由一道中考題談“三點共線”的證明方法與思考

蔡雄壯 (福建省晉江市安海中學 362261)

“三點共線”問題是近幾年福建中考的熱點，在2019年福建中考第25題和2020年福建中考第23題都出現“三點共線”的證明.另外，2020年晉江市八下期末考第25題和2020年春德化縣八下期末卷第25題也出現“三點共線”的證明.接下來，首先來看一下2020年福建中考第23題.

1 原題呈現，考情分析

如圖1，C為線段AB外一點.

圖1

(1)求作四邊形ABCD，使得CD∥AB，且CD=2AB(要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)在(1)的四邊形ABCD中，AC，BD相交于點P，AB，CD的中點分別為M，N，求證：M，P，N三點在同一條直線上.

筆者曾將該題作為月考卷試題，從學生答題情況來看，有些學生做得不錯，方法如下：如圖2，連結NP，并延長與AB交于點M′，然后證點M′與點M重合，運用“同一法”證明點N，P，M三點共線.這一部分學生應該是從教師上課時，運用“同一法”證三角形三條邊上的中線交于同一點得到啟發，掌握了相應的數學思想方法.但從整體來看，學生做得并不理想，不少學生直接用相似三角線的預備定理證△CPN∽△APM，相當于默認了M,P,N共線，但這是題目要證明的結論.還有相當一大部分學生無從下手，沒有頭緒，對證“三點共線”的方法還比較陌生.本文歸納了幾種證“三點共線”的方法及類型，與讀者一起探討.

圖2

2 歸納方法，解析案例

通過研究近年來一些有關證明“三點共線”的題目，筆者歸納出了幾種常見的方法：(1)運用平角的定義(簡稱平角法)；(2)運用基本事實，比如：“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”“過一點有且只有一條直線垂直于已知直線”(簡稱基本事實法)；……