2021年浙江省高中數學競賽解析幾何題的求解與模型探究

吳 江 (浙江省杭州市交通職業高級中學 310011)

本文對2021年浙江省高中數學競賽的解析幾何題進行分析，探究不同的解法，挖掘其背后的模型，得到若干結論．

1 試題呈現

(1)求CA+CB的最大值；

(2)若直線y=kx+1與x軸、y軸分別交于點M,N，且以MN為直徑的圓與線段MN的垂直平分線的交點在橢圓內部(包括在邊界上)，求實數k的取值范圍．

分析 第(1)題結合橢圓的第二定義，聯立方程，運用韋達定理，用k表示出CA，CB，最后求最值.思路明確，難度不大．

第(2)題求范圍，不等式是常用代數方法，顯然不等式來源于交點在橢圓內部，因此解決交點是關鍵一步.最容易想到的是聯立方程求交點，那么就要先用k表示出圓和中垂線的方程，過程和方向明確．此外，兩個交點可以看作是由點N繞圓心旋轉得到，因此可以由旋轉關系得到交點坐標，再結合橢圓方程建立不等式．另一方面，容易看出點N是定點，點M在x軸上的位置決定了交點位置，所以可以分析圖形的變化規律，把握交點在橢圓邊界上時的臨界狀態，求出此時k的值，進而確定k的取值范圍．

2 解法探究

評析聯立方程求出交點，其中涉及化簡、因式分解等過程，對學生的運算能力提出了一定要求，包括最后解不等式，代數運算貫穿整個過程，主要思路為“見招拆招”，這也是解析幾何思想的體現．

即得(*).下同解法1．

評析運用復數三角表示是處理旋轉問題的一種方法，前提是要理解復數乘法的幾何意義：對于復數z=x+yi，復數z(cosθ+i sinθ)表示在復平面上將復數z繞原點逆時針旋轉θ角后得到的復數．