基于學科育人的高中數學課堂評析

李俊

[摘 要]黨的十八大把立德樹人作為教育的根本任務，學科教學是落實立德樹人任務的重要途徑.教師要以德育為首，通過課程育人，滲透立德樹人的教學思想，將學生培養成具備適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力的人.

[關鍵詞]立德樹人;學科育人;課堂評價

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）35-0008-03

[課例]直線的參數方程.

一、新課引入

創設情境：在2008年汶川大地震中，由于公路受地震影響造成路面塌陷，導致救援車輛無法到達災區，很多被困群眾缺乏生活物資和醫療藥品，需要通過空投將救援物資投放到指定地點，已知一架救援飛機在離地距離490 m高處，以150 m/s的速度做水平直線飛行（不計空氣阻力，重力加速度[g=9.8 m/s2]），記物資投放后飛行的時間為[t]，飛機在離救援點水平距離為多少時投放物資，可使其準確落在指定地點？

點評：課堂引入是很好的育人時機.本節課教師以汶川大地震為背景滲透德育教育.汶川大地震是一場災難，通過抗震救災的感人事跡激發學生的愛國熱情，讓學生具有積極價值取向，形成良好的品德.教師抓住契機，分享防震自救小知識，提高學生的自救能力.學科育人就是學生通過學科學習逐步形成正確的價值觀，擁有優秀品格，具備關鍵能力.

問題1：這個實際生活問題涉及什么數學模型？

如圖1建立直角坐標系，設救援物資運動時的坐標為[M（x， y）]，只需求出動點[M]的坐標[（x， y）]滿足的二元方程[f（x， y）=0]，令[y=0]解出對應的[x]即可.然而在這個問題中，水平位移量[x]和高度[y]是由兩種不同的運動得到的，水平方向上是勻速直線運動，豎直方向上是自由落體運動，直接建立兩者之間的等量關系比較困難，我們該怎么辦呢？

我們發現水平位移量[x]和高度[y]都與時間[t]有關，因此可以將[x]和[y]表示成與參數[t]有關的式子[x=150 t，y=490-4.9 t2，]當[y=0]時對應的[t]就是救援物資落地所需的時間，此時[t=10]，由此得[x=150×10=1500]，即飛機在離救援點的水平距離為[1500]米時投放物資，可使其準確落在指定地點.

從這個問題我們感受到參數方程在解決某一些問題上具有優越性.下面我們來探究如何求直線的參數方程.

點評：教師設問 “這個實際生活問題涉及什么數學模型？”讓學生經歷數學抽象，建立數學模型，發現其背后的數學問題就是求出救援物資在離開飛機后飛行的軌跡，計算救援物資從距離地面[490 m]的高度落地所需的時間，從而計算出這段時間產生的水平位移.學生在嘗試解決問題的過程中發現要直接建立水平位移量[x]和高度[y]之間的等量關系很困難，但通過運動時間[t]就能夠輕松地將兩個變量聯系起來，從而達到解決問題的目的.整個過程讓學生感受引入參數在解決某些問題上的優越性.教師的這一設計，讓學生在有趣的數學活動中探索解決問題的方法，增強其學習的動機，解決問題的成就感讓學生體驗數學的價值，形成學習數學的內驅力，不知不覺在“學科教學”中滲透“學科育人”.

二、概念形成

之前圓錐曲線的參數方程大家已經很熟悉，也能夠理解各種曲線的參數的幾何意義.如果要求直線的參數方程，是否還能用角作為參數呢？

問題2：已知直線上一點[M0（x0， y0）]，直線的傾斜角是[α]（如圖2），是否還能用角作為參數？怎樣建立已知直線[l]的參數方程？如何選擇恰當的參數？

點評：本環節教師通過問題導學，實現思維育人.教師通過層層設問：已知直線上一點[M（x0， y0）]，直線的傾斜角是[α]，是否還能用角作為參數？怎樣建立已知直線[l]的參數方程？如何選擇恰當的參數？這一系列的問題為學生的探究方向及思維策略提供了明確的導向，為學生提供了實踐數學思想和數學方法的機會，在知識發生、發展的過程中促進學生思維的發展.

【學生探究】求直線[l]的參數方程.

方案1：如圖3構造[Rt△MNM0]，在[Rt△MNM0]中，[cos α=x-x0MM0]，[sin α=y-y0MM0]，

則[x=x0+MM0cos α，y=y0+MM0sin α.]當點[M]和[M0]重合時，上式也成立.若點[M]在[M0]的另一側呢？（如圖4），則得到的直線參數方程為[x=x0-MM0cos α，y=y0-MM0sin α.]

為了統一上述兩個方程，我們不妨令[MM0=t]，可得直線[l]的參數方程為[x=x0+tcos α ，y=y0+tsin α .]（[t]為參數）

其中參數[t]的幾何意義是[t]表示直線上任一點[M]到定點[M0]的距離.

方案2：從特殊情況獲得啟發，若直線[l]落在[x]軸上，直線[l]上點[M]的運動等價于向量[M0M]變化，但無論向量怎樣變化，都有[M0M=te].因此點[M]在[x]軸上的坐標只與[t]有關，從而可以選擇[t]作為參數來獲取直線[l]的參數方程.那么直線[l]不落在[x]軸上時，點[M]的坐標是否仍然只與[t]有關？

由于在平面直角坐標系中，確定一條直線的幾何條件是直線的方向和直線上一個點，直線上點[M（x， y）]的變化就是向量[M0M]的變化，而向量[M0M]可以由直線的一個單位向量[e]來量化，即[M0M=et]，其中[t]的一個值可以唯一對應直線上的一個點;同樣，直線上任意一個點[M（x， y）]對應唯一[t]的值，所以可以考慮使用[t]作為直線的參數.

