堅持合理導向 考查幾何本質

錢馮良

[摘 要]有關圖形變換的平面幾何試題主要基于核心素養進行命題，突出考查平面幾何的主要知識，關注知識點的融合，著重培養學生的數學核心素養.文章以一道模擬試題為例，從試題評價顯素養、試題多解展思維、試題導向促教學三個方面進行深度剖析.

[關鍵詞]平面幾何;核心素養;模擬考試

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）35-0029-02

《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》中明確給出了核心素養的概念：學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力.有關圖形變換的平面幾何試題主要基于核心素養進行命題，對幾何教學中教師培養學生的數學核心素養有很好的導向作用. 本文以一道模擬試題為例進行解析，品味其中的內涵，并從中獲得教學啟示.

【題目】如圖1，菱形[ABCD]中，點[E]，[F]分別在邊[AB]，[BC]上.將菱形沿[EF]折疊，點[B]恰好落在邊[AD]上的點[G]處.若[∠B=45°]，[AE=2]，[BE=22]，則[tan∠EFG]的值是? ? ? ? ? ? ? ? .

一、試題評價顯素養

本題表面是在求三角函數值，實際上聚焦的是特殊平行四邊形的折疊問題，方法是常用方法，體現對通用通法的考查.本題不僅注重折疊問題的基本知識和基本技能（幾何應用）的考查，而且著重考查學生思維的靈活性和創新性，要求學生靈活應用所學知識和數學思想方法（數形結合思想、方程思想、轉化思想等）來解決問題，最需要的是學生根據以往的基本活動經驗，類比之前的研究方法.這些就是新課標下數學考查素養評價的體現，可引導教師更好地培養和發展學生的數學素養.

本題考查了菱形、相似、全等、勾股定理、圖形變換等核心知識與基本技能.在解決問題的過程中，學生嘗試尋找基本圖形，借助相似或者勾股定理求線段長度，從而發展數感、符號意識、幾何直觀、運算能力等核心素養.

二、試題多解展思維

著名數學家和教育家波利亞曾指出：“沿著不同的方向去思考，重組眼前的信息和記憶系統中的信息，尋求思維的多向性.它避免了考慮問題的單一性，使思維不至于僵化.” 本題中求的是[tan∠EFG]的值，也就是求某個直角三角形兩條直角邊的比，即求線段的長度.如何多角度地轉化求解需要的線段，就成為本題的關鍵.本題可作[HI]垂直[BC]于點[I]，交[DA]延長線于點[H]（如圖2），把求[tan∠EFG]的值先變為求[tan∠EFI]的值，可得到[AH=EH=1]，[EI=BI=2]，[HG=7]，這樣一來就需要求出[IF]，可設[IF=x].

1.折疊還原構勾股

在折疊問題中，求線段長時，常設未知數，找到或者構造相應的直角三角形，利用勾股定理建立方程，利用方程思想解決問題.

如圖2，作GK ⊥ BC，構造Rt△GKF，因為[IF=x]，則[GF=BF=2+x]，因為[GK2+FK2=GF2]，所以[32+（7-x）2=（2+x）2]，[x=27-4]，所以[tan∠EFG=tan∠EFI=EIIF=227-4=7+23].

2.折疊轉化構等腰

折疊問題中常常出現“角平分線+平行線→等腰三角形”的情況，即折疊加上平行線會出現等腰三角形.本題是菱形背景的折疊問題，我們應馬上想到這個基本原理，去尋找相關等腰三角形.

如圖3，延長[DA]和[FE]，交于點[J].因為折疊，所以[∠EFB=∠EFG]，又因為[AD∥BC]，所以[∠GJF=∠EFB]，推出[∠GJF=∠EFG]，從而得到等腰[△GJF]，[GJ=GF]. 因為[IF=x]，則[GF=BF=2+x]，[JH=0.5x]，可得[0.5x+7=2+x]，[x=27-4]，所以[tan∠EFG=tan∠EFI=EIIF=227-4=7+23].

3.垂直平分構相似

折疊問題中利用“折痕垂直平分對應點所連線段”這一重要結論，構造相似三角形.

如圖4，連接[BG]交[HI]于點[O]，[Rt△HOG∽Rt△IOB]，所以[HOIO=HGIB]，設[IO=x]，則[HO=3-x]，所以[3-xx=72]，[x=27-4]，而利用同角的余角相等，所以[tan∠EFG=tan∠EFI= tan∠BOI=227-4=7+23].

