GeoGebra軟件在直線運動教學中的應用

韋清漓

[摘 要]文章以直線運動中微元法為例，探討利用GeoGebra軟件動態展現微元法在速度概念以及勻變速直線運動位移公式教學中的應用。利用GeoGebra軟件進行動態展現，可將教學過程中的數學思想可視化，可使教學過程中的抽象問題形象化，從而降低學生的學習難度，提高學生的學習實效。

[關鍵詞]GeoGebra軟件;物理教學;直線運動

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）32-0043-02

一、GeoGebra軟件與物理教學

直線運動這一板塊的學習，會碰到[x-t]圖像、[v-t]圖像、平均速度與瞬時速度的概念、加速度的概念以及勻變速直線運動的位移，這些知識內容都涉及一定的數學思想，需要進行相應的數學推導，其中需要運用極限法和微元法，這也是初入高中的學生碰到的一個攔路虎，又是學生必須掌握的數學思想方法和必須達到的物理思維水平。

GeoGebra是一款非常優秀的動態數學軟件，在數形結合上表現十分優異，適宜用在中小學及大學階段的數學教學和學生的自主學習中。在物理課堂教學中，利用GeoGebra也可以將抽象問題形象化，使數學思想可視化，讓數學推導過程動態化。

二、GeoGebra軟件在瞬時速度定義中的應用

人教版高中物理必修1是這樣引出瞬時速度定義的：為了使描述精確些，可以把[Δt]取得小些，物體在從[t]到[t+Δt]這樣一個比較小的時間間隔內，運動快慢的差異也就小一些。[Δt]越小，運動的描述就越精確。當[Δt]非常非常小時，我們把[ΔxΔt]稱作物體在時刻[t]的瞬時速度。

物理教材對瞬時速度的定義是：可以理解為當[Δt]趨近于零時，從[t]到[t+Δt]這段時間內的平均速度趨近于t時刻的瞬時速度。這里采用了微分的思想，對初入高中的學生而言，他們既沒有掌握極限這一數學基礎知識，又無法想象具體情境，很難理解。

運用GeoGebra軟件可以有效解決這個問題，具體可以先畫出物體做變速直線運動的[x-t]圖像。在軟件做出的圖像上可以分別取[tA]、[tB]兩個時刻。[tA]到[tB]這段時間里，A到B的位移與對應時間的比值，即圖像中的AB連線（割線）的斜率即為物體的平均速度。

運用GeoGebra軟件作圖時，可以通過拖動描點B，如圖1，使[tA]到[tB]的時間間隔[Δt]減小，這樣學生就可以動態觀察對應時間內位移、平均速度的變化了。

當A、B兩點幾近重合，即[Δt]趨近于零時，割線已無限接近A點的切線（如圖2），對比割線斜率與切線斜率，可以讓學生在直觀理解課本所述概念的同時，也能動態地理解極限是怎樣的一種狀態，并在此基礎上總結出[x-t]圖像上的點的切線表示瞬時速度。

實際上，在教學加速度新課時，也可以用GeoGebra軟件開展教學，這樣方便教師引導學生理解瞬時加速度和平均加速度的概念，幫助學生初步了解微元法解決物理問題的方法。

在這個基礎上，教師還可以通過GeoGebra軟件畫出變速運動的[x-t]圖像，并作出圖像上的點的切線，如圖3所示。改變C點的位置，由軟件表示出C點的切線及對應的斜率，方便學生更深刻地理解在變速直線運動中[x-t]圖像的切線斜率表示速度，并且，當斜率為正時可以表示速度的方向為正向，斜率為負時，則速度的方向為負向。這樣的過程也同樣可以將其改變為[v-t]圖像，方便學生直觀理解加速度。

三、GeoGebra軟件在推導勻變速直線運動位移公式中的應用

高中物理必修1推導勻變速直線運動位移公式時，同樣采用了微元思想。教材從勻速直線運動的位移在[v-t]圖像中的表示方式入手，引導學生將勻變速直線運動等效成若干個勻速直線運動，由此歸納出速度—時間圖像圍成的面積表示位移。這樣的思維方式和數學要求，在具體的教學中，同樣有一部分學生表示難以理解和接受。

筆者在進行教學設計時，為了讓這樣的近似與等效的過程變得直觀，曾采用PPT作圖來完成。但若要改變初速度與加速度使規律具有普遍性，或近似變得更為連貫需要大量的作圖和多張PPT來實現。

而運用GeoGebra軟件可以輕松解決這些問題。運用GeoGebra軟件作出勻變速直線運動的[v-t]圖像，選定時間軸上由0開始的一段時間并劃分為n段。

n的數值和勻變速直線運動初速度、加速度的改變都可以通過移動滑動條來完成，使得此情境下獲得的結論具有普遍性。

近似的過程，可以先取[n=5]，再利用“Low Sum（下和）”函數計算5段小矩形面積之和，接著利用“Upper Sum（上和）”函數計算出對應小矩形面積之和，如圖4、圖5所示。

兩者對比，可以讓學生理解：如果以5個小矩形面積之和算出的位移代表物體在整個過程中的位移，選初速度來畫小矩形則位移偏小，若是用與所選每一小段運動的末速度圍成的小矩形面積之和求位移，則結果又偏大。

如果拉動滑動條來增大n值，將確定的時間分得更細，學生不僅可以從軟件的動態演示中理解“隨著n值的增大，所取的時間段越小，速度變化就越小”，也可以觀察到上和值減小，下和值增大，且兩者隨著n的增大都在逼近實際值。學生還可以通過此過程理解此時以初速度或者末速度圍成的小矩形面積之和來求位移的精確度會增大。當n值較大時，所取的時間段趨近于零，物體的速度變化量非常小，使得小矩形頂端的“鋸齒”看不出來，矩形的面積幾乎填充整個梯形，從而使勻變速直線運動位移公式的得出變得非常自然。

非勻變速直線運動的[v-t]圖像也可以用相同的辦法來處理，如圖6，使得微元法的應用具有一般意義。以此為基礎，今后求變力做功等較為復雜的變化問題時，學生也能夠想到用類似的方法處理。

四、結語

GeoGebra軟件在直線運動教學中的應用并不局限于學生對微元法和圖像問題的理解。實際上，得益于優秀的數形結合，GeoGebra軟件也可以描繪追及問題中物體的[x-t]圖像與[v-t]圖像，甚至在追及過程中物體的運動軌跡也可以比較簡便地畫出，極大地方便了學生理解運動問題，也可以使得教師的課堂教學變得更為靈活。

上述這些有關GeoGebra軟件的應用，不僅可以在電腦軟件中使用，還可以在具體的教學中通過插件加入PPT中，讓教師的教學保持流暢和高效。教師還可以通過手機APP、網頁鏈接等多平臺展示成果，還能讓學生在課后親自移動動點或滑動條，加深對概念的理解。

（責任編輯 易志毅）