角接觸球軸承打滑可靠性靈敏度分析

黃賢振, 朱會彬, 姜智元, 姜 睿

(1. 東北大學 機械工程與自動化學院, 遼寧 沈陽 110819; 2. 東北大學 航空動力裝備振動及控制教育部重點實驗室, 遼寧 沈陽 110819)

角接觸球軸承因其壽命長、能耗低,能同時承受軸向和徑向載荷,被廣泛用于旋轉機械中.然而,軸承長期服役于高速工況下,除了常見的疲勞[1]破壞之外,更多的是軸承出現打滑現象,嚴重的打滑行為會造成溝道表面摩擦磨損,同時會引起主軸振動和嚴重的軸承溫升,降低軸承的使用壽命和可靠性.因此,為了保證機械設備的可靠性和安全性,有關軸承打滑的研究極為重要.

國內外學者對軸承打滑行為進行了大量研究.在理論分析方面,Harris[2]考慮了滾動體所受的離心力、接觸應力和摩擦力,建立了預測滾動軸承打滑行為的力學分析模型.Jain等[3]建立了滾動軸承的動力學模型,研究分析了軸、徑向聯合載荷作用下的軸承打滑特性.Laniado-Jacome等[4]通過有限元的方法對滾動體與內外溝道之間的相對滑動進行了仿真分析.陳渭等[5]研究分析了渦動狀態下的打滑問題.涂文兵等[6]建立了考慮軸承非線性因素的動態模型,研究了不同工況對滾動體打滑的影響.在實驗分析方面,Hirano[7]通過監測軸承鋼球磁通量的變化,確定出軸承打滑判據.Xu等[8]基于主軸熱分析實驗得到不同轉速下軸承避免打滑的最佳預緊力,通過實驗驗證了Hirano[7]判據的可行性.Dong等[9]和Oktaviana等[10]通過Hirano[7]判據研究分析了避免軸承打滑的最小預緊力.王海同等[11]建立大尺寸球軸承擬靜力學方程,基于Hirano[7]判據得出了軸承打滑的臨界轉速.Zheng等[12]通過光纖傳感器監測脈沖信號對滾動體的通過頻率,實現對軸承打滑的預測.Zhan等[13]采用弱磁探測器檢測滾子和內溝道轉速來預測軸承的打滑行為.上述理論和實驗研究中,通常認為軸承結構參數和材料參數是確定的、無誤差的.然而,由于制造和加工的影響,軸承的結構參數和材料參數存在一定的隨機不確定性[14],這就導致球軸承打滑特性的分析產生較大的偏差.

本文綜合考慮隨機因素對軸承參數的影響,將軸承擬靜力學分析模型和Hirano軸承打滑的判定依據相結合,以軸承是否打滑為判別條件,建立軸承打滑的極限狀態方程,提出了一種球軸承打滑行為的可靠性分析模型.應用MCS方法和Kriging方法構造高精度的響應面函數進行可靠性靈敏度分析,以確定軸承結構參數對打滑現象的影響程度.為減少或避免軸承發生打滑引起早期失效提供理論依據.

1 球軸承擬靜力學分析

圖1表示角接觸球軸承的幾何結構及參數,圖2顯示了軸承中每個球的相對角位置(方位角),其中第j個滾動體方位角為φj,其表達式為

φj=2π(j-1)/Z.

(1)

圖2 軸承滾動體的方位角

1.1 軸承幾何相容方程

球軸承運動過程中,在聯合載荷作用下,滾珠沿著軸向和徑向相對移動,如圖3所示,對軸承幾何位置進行分析.

圖3中,變形后任意方位角φj處,內外溝道曲率中心相對軸向距離A1j和徑向距離A2j分別為

A1j=BDsinα0+δa+θRicosφj,

(2)

A2j=BDcosα0+δrcosφj.

(3)

任意方位角φj處的角度方程為

(4)

(5)

(6)

(7)

式中:fi,fo分別為內、外圈溝道曲率半徑系數;X1j,X2j為滾珠中心與外圈溝道曲率中心之間的軸、徑向距離;δa,δr,θ分別為變形后軸、徑向位移和角位移;δij,δoj分別為內外圈的接觸變形;BD為內外圈曲率中心初始距離.

圖3 滾動體中心與溝道曲率中心的相對位置

根據幾何位置關系,以第j個球為研究對象,確定溝道接觸的變形幾何相容方程為

(8)

(A1j-X1j)2+(A2j-X2j)2- [(fi-0.5)Dw+δij]2=0 .

(9)

1.2 滾動體受力平衡方程

軸承滾動體運動過程中,運動方式復雜.如圖4所示,以第j個滾動體為研究對象,對其建立受力平衡方程.

圖4中,λij和λoj分別為滾珠和內外圈溝道之間的控制參數,高速角接觸球軸承運動中,根據外溝道控制理論,即滾珠在外溝道只發生純滾動,因此控制參數取λij=0,λoj=2;Qij,Qoj分別為滾珠和內外圈的接觸載荷,根據赫茲接觸理論,接觸載荷計算公式為

(10)

式中,Kij和Koj分別為內外圈的載荷變形系數.

