測電源電動勢和內阻實驗誤差分析及拓展

謝雯婷 唐柏忠

[摘 要]測定電源電動勢和內阻是高中物理的重要實驗，其誤差分析是教學難點。文章用數學計算法、圖像修正法、數形結合法、等效替代法分別進行誤差分析，通過比較又進行了教學拓展，并著重介紹數形結合法解決物理問題。

[關鍵詞]誤差分析;內接法;外接法;數形結合

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）35-0059-02

一、教學背景

2020年浙江省7月選考電學實驗題（已簡化）：某同學分別用圖1甲和圖1乙的電路測量同一節干電池的電動勢和內阻。

（1）實驗得到如圖2所示的兩條[U-I]圖線，圖中直線Ⅰ對應電路是圖1? ? ? ? ? ?（選填“甲”或“乙”）。

（2）該電池的電動勢? ? ? ? ? ?V（保留三位有效數字），內阻? ? ? ? ? ?Ω（保留兩位有效數字）。

本題不僅考查了學生對測電源電動勢和內阻實驗的方法、原理及圖像處理方法的掌握情況，而且檢驗了學生的誤差分析能力。那么如何進行誤差分析呢？本文用數學計算法、圖像修正法、數形結合法、等效替代法，分別分析電流表內接和外接時對電動勢和內阻測量結果造成的系統誤差，并進行方法拓展。

二、誤差分析

圖1甲為內接法測量電路，圖1乙為外接法測量電路。若不考慮電表電阻的影響，假設測量的兩組數據為（[U1， I1]）、（[U2， I2]），根據閉合電路歐姆定律列方程為：[E測=U1+I1r測]，[E測=U2+I2r測]①解得：[E測=（I1U2-I2U1）（I1-I2）]，[r測=（U2-U1）（I1-I2）]

（一）數學計算法

1.采用內接法測量，考慮電流表和電壓表的內阻，干路電流準確，路端電壓由于電流表的分壓而偏小，對兩次測量值進行修正，真實的路端電壓分別為：[U′1=U1+I1RA]，[U′2=U2+I2RA]。方程組①修正為：[E真=U1+I1RA+I1r真]，[E真=U2+I2RA+I2r真] ②

解得：[E真=I1U2-I2U1I1-I2=E測]，[r真=U1-U2I2-I1-RA=r測-RA]

于是得到：[E測=E真]，[r測=r真+RA]，測量值為[r]與[RA]的串聯電阻，由此判斷[E測]準確，[r測]偏大。

2.采用外接法，考慮電流表和電壓表的內阻，路端電壓準確，干路電流由于電壓表分流作用偏小。對兩次測量值進行修正，真實的干路電流分別為：

[I′1=I1+U1RV]，[I′2=I2+U2RV]，這樣方程組①修正為：

[E真=U1+I′1r真]，[E真=U2+I′2r真] ③

類比方程①可解得：

[E真=I′1U2-I′2U1I′1-I′2]，[r真=U2-U1I′1-I′2]

[r真=U2-U1I′1-I′2=U2-U1I1-I2-U2-U1RV=r測RVRV-r測]

于是得到：[r測=RVr真RV+r真]，測量值為[r]與[RV]的并聯電阻，由此判斷[r測]偏小。

[E真=I′1U2-I′2U1I′1-I′2=I1+U1RVU2-I2+U2RVU1I1+U1RV-I2-U2RV]

[I1U2-I2U1I1-I2-（U2RV-U1RV）=E測1-r測RV=E測·RVRV-r測]

于是得到：[E測=（RV-r測）E真RV]，

將[r測=RV r真（RV+r真）]代入可得：[E測=] [RVE真（RV+r真）]，由此判斷[E測]偏小。

（二）圖像修正法

利用伏安法測量電源電動勢和內阻，其路端電壓和電流的關系為[U=E-Ir]，其[U-I]圖像的[U]軸截距代表電動勢，直線斜率的絕對值代表內阻。

1.采用內接法測量，電流準確，由于電流表的分壓引起路端電壓測量值偏小，真實電壓為[U真=U+IRA]，由此對圖像進行修正：在同一[U-I]圖中，對應同一電流值，電壓真實值對應在實驗數據點的上方，比測量值大[IRA]。電流[I]越小，需修正的[IRA]越小，當電流為0時，修正的[IRA]也為零，電壓的真實值與實驗值重合。可得到修正后的真實圖線與實驗圖線如圖3中a與b所示。對比截距和斜率可得：[E測]準確，[r測]偏大。