4.合理切換，圖形分割構等積

在研究問題的過程中，如果從面積的角度審視一些圖形關系，通過面積的數量關系轉化圖形，借助對稱進行剪拼、利用平行線等實現等積變換圖形，往往可取得事半功倍的效果.

本題中[△BEF]和[△AEG]的底和高都能表示，而[△GEF]是[△BEF]折疊得到的，同時梯形[AGFB]的上下底和高也能表示，所以可以適當地往面積相等的方向轉化.

如圖5可以得到[S梯形AGFB=S△BEF+S△GEF+S△AEG]，[S△BEF=12BF×EI=12×2+x×2=2+x]，[S△AEG=12AG×EH=12×7-1×1=12×7-1]，[S梯形AGFB=] [AG+BF×IH2=7-1+2+x×32]，[x=27-4]，所以[tan∠EFG=tan∠EFI=EIIF=227-4=7+23].

5.數形結合，由形轉數構坐標

數形結合作為一種重要的思想方法，滲透在新教材中.而平面直角坐標系作為數學研究的一種重要工具，它更是數形結合思想的重要體現.可是在新教材中，坐標系側重于數結合形解決代數問題，而形結合數解決幾何題則較少涉及.而實際做題和教學中，我們也把形結合數作為重點引導方向.

本題中，如圖6，以點[B]為原點，以[BC]所在直線為[x]軸，過點[B]的垂線為[y]軸.連接[BG]， 可求出點[B（0， 0）]，[ G（2+7，3）]，[E（2， 2）] ，則可求出一次函數[BG]：[y=32+7x]，因為[BG⊥EF]，易得一次函數[EF]：[y=-2+73x+10+273]，則求得點[F（27-2， 0）]，[BI=27-4]，所以[tan∠EFG=tan∠EFI=EIIF=227-4=7+23].

通過上面的解答，可以看到在固定形狀和大小的幾何圖形中進行證明或計算，利用平面坐標系可以充分體現利用數形結合法解題的優越性，使學生加深對平面直角坐標系的理解，增強學生學習數學的興趣，同時也為學生以后更好地學習解析幾何打下基礎.

三、試題導向促教學

1.加強解題反思，探究題目本質

幾何的綜合題難度往往比較大，但也有相應的解題方法.在日常教學中，教師應引導學生深入探究題目的本質特征，而不是一味地去刷題.當遇到同一類問題時，應反思其中的異同點，尋求通性通法.在幾何專題課中，多采用“多題一課”“一題一課”進行教學，嘗試“一題多解”“多解歸一”，在原題的基礎上進行適當的拓展，積累處理障礙的技巧和方法.

對于幾何中的折疊問題，它的變換性給學生帶來了困難，當然其變換的過程中也有不變的量，這是我們解決折疊問題的切入點，抓住其中隱含的信息是關鍵.如本題，折疊的背后一定隱含著對稱性、角平分線，甚至有相似三角形和等腰三角形等.

2.注重思維發展，運用幾何意識

章建躍博士說：“幾何意識就是要善于學會類比學習，學會遷移知識，聯系相關的要素.”教師要善于教會學生在“做”與“思考”的過程中逐步積累幾何知識，逐步樹立幾何意識.教師要引導學生運用數學的知識、方法和思想去分析問題，從不同的角度剖析數學現象和規律，逐步提高學生的思維水平和思維能力.讓學生由“單向思維”往“多向、逆向思維”上轉變.對于幾何問題，學生用不同的解題思路，從發散的思維角度去思考，就是思維發展的重要標志.本題中從多個角度去解題，從數、形角度認識幾何，通過這樣的操作勢必會讓學生學會“創造數學”，真正感悟幾何本質.

3.關注核心素養，加強識圖教學

幾何直觀是核心素養之一.認識幾何基本圖形是解決幾何問題的突破口.在平時的教學中，教師需要注重對一些典型試題的幾何圖形進行挖掘，有意識地強化學生對基本圖形的積累，從而增強學生的識圖能力.

在實際教學中，教師要舍得花時間讓學生思考、積累和總結基本圖形，在復雜圖形中發現基本圖形，特別是發現這些圖形所擁有的“共同要素”，并進一步得到相應的位置關系或數量關系，這是識圖的基本方法，更是培養學生幾何直觀素養的一個重要落腳點.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 章建躍.中學數學核心內容教學設計的理論與實踐[M].北京：人民教育出版社，2015.

[2]? 羅增儒.指向素養教學的課堂研訓[J].中學數學教學參考，2018（7）：11-22.

[3]? 齊欣.注重一題多解與多變，促進學生數學有效學習[J].數理化學習（初中版），2017（9）：33-36.

（責任編輯 陳 昕）