直線[l]的單位方向向量記作[e=（cos α， sin α）]，[α∈0， π]，那么[M0M∥e]，因此根據共線向量的充要條件可知，存在實數[t]，使得[M0M=te]，即[（x-x0， y-y0）=t（cos α， sin α）].

于是有[x-x0=tcos α，y-y0=tsin α（t 為參數）]，因此，把上面的方程叫作經過點[M0（x0， y0）]，傾斜角為[α]的直線[l]的參數方程.注意：直線上的任意一個點都唯一對應一個參數[t].

點評：本環節教師讓學生參與數學學習活動，發展學生的思維.本節課的難點是如何引入恰當的參數，從而建立直線的參數方程.如何突破難點？教師在這里的設計也是頗費心思.教師不急于公布結果，而是放手讓學生積極實踐，探索參數的合理性，于是在“探索→發現→再探索”的過程中，學生不斷優化方案，教師進一步引導學生通過類比、聯想的思想方法，將直線和單位向量聯系起來，這樣引入的參數，能快速找到直線上任意一點與一個定點的數量關系和圖形關系.教師給學生提供參與數學學習活動的機會，讓學生在探究的過程中感悟滲透其中的數學思想與方法，建立判斷與選擇的自覺意識，養成根據自我需要做出正確選擇的學習習慣，提升其思維品質和數學素養.

三、概念深化

問題3：直線[l]的參數方程中參數[t]的幾何意義是什么？

因為單位向量[e=（cos α， sin α）]，則[e=1].因為[M0M=te]，則[M0M=te=te=t].

于是得到參數[t]的幾何意義：直線[l]上的動點[M]到定點[M0]的距離等于參數[t]的絕對值.

問題4：參數[t]的符號有什么意義？

當[0<α<π]時，[sin α>0]，所以直線[l]的單位向量[e]的方向總是向上的.

（1）若[t>0]，由[t=y-y0sin α?y-y0>0?y>y0]， 知點[M]在點[M0]上方，則[M0M]的方向向上;

（2）若[t<0]，由[t=y-y0sin α?y-y0<0?y<y0]， 知點[M]在點[M0]下方，則[M0M]的方向向下;

（3）若[t=0]，則[y=y0]，從而點[M]和點[M0]重合.

點評：教師在這個環節中強化數學語言教學，提升學生的數學抽象素養.自然語言由于其通俗易懂的特點更容易被學生使用，但較難直觀體現知識的內在結構特點，符號語言則彌補了這一不足，它能用簡潔的符號高度概括和表達數學對象內涵，因此教學生學會三種數學語言的轉換是教師在課堂教學中的一個重要任務.本節課中，教師在學生對數學模型具有一定感性認識之后，引導學生利用向量的線性關系建立[x， y]的等量關系式，最終用參數方程的形式準確描述兩個變量[x， y]之間的內在聯系，幫助學生提高了語言表達的抽象層次，提升了數學抽象素養.

四、應用探索

[例題1]已知直線[l]：[x+y-1=0]與拋物線[y=x2]交于[A]，[B]兩點，求[M（-1，2）]到[A]，[B]兩點的距離之積.

解法一：由[x+y-1=0，y=x2，]可知兩交點坐標分別為[A-1-52，3+52]，[B-1+52，3-52]，

所以[MA·MB=]

[-1--1-522+2-3+522]·[-1--1+522+2-3-522]

[=（3-5）·（3+5）=2].

解法二：將直線[l]的參數方程[x=-1-22t ，y=2+22t.]? ? ?（[t]為參數）代入拋物線方程得[t2+2t-2=0]，

解之得[t1=-2+102]，[t2=-2-102].由參數[t]的幾何意義得[MA?MB=t1?t2=t1t2=2].

解法三：將直線[l]的參數方程[x=-1-22t，y=2+22t.]? ? ? （[t]為參數）代入拋物線方程得[t2+2t-2=0]，

所以由韋達定理可知[t1+t2=-2，t1t2=-2，]所以由參數[t]的幾何意義得[MA?MB=t1?t2=t1t2=2].

點評：讓學生在自主解答的過程中去感受和體會引入參數的優越性，解析法容易想，但是不容易算，參數法的引入就使問題的計算趨于簡單化，這也是引入參數方程的目的所在.

五、小結歸納

1.知識

本節課聯系數軸、向量等知識，推導出了直線的參數方程，并進行了簡單應用，體會了直線參數方程在解決有關問題時的作用.

2.思想方法

在研究直線參數方程過程中滲透了運動與變化、類比、數形結合、轉化等數學思想.

落實立德樹人根本任務，對教師提出了更高的要求.本節課在學科知識教學中，處處以德育人，以智啟人，充分展示了如何在教學中落實立德樹人的目標，讓我們收獲很大.畢竟學科知識隨著時間的流逝會逐漸被遺忘，而永遠留給學生的是在學習過程中形成的學科素養和優秀品質.

（責任編輯 黃桂堅）