能函數,并基于此求解出概率密度演化方程;給出了相應的構件可靠度求解步驟.

2) 分別采用蒙特卡羅法和概率密度演化方法對裝配式箱涵構件的可靠度進行求解;概率密度演化方法可以有效避免計算結果的隨機收斂性,在保證計算結果唯一和較高精度的同時,能夠極大地提高計算效率.

3) 概率密度演化方法充分考慮了裝配式箱涵構件參數的隨機性和樣本點之間的概率聯系,對于求解裝配式箱涵構件可靠度具有良好的適用性,是一種高效、適用范圍廣的可靠度分析方法.