滾珠受到離心力Fcj,陀螺力矩Mgj分別為

(11)

(12)

式中:dm為中心圓直徑;ωm,ωR分別為滾珠的公轉角速度、自轉角速度;βj為第j個滾珠的螺旋角.其求解方式詳見文獻[15].

根據圖4中的受力平衡關系,滾珠的受力平衡方程為

(13)

(14)

圖4 滾動體受力分析

1.3 軸承內圈整體平衡方程

軸承在軸、徑向載荷作用下,處于受力平衡狀態,建立軸承內圈受力平衡方程為

(15)

(16)

(17)

式中:Ri=dm/2+(fi-0.5)Dwcosα0;Fa為軸向載荷;Fr為徑向載荷;M為軸承彎矩.

應用Newton-Raphson迭代法求解上述列出的非線性方程組,可計算出內外圈的接觸角αij,αoj,接觸載荷Qij,Qoj等動態參數.

2 球軸承打滑預測方法

角接觸球軸承服役于高速工況時,隨著轉速的增加,由于離心力和陀螺力矩的作用,滾珠與內圈溝道之間的赫茲接觸面積減小.當轉速提高到一定速度時,軸承內圈與滾珠之間的摩擦力小于陀螺力矩的作用,滾珠與內圈溝道失去接觸時,滾動體就會發生打滑,導致摩擦力增大,產生大量的熱量,容易引起軸承的早期失效.Hirano[7]確定出角接觸球軸承打滑的判定依據式(18),當軸承動態參數滿足此判據時,滾珠會發生打滑現象.

(18)

式中:SF為打滑系數[10],決定球軸承打滑行為的發生;Qi為內溝道與球的接觸載荷;αi為內溝道與球的接觸角;Fc為球的離心力.

3 軸承打滑可靠性分析

根據上述研究,考慮隨機因素對軸承結構參數的影響,通過擬靜力學分析模型結合軸承打滑判據式(18),以軸承是否打滑為判別條件,即可以建立極限狀態函數為

Z=g(X)=S(X)-10 .

(19)

式中:X為影響軸承打滑的參數隨機變量;S(X)為數值模擬方法SF的輸出值.

X=[Do,Di,Dw,ri,ro,α0]T.

函數Z>0時,表示軸承處于不發生打滑的可靠狀態,稱為可靠性概率或可靠度,用Pr表示.對隨機變量的概率密度函數積分[16]可得到Pr為

(20)

然而,通過Newton-Raphson迭代法計算大量的軸承動態參數數據,采用Monte-Carlo方法[17]計算可靠度需要耗費很長時間.因此提出用Kriging模型來代替上述過程,提高計算效率[18].

3.1 Kriging模型

Kriging模型是一種半參數化插值模型,可以通過已知點的數據預測出未知點的數據[19-20],在解決強非線性問題中具有顯著優勢,Kriging模型的具體形式為

y(x)=F(β,x)+z(x)=f(x)Tβ+z(x) .

(21)

式中：f(x)為樣本點x的多項式函數;F(β,x)為線性回歸模型;β為回歸系數.f(x)反映模型的全局近似;z(x)為隨機分布函數,反映模型的局部近似,影響整個模型的準確性,且z(x)服從正態分布,均值μ=0,方差為σ2,其協方差為

cov[z(xi),z(xj)]=σ2R(θ,xi,xj) .

(22)

式中：xi,xj為任意兩個樣本點;R(θ,xi,xj)為帶有參數θ的相關函數,反映樣本點之間的空間相關性,直接影響到模型的準確性,選用計算效果最好的高斯函數作為相關函數.

已知點的響應值Y=[y1,y2,…,ym],采用線性組合向量c來估計未知點x的響應值,即

(23)

估計值與真值之間的偏差為

(24)

誤差為0時,可保證估計值的無偏性,即

FTc-f(x)=0 .

(25)

預測的均方誤差為

(26)

式中:R為相關函數矩陣;r為相關向量.

為了模型的準確性,要使φ(x)為最小值,因此求線性組合向量c轉化為如下最優化問題.

findc. minφ(x).s.t.FTc=f(x).

(27)

通過求解得到Kriging模型的估計值為

(28)

β*和σ2采用極大似然估計可得估計值為

β*=(FTR-1F)-1FTR-1Y,

(29)

(30)

根據上述分析,通過輸入變量樣本和輸出響應值構建完成Kriging模型，提高計算的效率.

3.2 可靠性靈敏度分析

失效概率Pf對基本變量xi的分布參數θxi的偏導數定義為可靠性靈敏度:

(31)

為了得到軸承各結構參數對可靠度的影響程度,需要進行無量綱處理,得到失效概率對第i個變量的均值μxi和標準差σxi的靈敏度系數:

(32)

(33)

應用Kriging方法進行可靠性靈敏度分析,計算流程如圖5所示.

