基于重構噪聲子空間的相干信號DOA估計

張 石, 許方晗, 佘黎煌, 劉平凡

(東北大學 計算機科學與工程學院, 遼寧 沈陽 110169)

DOA(direction of arrival)估計是一種重要的陣列信號處理技術,廣泛應用于雷達、通信及醫療領域[1-2].隨著通信環境的日益復雜,到達天線陣的信號通常是相干的,傳統DOA估計算法的性能會逐漸下降甚至完全失效[3-4].因此,相干信源的波達方向估計是當前空間譜估計領域的一個熱點問題[5].

目前解相干有兩種方法:一種是降維處理[6-8],例如前后向空間平滑(FBSS)算法,它具有較好的解相干性能[6],但會損失陣列孔徑[7];另一種則沒有進行降維處理,此類方法主要利用接收數據矩陣來構造Toeplitz矩陣從而實現解相干[9],但計算復雜度也會隨之增加.

針對傳統的多信號分類(multiple signal classification,MUSIC)算法對相干信源不能進行正確的施密特正交化[10],文獻[11]提出了IMMUSIC(improved MUSIC)算法.IMMUSIC算法使重構的協方差矩陣具有Toeplitz矩陣的特征,可以得到相干信源的DOA估計;但如果信號信噪比較低或信號間隔較小時則無法準確地分辨信號,DOA估計的性能將明顯下降[12].對于相干信號而言,本文充分利用陣元接收數據來構造一個新的增廣矩陣,提出一種基于重構噪聲子空間的相干信源DOA估計算法.

1 信號模型

假設角度分別為θi(i= 1,2,…,D)的D(D

(1)

式中:si(t)(i= 1,2,…,D)是入射到天線陣的波前信號源;λ是信號波長;d為陣元間距;nk(t)是t時刻測量到的理想高斯白噪聲.假設接收信號與接收噪聲統計獨立,并且陣元接收到的噪聲彼此不相關,方程(1)可以用矩陣形式改寫成

X(t)=A(θ)S(t)+N(t) .

(2)

(3)

N(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T為噪聲矢量.

2 新型高精度DOA估計算法

2.1 MUSIC算法

對于解決非相干信號的DOA估計,MUSIC算法可以達到高分辨率估計的效果[10].接收數據矩陣X(t)的協方差矩陣RX可表示為

RX=E[X(t)XH(t)]=AE[S(t)SH(t)]AH+E[N(t)NH(t)]=ARSAH+RN.

(4)

式中:RS=E[S(t)SH(t)];RN=σ2I.

對矩陣RX進行特征分解,得

RX=UΣUH.

(5)

式中:U為特征向量矩陣;Σ為特征值構成的對角陣,Σ=diag(λ1,λ2,…,λM)且λ1≥λ2≥…≥λM.按序排列矩陣RX的特征值,可以得到與信號源數量相等的D個特征值對應的特征向量構成的信號子空間和由M-D個特征值對應的特征向量構成的噪聲子空間:

(6)

式中:US是信號子空間;UN是噪聲子空間.

(7)

在入射信號源為非相干情況下,MUSIC算法可以實現高分辨率的DOA估計;但是當相干的信號源入射到陣元上時,MUSIC算法的估計性能惡化,甚至完全失效.為了能準確估計相干信號的波達方向,需要對陣列輸出信號協方差矩陣進行一系列運算,使信號協方差的秩恢復為rank(RX)=D,從而正確地估計信源的DOA.

2.2 修正MUSIC(MMUSIC)算法

在MUSIC算法中接收信號模型表達式為

X(t)=A(θ)S(t)+N(t).

(8)

定義新的矩陣Y(t)為

Y(t)=JX*(t).

(9)

式中J是M×M階反單位矩陣:

(10)

因此Y(t)的協方差矩陣可表示為

(11)

定義矩陣G為

G=diag(e-j(M-1)φ1,e-j(M-1)φ2,…,e-j(M-1)φD).

(12)

通過推導可以得到

JA*=AG*.

(13)

協方差矩陣R定義如下:

(14)

從上述公式推導過程可以看出,修正MUSIC算法的實質是前后向空間平滑(FBSS)算法在子陣長度等于陣元個數的特殊情況[13].

2.3 IRNSMUSIC算法

為了解決DOA估計數組中相干信源的問題,本文提出一種基于重構噪聲子空間(IRNS)的算法.IRNS算法的推導如下.

在IMMUSIC算法[11]中,只利用了X(t)和Y(t)的自協方差信息;而本文算法則充分利用X(t)和Y(t)的互協方差信息去構造一個新的増廣矩陣,其表達式為

RA=[RXRYRXYRXY] .

(15)

式中:RXY=E[X(t)YH(t)]是X(t)和Y(t)的互協方差矩陣;RYX=E[Y(t)XH(t)]是Y(t)和X(t)的互協方差矩陣.

通過對增廣矩陣RA進行奇異值分解,可以得到對應的噪聲子空間和特征值為

RA=UZVT.

(16)

將式(14)作奇異值分解,得

[U1,Z1,V1]=SVD(R) .

(17)

式中,Z1=diag(η1,η2,…,ηM)是特征值矩陣且η1≥η2≥…≥ηM.