2.采用外接法，路端電壓準確，由于電壓表的分流，測量的總電流偏小，真實值為[I真=I+URV]，由此對圖像進行修正：在同一[U-I]圖中，對應同一電壓值，電流真實值對應在實驗數據點的右方，比測量值大[URV]。路端電壓越小，需修正的[URV]越小，當路端電壓接近0時，修正的[URV]也為零，真實值與實驗值重合。可得到修正后的真實圖線與實驗圖線如圖3中a與c所示。對比截距和斜率可得：[E測]偏小，[r測]偏小。

（三）數形結合法

1.采用內接法測量，路端電壓與電流的關系：[U真=E真-Ir真]，由于電流表分壓，故有[U真=U+IRA]，代入并化簡可得：[U=E真-（r真+RA）?I]。結合[U-I]圖像可得，縱軸截距代表測量的電動勢[E測]，斜率的絕對值代表測量的內阻[r測]，即[E測=E真]，[r測=r真+RA]，由此判斷[E測]準確，[r測]偏大。

2.采用外接法測量，路端電壓與電流的關系是：[U=E真-I真r真]，由于電壓表分流，故有[I真=I+URV]，代入可得：[U=E真-（I+URV）?r真]，化為[U-I]關系則有：[U=RVRV+r真E真-RV?r真RV+r真I]，結合[U-I]圖像可得，縱軸截距代表測量的電動勢[E測]，斜率的絕對值代表測量的內阻[r測]，即[E測=RVRV+r真E真];[r測=RVRV+r真r真]，由此判斷[E測]偏小，[r測]偏小。

（四）等效替代法

閉合回路歐姆定律[E=U+Ir]中，[I]是流過電源的總電流，[U]是路端電壓。我們可以從電路中取一個等效電源，得到[E測=E等效]，[r測=r等效]。

1.采用內接法測量，電流表測得的總電流準確，由于電流表的分壓，路端電壓的測量值偏小。若把電壓表測得的電壓看作路端電壓，就相當于把電流表當成電源內部，電流表和電源等效為一個新的電源（圖1甲中虛線框內），所以測得的內阻是電源內阻和電流表電阻的串聯電阻。可得[E測=E]，[r測=r+rA]，由此判斷[E測]準確，[r測]偏大。

2.采用外接法測量，路端電壓準確，由于電壓表的分流，總電流的測量值偏小。若把電流表測得電流看作總電流，就相當于把電壓表當成了電源內部，電壓表和電源等效為一個新的電源（圖1乙中虛線框內），所以測得的內阻是電源內阻和電壓表電阻的并聯電阻。可得[E測=Uab=IRV=RVRV+rE]，[r測=RV?rRV+r]，由此判斷[E測]偏小，[r測]偏小。

三、總結拓展

四種方法中，數學計算法計算繁雜、費時;圖像修正法簡潔明了，但只能定性分析，不能定量討論;等效替代法結論簡潔，但學生理解起來有一定難度;數形結合法思想方法簡潔明了，簡明易懂。數形結合法在其他方法測定電源電動勢和內阻中也有很好的表現。

例題：有兩個電學元件，電阻箱R和手機中的鋰電池（電動勢[E]標稱值為3.7 V，允許最大放電電流為100 mA）。為測量鋰電池的電動勢E和內阻r，設計了如圖4所示的電路圖。根據測量數據作出[1U-1R]圖像，如圖5所示。若該圖線的斜率為k，縱軸截距為b，則該鋰電池的電動勢[E=]? ? ? ? ?，內阻[r=]? ? ? ? ?（用k、b和R表示）。

解析：由閉合電路歐姆定律得：[E=U+Ir=U+URr]，變形整理得：[1U=rE?1R+1E]，由[y=kx+b]可得：[k=rE]，[b=1E]，故電源電動勢[E=1b]，電源內阻[r=kE=kb]。

綜上所述，在遇到類似的問題時，用數形結合法進行處理簡明易懂，只需結合題中的待測量列出合適的函數關系，找到函數圖像的斜率、截距等與待測量的關系，問題就迎刃而解了。

上述分析問題的思路，從學生實際出發，不僅有助于加深學生對物理規律的理解，同時還有利于培養學生的科學思維能力，提高學生分析問題和解決問題的能力。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 李莉，徐發林.巧用“圖像法”分析物理實驗誤差：以“測電源電動勢和內阻”實驗誤差分析為例[J].中學物理教學參考，2019，48（12）：88-89

[2]? 潘華君.再議“測定電池的電動勢和內阻”的誤差分析和優化設計[J].中學物理教學參考，2012（10）：29-30.

[3]? 劉宗濤.席明納模式下高三物理復習課課堂實踐及探索：以“測定電源電動勢和內阻實驗系統誤差分析”為例[J].物理教學，2019，41（1）：17-19.

[4]? 吳志山.用DIS探究“測定電池電動勢和內阻”實驗問題[J].物理教師，2013，34（6）：66-68，71.

（責任編輯 易志毅）