4 數值算例

4.1 軸承打滑預測方法驗證

為了驗證球軸承打滑預測方法的有效性,以

圖5 Kriging可靠性分析流程圖

角接觸球軸承B7007C為例,以轉速n=5 000 r/min為研究對象,與文獻中計算和實驗結果進行對比,軸承的原始參數如表1所示.

表1 角接觸球軸承的原始參數

表2顯示了轉速n=5 000 r/min時,本文計算出軸承防止打滑的預緊力,與文獻[8,10]計算值與實驗得到軸承避免打滑的最佳預緊力比較,理論計算值接近實驗值,驗證了本文的軸承打滑預測方法的有效性和準確性.

4.2 軸承打滑可靠性靈敏度分析

根據上文對比已經驗證了軸承打滑預測方法的正確性,本文以B7005C軸承作為研究對象.

軸承生產制造過程中,由于受到大量獨立因素的影響,軸承結構參數具有隨機不確定性,這些隨機參數一般符合正態分布,參數的標準差可以由變差系數c決定,本文假設c=0.003.軸承的隨機參數對應的均值和變差系數如表3所示.

表2 軸承避免打滑的最佳預緊力

表3 軸承參數隨機變量

為了研究不同工況對軸承打滑行為的影響,計算出不同轉速和預緊力的打滑系數SF,計算結果如圖6所示.通過SF=10建立一個臨界平面區，分出打滑區域和非打滑區域.

圖6 軸承打滑臨界平面

軸承轉速n=10 000 r/min,預緊力Fa=400 N條件下,利用拉丁超立方方法隨機抽取60組軸承結構參數樣本數據,作為Kriging模型的輸入量.通過擬靜力學模型求得打滑系數SF作為Kriging模型的輸出量,建立完成Kriging模型,抽取30組隨機變量測試樣本數據,分別代入軸承擬靜力學分析模型和Kriging模型中計算,得到30組SF的對比情況,如圖7所示.圖8為Kriging模型的預測誤差,經過Kriging模型計算的SF與軸承擬靜力學分析計算結果之間的誤差非常小,驗證了建立的Kriging模型的有效性.

圖7 Kriging計算值與確定性計算值的對比

圖8 Kriging計算值與確定性計算值的相對誤差

根據本文建立的極限狀態函數,分別采用Monte-Carlo方法和Kriging方法進行可靠度的計算,如圖9和圖10所示.兩種方法具有良好的一致性,進而驗證了Kriging方法的準確性.

為了探究預緊力對軸承打滑可靠度的影響,在轉速n=10 000 r/min條件下進行可靠性分析,得到打滑可靠度隨預緊力的變化規律.由圖6可知,打滑系數SF=10時,計算得到防止打滑所需的預緊力為370 N,圖9表明其可靠度為0.519,可知由于隨機因素的影響,發生打滑的概率仍然較大;當預緊力達到440 N時,可靠度為0.996,即軸承發生打滑概率較低.當轉速一定時,隨著軸向預緊力的增大,可靠度增加.

為了探究轉速對軸承打滑可靠度的影響,在預緊力Fa=400 N條件下進行可靠性分析,得到打滑可靠度隨轉速的變化規律.由圖10可知,當轉速低于9 500 r/min時,軸承打滑可靠度為1,即軸承沒有發生打滑行為,當轉速超過9 500 r/min,可靠度開始下降,軸承開始出現打滑現象,達到12 000 r/min時,可靠度降為0,隨著轉速的增加,可靠度降低.

圖9 可靠度隨預緊力的變化

圖10 可靠度隨轉速的變化

為了探究軸承隨機變量的變化對軸承打滑的影響程度,利用建立的Kriging模型對隨機變量進行了可靠性靈敏度分析,如圖11和圖12所示.

圖11 均值靈敏度分析

由圖11和圖12可知,隨著內外圈溝道直徑以及滾動體直徑、接觸角的增加,打滑可靠度降低；隨軸承內外圈溝道曲率半徑增加,打滑可靠度增加.

圖12 標準差靈敏度分析

5 結 論

1) 本文建立了球軸承擬靜力學分析模型,并基于Hirano試驗打滑判據,考慮軸承參數的隨機性更加符合軸承實際工況,提出一種角接觸球軸承打滑行為的可靠性分析模型,對防止軸承發生打滑引起早期失效、提高軸承的可靠性具有重要意義.

2) 本文采用Kriging方法進行了可靠度的計算及可靠性靈敏度分析.軸承打滑可靠度會隨內外圈溝道直徑以及滾動體直徑、接觸角的增加而降低,隨軸承內外圈溝道曲率半徑增加而增加.其中,軸承滾動體直徑的變化對軸承打滑現象影響最大,軸承內外圈溝道直徑和曲率半徑的變化對其影響次之,接觸角的變化對其影響較小.