Zn=diag(λn,1,λn,2,…,λn,M) .

(18)

式中,λn,1≥λn,2≥…≥λn,M.

選擇Zn的特征值關聯的特征向量以構造一個新的特征向量矩陣:

Un=[μn,1,μn,2,…,μn,M] .

(19)

從矩陣Un中選擇第D+1列到第M列來重建一個M×(M-D)維矩陣,則新的噪聲子空間表達式為

Urecn=[μn,D+1,μn,D+2,…,μn,M].

(20)

最后,IRNSMUSIC算法的空間譜估計表達式為

(21)

對譜峰進行搜索,尖峰的位置就是相干信號的波達方向.IRNSMUSIC算法的實現過程如下:

1) 根據式(15)構造接受數據的增廣協方差矩陣;

2) 對式(16)的RA執行奇異值分解;

3) 對式(14)的R執行奇異值分解;

4) 根據式(20)重構新的噪聲子空間;

5) 求PIRNS的D個最大峰值,得到相干信號的DOA估計.

3 仿真和分析

為解決相干信源DOA估計的問題,仿真分析了新算法的性能.性能分析的主要指標包括不同算法的空間分辨率及算法的穩健性隨著信噪比和采樣快拍數的變化關系等.實驗條件為8個間距為d(d=λ/2)的傳感器組成的均勻等距線陣,噪聲為理想高斯白噪聲.

3.1 驗證IRNSMUSIC算法的有效性

實驗一.3個遠場窄帶信號的入射角分別為-20°,40°,60°,其中前兩個信號為相干信號,第3個信號為非相干信號.圖1顯示了信噪比為0 dB時IMMUSIC算法、MMUSIC算法和IRNSMUSIC算法的DOA估計結果.

由圖1的仿真曲線可知,當信噪比較低時,MMUSIC算法對相干信源的估計性能嚴重下降,而IMMUSIC算法與本文的IRNSMUSIC算法在信噪比較低時均具有較好的估計性能,并且IRNSMUSIC算法的譜峰更尖銳.

實驗二.3個遠場窄帶信號的入射角分別為0°,5°,60°,其中前兩個信號為相干信號,第3個信號為非相干信號.圖2顯示了信噪比為5 dB時所提IRNSMUSIC算法與IMMUSIC算法的DOA估計結果.

圖1 低信噪比3種算法的DOA估計

圖2 低信噪比及入射信號間隔較小時的DOA估計

由圖2的仿真曲線可得,IRNSMUSIC算法在低信噪比及信源入射間隔較小時也能夠準確估計這兩個相干信號且譜峰較尖銳.

3.2 驗證IRNSMUSIC算法的準確性

為了驗證IRNSMUSIC算法的DOA估計精度,以均方根誤差(RMSE)衡量算法準確性的標準:

(22)

實驗三.采用MMUSIC算法、IMMUSIC算法及本文的IRNSMUSIC算法進行性能對比仿真實驗.采樣快拍數為1 024.兩組相干信源的入射角分別為0°和10°,測試信噪比從-10 dB變化到10 dB,每間隔2 dB進行500次蒙特卡洛實驗,結果如圖3所示.

從圖3的仿真曲線可知,在采樣快拍數一定的條件下,隨著信噪比的增加,3種算法的均方根誤差都呈現減小的趨勢,說明估計性能隨信噪比的增加而逐漸提升.IMMUSIC算法和IRNSMUSIC算法的RMSE曲線位置比MMUSIC算法更低,即估計性能更好;而IRNSMUSIC算法的RMSE曲線位置不僅略低于IMMUSIC算法而且曲線較為平滑,說明IRNSMUSIC算法具有更好的估計性能.

圖3 均方根誤差與信噪比之間的關系

實驗四.采用MMUSIC算法、IMMUSIC算法及本文的IRNSMUSIC算法進行性能對比仿真實驗.信噪比為0 dB.兩組相干信源的入射角分別為0°和10°,測試采樣快拍數的范圍100～1 000,每間隔100個快拍數進行500次蒙特卡洛實驗,結果如圖4所示.

從圖4的仿真曲線可知,在信噪比一定的條件下,隨著采樣快拍數的增加,3種算法的均方根誤差都呈現減小的趨勢,說明估計性能隨著快拍數的增加而逐漸提升.本文IRNSMUSIC算法的RMSE曲線位置低于MMUSIC和IMMUSIC算法,說明IRNSMUSIC算法具有更好的DOA估計性能.

圖4 均方根誤差與快拍數之間的關系

4 結 語

傳統的MUSIC等譜估計算法在對相干信源進行估計時可能失效,針對這一問題,本文提出一種基于重構噪聲子空間的相干信源DOA估計算法.該算法充分利用接收到的數據信息構造成增廣矩陣作為新的協方差矩陣,對該矩陣進行奇異值分解得到對應的噪聲子空間和特征值矩陣.按序比較兩個特征值矩陣對應的特征值,重構一個由較大特征值對應的特征向量所組成的噪聲子空間.最后通過譜峰搜索完成相干信源的DOA估計.

仿真結果表明,本文提出的算法無孔徑損耗,能區分較小間隔的相干信號,在信噪比較低及采樣快拍數較少的情況下DOA估計精度優于MMUSIC算法和IMMUSIC算法.