初中數學最短路徑問題的教學探究

郭緒娥

[摘 要]最短路徑問題是中考數學的高頻考點，問題雖不難，但很多學生卻答不出來.探討最短路徑問題的解法，能提高學生的解題能力.

[關鍵詞]最短路徑;問題;初中數學

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）32-0013-02

青島市數學中考中每年都有一個求最短路徑的問題，這類問題雖然不難，但往往有一大批學生答不出來.針對這類問題，筆者進行了研究，經研究發現，如果教師在教學方面做足功夫，學生的數學素養就會得到提高，就可以讓學生解題時得心應手.

一、數學幾何模型

北師大版初中數學七年級下冊第123頁有這樣一道題：如圖1所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區A、B提供牛奶，奶站應建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？

我們都知道這個問題的解決方法是作A關于直線l的對稱點C，連接BC交街道l于P，則P為所求，如圖2所示.即要在街道旁修建一個奶站，向居民區A、B提供牛奶，奶站應建在P處，才能使從A、B到它的距離之和最短.

那么為什么要作一個關于l的對稱點？如何利用學生已有的知識儲備進行遷移，才能使學生易于接受？筆者先讓學生完成下面的題目.

如圖3，在河的兩岸有兩個村莊A、B，現在要在公路l上建一個汽車站C使汽車站到A、B兩村莊的距離之和最小，則汽車站C的位置應該如何確定？

這個問題學生都知道應連接A、B兩點，AB與直線l的交點就是點C的位置.

通過這個問題的解決，再把這個題目和軸對稱進行聯系，學生就會覺得非常容易接受.

二、幾何模型的應用

1.如圖4，菱形ABCD的兩條對角線長分別為6和8，點P是對角線AC上的一個動點，點M、N分別是邊AB、BC的中點，則[PM+PN]的最小值是多少？

這個問題中對應上述題目的“公路”就是AC，M、N為那兩個點，通過找對稱點和利用菱形的性質就會發現[PM+PN]的最小值等于菱形的邊長.因此，解決這個問題的同時把菱形的性質也進行了復習和鞏固.

2.如圖5，正方形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，P為對角線BD上的動點，要使[PE+PC]的值最小，試確定點P的位置，并求出最小值.

要解決這個問題，就要引導學生找出圖形中的“公路”和兩個點.不難發現，這個問題中的“公路”就是BD，兩個點就是E、C.圖形中已經給出了C點關于DB的對稱點A，連接AE，AE與BD的交點就是要求的點P，P點找出來后，就會發現[PE+PC]的最小值是線段AE的長.

通過這兩個問題的解決，模型又得到了提升，兩條線段和的最小值最后轉化為求一條線段的長度.

三、幾何模型生成的問題

1.如圖6，圓柱形玻璃杯高為12 cm、底面周長為18 cm，在杯內離杯底4 cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4 cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為_______________cm.

這是青島市2012年的中考題.通過玻璃杯的內外壁的展開圖（如圖7）不難發現玻璃杯的上邊沿所在的直線就是模型中的“公路”，而A、B就是模型中的兩個點，最短距離就轉化為求線段AB′的長度.這樣又把勾股定理及其逆定理進行了復習和鞏固.

四、幾何模型與代數問題的結合

1.如圖8，在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，[OA=3]，[OB=4]，D為邊OB的中點.

（1）點D的坐標為_____________________;

（2）若E為邊OA上的一個動點，當[△CDE]的周長最小時，求點E的坐標.

這個問題中的第（1）問非常容易解決.第（2）問如果求[△CDE]的周長最小，也比較容易解決.但要求點E的坐標，這就和一次函數聯系起來了.到此幾何與代數已經比較緊密地結合起來，我們教師不能簡單地照本宣科.如何提高學生的數學能力，培養學生的數學素養？這就需要我們教師潛心研究教材.為了進一步培養學生的數學素養，我們再來看下面的題目.

2.如圖9，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作[AB⊥BD]，[ED⊥BD]，連接AC、EC.已知[AB=2]，[DE=1]，[BD=8]，設[CD=x].

（1）用含x的代數式表示[AC+CE]的長;

（2）點C滿足什么條件時，[AC+CE]的值最小？

（3）根據（2）中的規律和結論，求出代數式[x2+4+12-x2+9]的最小值.

這個問題進一步把幾何問題和代數問題緊密結合起來，特別是第（3）問，看似是求一個算術平方根的和的最小值.如果教學中沒有前面這些鋪墊，單獨拿出這個問題，學生基本解決不了.有了前面的鋪墊，就容易想到構造幾何圖形，進一步應用勾股定理求出代數式的最小值.

五、拓展提高

1.如圖10，已知[∠AOB=45°]，P是[∠AOB]內部一點，且[OP=2 cm]，點E、F分別在射線OA、OB上，找出E、F兩點，使[△PEF]周長的最小，并求出最小值.

這個問題學生往往容易認為過P作OA、OB的垂線，垂足就是所求的點.實際上這是錯誤的.通過圖11，我們就會發現[△PEF]的周長等于線段MN的長，因此，如何求線段MN的長是解決本題的關鍵.題目中的已知條件[∠AOB=45°]還沒有用，如何應用這個條件？這個條件對我們解決問題有什么作用？帶著這些問題去思考.如圖12，連接[OM]、[ON]就會發現[∠MON=2×45°=90°]，這樣利用軸對稱的性質和勾股定理就可以解決問題.

以上是筆者在教學中對最短路徑問題的研究，有不當之處敬請批評指正.

（責任編輯 黃桂堅）